新高考数学一轮复习 讲与练第14讲 三角函数的图像和性质（解析版）

第14讲三角函数的图像和性质学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无考点和典型例题1、三角函数的定义域和值域【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值1，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值大于SKIPIF1<0，故值域为SKIPIF1<0故选：C【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一个为SKIPIF1<0的最大值，一个为最小值，则SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（i），或SKIPIF1<0（ii）对于（i），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，对于（ii），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故选：D【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值C．SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最大值【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0，A错误，SKIPIF1<0，BC错误，SKIPIF1<0，D正确.故选：D.【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则m的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：因为不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，所以不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以m的最小值为SKIPIF1<0，故选：D【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要使f(x)在SKIPIF1<0上的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C.2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0(

)A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵f(x)定义域为R，且为偶函数，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数满足题意．故选：C．【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数SKIPIF1<0，将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．故选：B．【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数SKIPIF1<0的图像经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小正周期为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为函数SKIPIF1<0的图像经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故选：C【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（

）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．是奇函数也是偶函数【答案】B【详解】因为函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0为偶函数.故选：B.【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数SKIPIF1<0的最小值周期为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度，所得图象关于SKIPIF1<0轴对称，则SKIPIF1<0的一个值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则函数的解析式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度所得的函数解析式为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又函数图象关于SKIPIF1<0轴对称，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，其余选项不适合①式.故选：B．3、三角函数的单调性【典例3-1】（2022·天津南开·三模）将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，得到函数SKIPIF1<0的图象，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】B【详解】解：将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，得到函数SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的值可能为SKIPIF1<0，故选：B【典例3-2】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0．故选：B．【典例3-3】（2022·全国·模拟预测（文））将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的SKIPIF1<0倍，得到函数SKIPIF1<0的图象，则使得SKIPIF1<0单调递增的一个区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的SKIPIF1<0倍，得到函数SKIPIF1<0的图象，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增区间为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：C.【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间SKIPIF1<0内是增函数的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】A.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故正确；B.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，故错误；C.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，故错误；D.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不是偶函数，故错误；故选：A【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）将函数SKIPIF1<0图象上所有点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍SKIPIF1<0纵坐标不变SKIPIF1<0，再向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：将函数SKIPIF1<0图象上所有点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍SKIPIF1<0纵坐标不变SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再向左平移SKIPIF1<0个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D．【典例3-6】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调增区间；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0