2024年高考物理第一轮考点复习精讲精练 第11讲 万有引力定律（原卷版+解析）

第口讲万有引力定律

目录

考点一天体质量和密度的计算....................................................1

考点二卫星运行参量的比较与计算...............................................2

考点三卫星变轨问题分析........................................................4

考点四宇宙速度的理解与计算....................................................6

考点五双星或多星模型..........................................................9

练出高分........................................................................11

考点一天体质量和密度的计算

I.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

v224/r

=man==marr=/〃个

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即(y耨=〃2g(g表示天体表面的重力加

速度).

2.天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于故天体质量M=管，

P_

天体蜜度~V4^3_4HG/?

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期7和轨道半径r.

①由万有引力等于向心力，即。^髻=〃7爷工得出中心天体质量”=1热:

②若已知天体半径R,则天体的平均密度

MM3兀，3

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径，•等于天体半径R,则天体密度〃

=沸37r.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期。就可估笄出中心天体的密度.

[例题1]（2023•昌平区二模）卡文迪什在1798年17卷《哲学学报》中发表他关于引力常量的测量

时，曾提到他的实验是为了确定出地球的密度。已知引力常量为G,要想估测地球的密度，只

需测得（）

A.地球的质量B.地球的当径

C.近地卫星的运行周期D.地球表面的重力加速度

[例题2]（2023•茂名二模）2022年11月29日我国“神舟十五号”载人飞船发射成功，并通过一系

列加速变轨后与距离地面400km的空间站交汇对接，万有引力常量为G,下列说法正确的是

()

A.变轨前A是空间站，B是飞船

B.飞船的发射速度可能小于7.9km/s

C.完成对接后，飞船和空间站的运行周期人于24小时

D.若已知空间站的运行周期和地球半径，可以测量地球密度

[例题3]（2023•邢台模拟）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径

的k倍，它的运动周期为T,引力常量为G,则地球的平均密度p的表达式为（）

.3nk3口3成3产

A.p=­B.p=—^―

GT2

W+lfD°-3以k+l）3

"一GT2

[例题4]⑵23•赣州二模）2022年10月9日，我国将卫星“夸父一号”成功送入太阳同步晨昏轨

道。从宇宙中看，卫星一方面可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道平面与地球的晨昏分界线共

面，卫星轨道离地高度h《720km,周期Ti2100分钟。另一方面卫星随地球绕太阳做匀速圆周

运动，周期T2=l年，卫星轨道平面能保持垂直太阳光线，如图所示。已知地球的半径为R,

引力常量为G,则下列表述正确的是（）

大lUJt靖

A.晨昏轨道平面与地球同步卫星轨道平面重合

B.根据以上信息可以估算出地球的质量

C.“夸父一号”的发射速度大于11.2km/s

D.根据三=空要可估算出地球到太阳的距离r

T2TI

［例题5J（2023•河南模拟）如图所示，某卫星绕地球做匀速圆周运动，从卫星观测地球的最大张角

为仇已知地球的半径为R,引力常量未知，忽略地球的自转，下列说法正确的是（）

B.e越小，卫星的线速度越大

c.若卫星的周期已知，则可测得地球的质最

D.若卫星的线速度已知，则可测得地球表面的重力加速度

考点二卫星运行参量的比较与计算

1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

越

/、M?n

CT—=高

rL《

越

（r=R地+八）

慢

规

GM

律ma-^a=—―■

GM〃?

（近地时）fGM=gR地

mgRI72

2.极地卫星和近地卫星

（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.

（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于

地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.

（3）两种卫星的航道平面一定通过地球的球心.

[例题6]（2023•漳州模拟）2022年7月24日，中国空间站间天实验舱发射成功。中国空间站组建

完成后，将从空间站中移放伴随卫星。如图所示，空间站在离地高度约400km的圆轨道绕地球

运行，伴随卫星在椭圆轨道上绕地球运行，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随

卫星在P处时位于空间站正上方，伴随卫星轨道半长轴与空间站轨道半径相等，仅考虑地球的

引力作用。则（）

A.空间站的角速度小于地球同步卫星的角速度

B.空间站的线速度介于7.9km/s到11.2km/s之间

C.伴随卫星运行到P点时，线速度比空间站的大

D.伴随卫星绕地球的运行周期与空间站绕地球的运行周期相等

[例题7]（2023•青羊区校级模拟）2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征

十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，

卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其

中a卫星为圆轨道，距离地面高度ha=2R,b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地

点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为vi,b卫星在近地

点M时线速度大小为\2在远地点N时线速度大小为丫3,地球半径为R,P点为两个轨道的交

点。下列说法正确的是（）

O

A.b卫星远地点N距离地心距离为二R

B.b卫星从N点运动到M点的时间为37rJy

C.VI>V2>V3

D.a卫星在P点受到地球的引力大于b卫星在N点受到地球的引力

[例题8]（2023•遂宁三模尸神舟十三号”飞船开始在半径为门的圆轨道I上运行，运行周期为Ti,

在A点通过变轨操作后进入椭圆轨道II运动，沿轨道II运动到远地点C时止好与处「半径为门

的圆轨道III上的核心舱对接，A为椭圆轨道II的近地点.BD为椭圆轨道H的短轴。假设飞船质

量始终不变，关于飞船的运动，下列说法正确的是（）

A.沿轨道I运行时的机械能等于沿轨道II运行时的机械能

B.沿轨道1运动到A时的速率大于沿轨道II运动到C时的速率

c.沿轨道II运行的周期为g产等1

D.沿轨道I运动到A点怔的加速度小于沿轨道II运动到B点时的加速度

[例题9]（2023•虹口区二模）探测器“夸父A”在距地球约150万公里的拉格朗日L点，与地球

•起以相同的公转周期绕太阳做匀速圆周运动，用以监测太阳活动的发生及其伴生现象，则

（）

A.“夸父A”处于平衡状态

B.在相同时间内，“夸父A”的位移相同

C.“夸父A”、地球绕太阳公转的向心加速度相同

D.“夸父A”绕太阳公转的加速度小于地球公转的加速度

［例题10］（2023•包头一模）如图甲，两小行星在同一平面内绕中心天体的运动可视为匀速圆周运动,

测得两小行星之间的距离Ar随时间变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是（）（不考

虑两小行星之间的作用力）

A.a星的运转周期为T

B.两星的周期之比Ta：Tb=l：4

C.两星的线速度之比Va：Vb=4:1

D.两星的加速度之比aa：ah=4：1

考点三卫星变轨问题分析

a42

I.当卫星的速度突然增大时，潭1即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离

原来的圆坑道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由。=、/绡可知其运行速度比原

轨道时减小.

2.当卫星的速度突然减小时，谭与〃,，印万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱

离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由'岸可知其运行速度比

原凯道时增大.

卫星的发射和回收就是利用这一原理.

［例题11］（2023•房山区一模）我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先

后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同

时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆

轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3,之后绕

地球做圆周运动。下列说法正确的是（）

/二\

：：4Oh：

\；A'、一：:

1

—2；/

、、\7,勺

、、、，/J

Q

A.A卫星在P点的加速度大于B卫星在P点的加速度

B.A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度

C.B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速

D.B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功

[例题12]（2023•道里区校级三模）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨

道运动到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，地球、火星绕太阳轨道可视为

圆轨道。则“天问一号”（）

A.发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间

B.从P点转移到O点的时间小于6个月

C.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度

D.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的周期小

[例题13]（2023•杭州二模）如图所示，是某火星探测器简化飞行路线图，其地火转移轨道是椭圆轨

道。假设探测器在近日点P点进入地火转移轨道，在远日点Q,被火星俘获。已知火星的轨道

半径是地球地火轨道半径的1.5倍，则转轨道（）

地火

移

转

道

轨

星

A.地球公转的周期大于火星公转的周期

B.探测器进入地火转移轨道后，速度逐渐增大

C.探测器在地火转移轨道上的周期大于火星的公转周期

D.探测器从发射到被火星俘获，经历的时间约255天

［例题14］（2023•南京模拟）2。23年1月21FL神舟十五号3名航天员在400km高的空间站向祖国

人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道I,设地球表面重力加速度为g,地

球半径为R,椭圆轨道H为载人飞船运行轨道，两轨道相切于A点，下列说法正确的是（）

轨道匚一、

A.在A点时神舟十五号经过点火加速才能从轨道【进入轨道II

B.飞船在A点的加速度小于空间站在A点的加速度

C.空间站在轨道I上的速度小于病

D.轨道I上的神舟十五号飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可

［例题15］（2023•湛江一模）2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与“天和核心舱”完成对接，

航天员费俊龙、邓清明、张陆进入“天和核心舱”。对接寸程的示意图如图所示，“天和核心舱”

处于半径为门的圆轨道III；神舟十五号飞船处于半径为口的圆轨道1,运行周期为Ti,通过变

轨操作后，沿椭圆轨道H运动到B处与“天和核心舱”对接。则神舟十五号飞船（）

>>------、^道［

道口

^^和核心舱

A.由轨道I进入轨道I【需在A点减速

B.沿轨道n运行的周期为T2=TIJ点。

C.在轨道I上A点的加速度大于在轨道II上A点的加速度

D.在轨道HI上B点的线速度大于在轨道H上B点的线速度

考点四宇宙速度的理解与计算

1.第一宇宙速度又叫环绕速度.

推导过程为：由/叫=喑=竿得：

V\=AJ^-=\［gR=7.9km/s.

2.第一宇宙速度是人造地球二星在迫皿丝环绕地球做力逑圆周运动时具有的速度.

3.第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度,也是人造地球卫星的最小发射速度.

注意（1）两种周期——自转危期和公转周期的不同.

（2）两种速度一环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度.

（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径/•的不同.

第二宇宙速度（脱离速度）：使物体挣脱地毯引力束缚的最小发射速度.

（4）V2=112km/s,

（5）第三宇宙速度（逃逸速度）：7.=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

［例题16］（2023•滁州二模）地球环境的变化，大家都是有目共睹的，也许将来有一天真的不再适合

人类居住，电影《流浪地球》里的选择是带着地球一起流浪，而现实中，有人选择移居火星。

火星是靠近地球的类地行星，已知地球质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2

倍；设地球的公转周期为T、地球表面的重力加速度为g、地球的第一宇宙速度为v、地球的密

度为P，则（）

A.火星的公转周期为2&r

2

B.火星表面的重力加速度约为£9

C.火星的第一宇宙速度约为

D.火星的密度约为：p

4

［例题17］（2023•聊城一模）材料的力学强度是材料众多性能中被人们极为看重的一种性能，目前已

发现的高强度材料碳纳米管的抗拉强发是钢的100倍，密度是钢的会这使得人们有望在赤道上

6

建造垂直于水平面的“太空电梯:当航天员乘坐“太空电梯”时，地球引力对航天员产生的加

速度a与r的关系用图乙中图线A表示，航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的

关系用图线B表示，其中r为航天员到地心的距离，R为地球半径。关于相对地面静止在不同

高度的航天员，下列说法正确的是（）

A.航天员在r=R处的线速度等于第一宇宙速度

B.图中m为地球同步卫星的轨道半径

C.随着r增大，航天员运动的线速度一直减小

D.随着r增大，航天员受到电梯舱的弹力减小

［例题18］（多选）（2023•蚌埠模拟）2021年5月15日，我国“祝融号”火星车在火星表面软着陆

时，竖直向下经t时间由速度vo匀减速到零完成平稳降落。已知火星车的质量为m,火星质量

是地球的a倍，火星半径是地球的b倍，地球表面重力加速度为g,不计火星的大气阻力，则

（）

A.减速过程着陆器的位移为vot

B.火星的平均密度是地球的白倍

C.火星的第一宇宙速度是地球的倍

D.减速过程中着陆器受到的制动力大小为机（弓9+中）

bc

［例题19］（多选）（2023•山西模拟）“祝融号”火星探测器于2021年5月22日成功着陆火星，至今

依然活跃。若测得火星表面赤道位置的重力加速度为g，而两极的重力加速度为go,且知火星

自转周期T,并将火星视为理想匀质球体，则下列判断中正确的有（）

产

A.火星的半径为So—g）易口

B.火星的半径为（g—a）G

c.火星的第一宇宙速度为

D.火星的第一宇宙速度为（Jg（g-g0）

［例题20］（多选）（2020•岳阳一模）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放

在弹簧上端，由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中P线所示.在

另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a・x关系如图中Q线所

示.己知M、N两星球的半径相等，不计星球表面的气体阻力，则（）

A.M、N星球表面的重力加速度大小之比是2：1

B.P、Q的质量大小之比是1：5

C.P、Q下落的最大速度之比是低：1

D.M、N两星球的第一宇宙速度之比是2：1

考点五双星或多星模型

绕公共圆心转动的两个星体纲成的系统，我们称之为双星系统，加图6所示，双星系统模型有以下

特点:

(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即

Gni\ni2Gni]Hi2

P---="Z20"2

(2)两颗星的周期及角速度都相同,即

T\=T2tco\=a)2

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：n+r2=L

(4)两颗星到圆心的距离〃、「2与星体质量成反比，即俳=彳

(5)双星的运动周期7=2兀

1+〃?2)

4」，

(6)双星的总质量公式孙+/»2=72G

[例题21](2023•河北模拟)科学家观测发现银河系的“MAXIJ1820+070”是一个由黑洞和恒星组成

的双星系统，若系统中黑洞与恒星的中心距离为L,黑洞做匀速圆周运动的加速度为a,恒星做

匀速圆周运动的加速度为a，，则黑洞做圆周运动的半径为()

aLaL2aL2aL

A.----B.----C.----D.----

a+a，a-a'a+ara-af

[例题22]“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双

星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点0做匀速圆周运动。如图

所示，某一双星系统中A星球的质量为mi,B星球的质量为m2,它们球心之间的距离为L,

引力常量为G,则下列说法正确的是（）

A.B星球的轨道半径为——L

ml+m2

B.A星球运行的周期为2戊二三三

yj6（叫十二2）

C.A星球和B星球的线速度大小之比为mi：m2

D.若在0点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零

[例题23]（2023•南充模拟）“黑洞”是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻“黑洞”的方案之

一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星

系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上

的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，若将可见星A所受暗星B的引力等效为

位于O点处质量为的星体对它的引力，设A和B的质量分别为mi、m2，则（）

A.m=---—B.m=/—

m1+m2?n1+m2

-m"mz-施

cVx•flI2D1-XeIII2

01+7712）（瓶1+巾2）

[例题24]（2022•江门模拟）宇宙用有一孤立星系，中心天体对周围有三颗行星，如图所示，中心天

体质量大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，行星I、【II为圆轨道，半径分别为门，m

行星H为椭圆轨道，半长轴为a,a=r3,与行星I轨道在B点相切，下列说法正确的是（）

A.行星II与行星III的运行周期相等

B.行星【I在P点与行星II］在D点时的加速度相同

C.行星H【的速率大于行星II在B点的速率

D.行星I的速率与行星II在B点的速率相等

［例题25］（多选）近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的十分之一，可见

此系统是一个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他星体

对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，

绕某一共同的圆心0在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示为A、B、

C三颗星体质量mA、mB、me大小不同时，星体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻

受到的万有引力的合力大小分别为F］、F2、F3,加速度大小分别为a】、a2、孙星体轨迹半径分

别为RA、RB、Re,下列说法正确的是（）

A.若三颗星体质量关系有mA=mB=mc,则三颗星体运动轨迹圆为同•个

B.若三颗星体运动轨迹半径关系有RAVRBVRC，则三颗星体质量大小关系为mA〈m3Vme

C.Fi、F2、F3的矢量和一定为0,与星体质量无关

D.ai>a2、a3的矢量和一定为0,与星体质量无关

练出高分

一.选择题（共10小题）

1.（2023•河北区二模）据中国载人航天工程办公室消息，中国空间站已全面建成，我国载人航天工

程“三步走”发展战略已从构想成为现实。目前，空间站组合体在轨稳定运行，神舟十五号航天

员乘组状态良好，计划于今年6月返回地面。空间站绕地球飞行的轨道可视为圆轨道。空间站运

行朝L道距地面的高度为40Ckm左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则空间站的（）

A.角速度比地球同步卫星的小

B.周期比地球同步卫星的长

C.线速度比地球同步卫星的小

D.向心加速度比地球同步卫星的大

2.（2023•潮州二模）2022年11月29口神舟十五号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射升空，飞船入

轨后按照预定程序，成功与我国空间站轨道核心舱进行自主快速交会对接。已知空间站运行在离

地面高为三R的圆轨道上（R为地球半径），下列说法正确的是（）

A.空间站在轨道上飞行的速度大于9km/s

B.空间站中的一根天线脱落将做自由落体运动

C.成功对接后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小

D.入轨后飞船内的宇航员所受地球的万有引力大小约为他在地面时的（居产

3.（2023•丰台区二模）两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点

做周期相同的匀速圆周运均。

科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个宛度周期性变化的光点，

这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该

双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后

双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是（）

A.被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大

B.被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大

C.被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小

D.小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变

4.（2023•重庆模拟）图1为电影《流浪地球2》中的太空电梯，又称为“斯科拉门德快速旦梯”，是

一种可以在地球表面和太空间来回运输人员和物资的巨型结构。图2为其简易图，固定在空间站

和地球间的刚性“绳索”与空间站一起和地球保持相对静止，电梯可沿“绳索”升降，则（）

A.空间站绕地球运行的向心力小于地球对它的万有引力

B.空间站绕地球运行的向心力等于地球对它的万有引力

C.若连接空间站处的“绳索”断裂，空间站将落回地面

D.若连接空间站处的“绳索”断裂，空间站做离心运动

5.（2023•沧州一模）科幻电影《流浪地球》中，地球需借助木星的“引力弹弓”效应加速才能成功

逃离太阳系。然而由于行星发动机发生故障使得地球一度逼近木星的“洛希极限”，险象环生。“洛

希极限”是一个距离，可粗略认为当地球与木星的球心间距等于该值时，木星对地球上物体的引

力约等于其在地球上的重力，地球将会倾向碎散。已知木星的“洛希极限"衣，其中R木

为木星的半径，约为地球半径R的11倍。则根据上述条件可估算出（）

A.木星的第一宇宙速度约为7.9km/s

B.木星的第一宇宙速度约为16.7km/s

9

C.木星的质量约为地球质量的：倍

4

9

D.木星的密度约为地球密度的k倍

44

6.（2023•上饶一模）北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二

号丁运载火箭，以“一箭十四星”发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星、吉林

一号高分03D34星等4颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.假设

其中的甲、乙两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，甲的质后也是乙的

2倍.贝IJ（）

A.由丫=质可知，甲的速度是乙的&倍

B.由a=o）2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍

Mm1

C.由F=GF-可知，甲的向心力是乙的二

T24

D.由可知，甲的周期是乙的2注倍

T2

7.（2023•安庆模拟）中国原创科幻电影《流浪地球2》近期火爆全球，片中高耸入云、连接天地的

太空电梯运行场景令人震撼，其通过高强度缆绳将地球同步轨道上的空间站与其正下方赤道上的

固定物连接在一起，在引力的作用下，缆绳处于紧绷状态。若载满乘客的太空电梯因机械故障悬

停在缆绳中间处，下列说法正确的是（）

A.悬停时太空电梯所受合外力为零

B.悬停时电梯内乘客处于完全失重状态

C.悬停时太空电梯的速度大于空间站的速度

D.悬停时太空电梯的速度小于在同样高度绕地球做圆周运动的卫星的速度

8.（2023•通州区一模）2022年6月5日，我国的神舟十四号载人飞船与距地表约400km的空间站

完成径向交会对接。径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成对接。

对接前，飞船在空间站正下方200米的“保持点”处调整为垂直姿态（如图所示），并保持相对静

止。准备好后，再逐步上升到“对接点”与空间站完成对接。飞船和空间站对接后，组合体绕地

球做匀速圆周运动。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处。下列说法正确的是（）

A.飞船维持在“保持点”的状态时，它的运动速度大于空间站运动速度

B.飞船维持在“保持点”的状态时，需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力

C.与地球同步卫星相比，组合体的运动周期更大

D.飞船一直加速才能从“保持点”上升到“对接点”

9.（2023•黄山模拟）三月春来早，北斗农机来报到，基于北斗的自动驾驶农机能够按照既定路线进

行精准春耕作业，精细化程度显著提升，虽然我国的北斗系统起步最晚，但“后来居上”，成为可

与美国GPS媲美的最先进的全球导航定位系统。如图是北斗三号卫星系统三种口星的参数，地球

球体半径为6400km,以下说法正确的是（）

表1北斗三号卫星功能特点

北斗卫星MEO卫星（24）GEO卫星（3）IGSO卫星(3)

名称中圆轨道卫星地球静止轨道卫星倾斜地球同步轨道卫

星

轨道高度2万公里左右，三个3.6万公里左右3.6万公里左右

轨道面，保持55°

的倾角

星下点估计绕着地区划波浪投影一个点锁定区域画8字

功能特点环绕地球运行实现全承载区域短报文通信与GEO互补，对亚

球导航定位、短报文太区域可重点服务

通信、国际救援

A.MEO卫星速度大于7.9km/s

B.GEO卫星可以相对静止在我国某地上空

C.GEO卫星和IGSO卫星24h一定会相遇一次

D.MEO卫星周期T一定小于24h

10.（2023•凯里市校级模拟）北京时间2022年11月29日23点08分，我国成功发射神舟十五号载

人飞船，在太空与在轨的神舟卜四号乘组对接，这是我国航天史上首次实现两载人飞船在太空中

对接。神舟十五号载人K船和在轨的神舟十四号载人匕船对■接前运行可简化为匀速圆周运动，如

图所示，神舟十五飞船绕A轨道运行的周期为Ti,神舟十四号飞船绕B轨道运行的周期为T2,

在某时刻两飞船相距最近，轨道B离地高度约为400km。下列说法正确的是（）

TT

A.两£船卜一次相距最近需经过时间t=丹＞

11+/2

B.神舟十五、十四两飞船绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为（圣T.尹2

C.神舟十五号飞船要与在轨的神舟十四号飞船对接，需要向其运动方向喷气

D.神舟卜五号飞船对接后的向心加速度小于地球赤道上物体随地球自转的向心加速度

二.计算题（共3小题）

II.（2023♦西城区二模）建立物理模型是解决实际问题的重要方法.

（1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M,半径为R,万

有引力常量为G。

a.卫星在近地轨道I上围绕地球的运动，可视做匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求

卫星在近地轨道I上的运行速度大小Vo

b.在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道I进入椭圆轨道II。卫星沿椭圆轨道运动的情况

较为复杂，研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段，卫星在每小段的运动都可以看作是圆

周运动的一部分（如图2所示）。这样，在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时，就可以按其等效

的圆周运动来分析和处理。

卫星在椭圆轨道II的近地点P的速度为vi,在远地点D的速度为V2,远地点D到地心的距离为

根据开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）

可知viR=V2r,请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。

（2）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠

近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地

球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。

已知，木星和地球的密度分别为po和p，木星和地球的半径分别为Ro和R，且d»R。请据此近

似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d-“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时，

（1+x）X]+nx。]

图2

12.（2023•铜仁市模拟）我国航天技术水平在世界处于领先地位，对于人造卫星的发射，有人提出

了利用“地球隧道”发射人造卫星的构想：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处分别

将等质量的待发射卫星部件同时拜放，部件将在通道中间位置“碰撞组装”成卫星并静止下来；

另在通道的出口处由静止释放一个大质量物体，大质量物体会在通道与待发射的卫星碰撞，只要

物体质品相比卫星质量足够大，卫星获得足够速度就会从对向通道口射出。（以下计算中，已知地

球的质量为Mo,地球半径为Ro,引力常量为G,可忽略通道AB的内径大小和地球自转影响。）

（1）如图甲所示，将一个质量为mo的质点置于质量分布均匀的球形天体内，质点离球心O的距

离为r。已知天体内部半径在I•〜R之间的“球壳”部分（如甲示阴静部分）对质点的万有引力为

零，求质点所受万有引力的大小尺。

（2）如图乙所示，设想在地球上距地心h处沿弦长方向挖了一条光滑通道AB,一个质量为m。

的质点在离通道中心0,的距离为x处，求质点所受万有引力沿弦AB方向的分力Fx；将该质点从

A点静止释放，求质点到达通道中心（7处时的速度大小vo.

（3）如图丙所示，如果质量为m的待发射卫星已静止在通道中心01处，由A处静止释放另一质

m

量为M的物体，物体到达0'处与卫星发生弹性正碰，设M远大于m,计算时可取七、0。卫星

从图内示通道右侧B处飞四，为使飞出速度达到地球第一宇宙速度，h应为多大？

13.（2022•西城区校级四模）“星空浩瀚无比，探索永无止境。”人类从未停止对宇宙的探索，中国

航天事业正在创造更大的辉煌。

（1）变轨技术是航天器入凯过程中的重要一环。实际航行中的变物过程较为复杂，为方便研究我

们将航天器的变轨过程简化为如图1所示的模型：①将航天器发射到近地圆轨道1上；②在A点

点火加速使航天器沿椭圆轨道2运行，轨道1和轨道2相切于A点，A、B分别为轨道2的近地

点与远地点，地球的中心位于椭圆的一个焦点；③在远地点B再次点火加速，航天器沿圆轨道3

运行，轨道2和轨道3相切于B点。

已知引力常量为G,地球的质量为M,轨道1半径为R,轨道3半径为3R,质量为m的物体与

地球间的引力势能与=-华（「为物体到地心的距离，取无穷远处引力势能为零）。

・••・•

图2

a.求航天器在圆轨道1上运行时的速度大小v；

b.开普勒第二定律表明：航天器在椭圆轨道2上运行时，它与地球中心的连线在相等的时间内扫

过的面积相等。请根据开普勒第二定律和能量守恒定律，求航天器在椭圆轨道2近地点A的速度

大小VA。

（2）在航天滞到达预定高度后，通常使用离子推进黯作为动力装置再进行姿态和轨道的微小修

正。如图2所示，推进剂从P处注入，在A处电离出正离子，B、C之间加有恒定电压U,正离

子进入B时的速度忽略不计，经加速形成电流为I的离子束后喷出。己知单位时间内喷出的离子

质量为mo。为研究方便，假定离子推进器在太空匕行时不受其它外力，忽略推进器运动的速度。

求推进器获得的推力的大小F。

第11讲万有引力定律

目录

考点一天体质量和密度的计算............................................1

考点二卫星运行参量的比较与计算........................................2

考点三卫星变轨问题分析................................................4

考点四宇宙速度的理解与计算.............................................6

考点五双星或多星模型...................................................9

练出高分.................................................................11

考点一天体质量和密度的计算

I.解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

⑵在中心天体表面或.附近运动时，万有引力近似等于重力，即。塞=〃吆(g表示天体表面的

重力加速度).

2.天体质量和密度的计算

⑴利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于G号会=〃的故天体质量M=吟，

MM3女

天体密度〃=V-4

-A4

3兀

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期7和秋道半径r.

①由万有引力等于向心力，即=〃¥~广，得出中心天体质量M=卷声:

②若已知天体半径R,则天体的平均密度

MM3/

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其就道半径，•等于天体半径R,则天

37r

体密度〃=澎.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期7,就可估算出中心天体的密

度.

[例题26]（2023•昌平区二模）卡文迪什在1798年17卷《哲学学报》中发表他关于引力常

量的测量时，曾提到池的实验是为了确定出地球的密度。已知引力常量为G,要想估测

地球的密度，只需测得（）

A.地球的质量B.地球的半径

C.近地卫星的运行周期D.地球表面的重力加速度

【解答】解：ABD、根据万有引力与重力的关系有等=mg

解得M=说

可解得：P=A豁,或「=蔡

可知只测得地球的质量、或地球的半径、或地球表面的重力加速度，均不能估测地球的

密度，故ABD错误；

GMm

C、对于质量为m的近地卫星，设其运行周期为T,根据万有引力提供向心力得：—=

2n

m（—）27R

结合p=¥=向，可得p=第，可知己知G,只需测得近地卫星的运行周期，就能估

测地球的密度，故C正确。

故选：Co

[例题27]（2023•茂名二模）2022年11月29日我国“沔舟十五号”载人飞船发射成功，并

通过一系列加速变轨后与距离地面400km的空间站交汇对接，万有引力常量为G,下

列说法正确的是（）

A.变轨前A是空间站，B是飞船

B.飞船的发射速度可能小于7.9km/s

C.完成对接后，飞船和空间站的运行周期大于24小时

D.若已知空间站的运行周期和地球半径，可以测量地球密度

【解答】解：A、飞船加速后将做离心运动，轨道半径增大，则变轨前A是飞船，B是空

间站，故A错误;

B、7.9km/s是最小的发射速度，可知飞船的发射速度大于7.9km/s,故B错误；

Mm47r2I3

C、根据万有引力提供向心力，得G受-=四方［得T=2nJ金r，完成对接后，飞船和

空间站的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以完成对接后，飞船和空间站的运

行周期小于地球同步卫星的运行周期24h,故C错误；

D、根据地球半径和空间站距离地面的高度，可以得到空间站的轨道半径，由

Mm4n247r2丁3

0=mr,得M=,即可以求出地球的质昌:。由地球半径能求出地球的体积,

7r7^GT2

因而能求出地球的密度，故D正确。

故选：D。

［例题28］（2023•邢台模拟）宇宙£船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于

地球半径的k倍，它的运动周期为T,引力常量为G,则地球的平均密度p的表达式为

（）

GMm47r2

【解答】解：根据万有引力提供向心力可得：—=0!^-,解得中心天体的质量为:

M=也绥，其中r=kR

GT1

根据密度的计算公式p=冬其中V=酎R3

联立解得：p=蟠，故A正确、BCD错误。

GT2

故选：Ao

［例题29］（2023•赣州二模）2022年10月9日，我国将卫星“夸父一号”成功送入太阳同

步晨昏轨道。从宇宙中看，卫星一方面可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道平面与地球

的晨昏分界线共面，卫星轨道离地高度h^720km,周期Ti^lOO分钟。另一方面卫星

随地球绕太阳做匀速圆周运动，周期T2=l年，卫星轨道平面能保持垂直太阳光线，如

图所示。己知地球的半径为R,引力常量为G,则下列表述正确的是（）

A.晨昏轨道平面与地球同步卫星轨道平面重合

B.根据以上信息可以估算出地球的质量

C.“夸父一号”的发射速度大于11.2km/s

D.根据二=V乙可估算出地球到太阳的距离r

丁2

【解答】解：A、晨昏轨道与地球经线平