2024年高考数学复习 第一轮复习讲义（新高考地区专用） 考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练）（原卷版+解析）

考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练）

但一、2022真题抢先刷，考向提前知

一.填空题（共2小题）

a2x-lx<0

1.（2022•上海）若函数/（幻=，x+ax>0,为奇函数，求参数〃的值为.

0x=0

-X2+2,X<1,

2.（2022♦浙江）已知函数八x）=・1则/（/（_1：））=_______________________；若当

XL-1，X>1,2

X

力时，1勺（x）/3,则b・a的最大值是.

右清单

一.函数最值的应用

函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值.在日常生活中我们常常会遇到如何

使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题.另外，最

值可分为最大值和最小值.

这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学

们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视.这

里我们以具体的例题来讲解.

例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池

壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米加元，则最低造价为多少？

解：设水池底面的长为x米，宽为4800・3x米，总造价为户则

y=KX^^Xl.5m+3><2（x3^）m=2400m+6（m…（6分）

3x3xx

求导可得y'

X

令y'=6m（lS嘤）=0,可得x=40・・・（ll分）

X

・•・函数在（0,40）上单调递增，在（40,+8）上单调递减

工当池底长为40米,宽为池米时，总造价最低为2880m元.

这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学

模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面

长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的•个函数，这也是我们常用的方法.第二步构建函数，然

后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性.

【高考预测】

应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，

会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形

式表达出来.

二.分段函数的应用

分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的.这个

在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里

面都涉及到分段函数.

【具体应用】

正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现.下

面我们通过例题来分析一下分段函数的解法.

例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年

销售量为IL8万件.第二年，当地政府开始对该商品征收税率为〃％（OVpV100,即销售100元要征收〃

元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件翟三元，预计总销售量将减少〃万件.

（I）将第二年政府对该商品征收的税收），（万元）表示成〃的函数，并指出这个函数的定义域；

（II）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率〃%的范围是多少？

（III）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则〃应为多少？

解：（I）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，

年销售收入为幽匕（11.8-p）万元，

100-p

政府对该商品征收的税收产需半（11.8-P）“％（万元）

故所求函数为y=肃一（11.8-p）p

由ll.8-p>0及p>0得定义域为OVpVU.8…（4分）

（〃）由得一8°—（11.8-p）“216

100-p

化简得p?-12p+20W0,即（p-2）（p-10）WO,解得2WpW10.

故当税率在［0.()2,0.1］内时，税收不少于16万元.…(9分)

(/〃)第二年，当税收不少于16万元时，

厂家的销售收入为g(p)=短”(11.8-p)(2WpW10)

100-p

(11.8-p)=800(10浇冷)在［2,10］是减函数

100-p100-p

:・g(p)ma.x=g(2)=800(万元)

故当税率为2%时，厂家销售金额最大.

这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分

段其实无关.我们重点看看分段函数要注意的地方.第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第

二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段

函数的讨论.

【考查预测】

修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答.

三.根据实际问题选择函数类型

1.实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学

习函数的重要内容.

2.用函数模型解决实际问题

(1)数据拟合：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整钮也，看它

们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的

函数表达式,再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数

据拟合.

(2)常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型)，a#o),图象增长特点是直线式上升(X的系数％>0),通过图象可以

直观地认识它，特例是正比例函数模型y=E(%>()).

②反比例函数模型：>=区(^>0)型，增长特点是y随x的增大而减小.

X

③指数函数模型：(方>0,且方H1,〃#0),其增长特点是随着自变量的增大，函数仅增大的速度

越来越快(底数。>1,。>0),常形象地称为指数爆炸.

④对数函数模型，即>=福。g"+〃（a>0,“Wl,wWO）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越

来越慢（底数41,加>0）.

⑤幕函数模型，即），（小0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=ax1+bx+c（«^0）,其特点是

随着自变量的增大，函数值先减小后增大（«>0）.

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同

时还要与实际问题结合，如取整等.

3.函数建模

（1）定义：用数学思想、显、知识解决实际问题的过程,叫蚱数学建模.

（2）过程：如下图所示.

（实肮情境）

ZEZ

（提出问题）

不

合通数碰）

乎

实

际

回用结果〕

【典型例题分析】

典例1：某公司为了实现100（）万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10

万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额），（单位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增加而增加，

但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%,其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：

LOO?60。弋6,1//7^1.945,1〃102七2.302）（）

A.y=0.025x13.y=1.003AC.y=/+log7xD.y=­-~~x2

4000

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当.隹［10,1000］时，①图数为增函数；②函数的最大值不超

过5；③yWx・25%,然后一一验证即可.

解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：

当工曰10,1000］时,

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③jWx・25%=」•工，

4

A中，函数），=0.025x,易知满足①，但当x>200时，）05不满足公司要求：

8中，函数y=1.003x,易知满足①，但当x>600时，），>5不满足公司要求；

。中，函数y=/+logzr,易知满足①，当x=IO（）O时，y取最大值/+Iog7l000=4-/g7<5,且/+k）g7xW』x恒

4

成立，故满足公司要求；

。中，函数），=」一小,易知满足①，当x=400时，）>5不满足公司要求；

4000

故选C

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证.

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和

测算，服装的年销量x万件与年促销f万元之间满足关系式3-工=上（A为常数），如果不搞促销活动，

t+1

服装的年销量只能是1万件.已矢】2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万

件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为；“每件生产成本的150%”与“平均每件促

销费的一半”之和，试求：

（1）2015年的利润y（万元）关于促销费，（万元）的函数；

（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

分析：（1）通过1表示出年利润），并化简整理，代入整理即可求出），万元表示为促销费/万元的函数.

（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企

'业的年利润最大.

解答：解：（1）由题意：3-x=———>

t+1

且当f=0时，x=\.

所以&=2,所以3-x=—2—,…（1分）

t+1

生产成本为32x+3,每件售价注旦）咛，…（2分）

所以，尸序（32：+3）x-（32x+3）-t…（3分）

=16,v--k^-=----+50»（r>50）；…（2分）

22t+12

（2）因为里当且仅当至上二即『7时取等号，…（4分）

t+12产t+12

所以）W50・8=42,…（1分）

答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大.…(1分)

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解

决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用.

【解题方法点拨】

用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：

(1)解函数关系已知的应用题

①确定函数关系式y=/(x)中的参数，求出具体的函数解析式y=/(x)；②讨论x与)，的对应关系，针对

具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数

值给出答案.

(2)解函数关系未知的应用题

①阅读理解题意

看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；

②抽象函数模型

在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；

③研究函数模型的性质

根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；

④得出问题的结论

根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解.

四.带绝对值的函数

1.当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是

分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究.

2.①形如y=/(x)|的函数，由于|f(x)|=4'，因此研究此类函数往往结合函数图象，

-f(x),f(x)<0

可以看成由的图象在X轴上方部分不变，下方部分关于X轴对称得到，例如y=|』-1|的图象如下图:

@f（x）=a\x-m\+b\x-n|,（m<n）的图象是以人②,f（m））fBg/（〃））为折点的折线.

当。+〃>0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为福为（/（机），/（〃））；

当o+〃V0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Mczx{/（〃?），/（〃）}；

当什力=0时，两端无限延伸且平行尤轴，故既有最大值又有最小值，最大值为MaM/（，〃），/（〃）}；最小

值为min{f（〃?），/（〃））；例如:y=2\x-l|+3|x-2|和y=2\x-l|-3|J-2|的图象分别为

但三、题型方法

一.函数最值的应用（共6小题）

1.（2022•和平区三模）设〃，心0,a+b=5,则心h忑的最大值为.

2.（2022•兴庆区校级一模）若函数/（X）=且二—・cosx+3在［-?，上的最大值与最小值之和为

_x,.-X22

)

A.6B.3C.4D.8

3.（2022•商洛一模）声音大小（单位：dB）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单.位：Nine）

变化.已知声压x与声音大小），的关系式为y=10Xlg（—2.根据我国《工业企业噪声卫生标

2X1Q-5

准》规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85dB.若某新建企业运行时测得的声音大小为60d&符合

《工业企业噪声卫生标准》规定，则此时声压为（）

A.IN/ni2B.20/V/w2C.0.2M/W2D.0.02M",

4.（2022•合肥二模）已知函数/（x）=f-“siiiY-1,aER.

Jr

（1）设函数g（x）=f（x）,若），=g（x）是区间［0,d-］上的增函数，求。的取值范围；

（2）当4=2时，证明：函数/（X）在区间（0,TI）上有且仅有一个零点.

TTTT

（多选）5.（2022•福建模拟）已知函数/（x）=sin（o）x+（p）,其中o）>0.对于任意的0g（―-,——）,

62

函数/（X）在区间（工，工）上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（）

124

A.函数/（外的最小正周期小于三

6

7T

B.函数f（x）在（0,二-）内不一定取到最大值

X乙

C.12<34雪

JT

D.函数f（x）在（0,7歹）内一定会取到最小值

X乙

6.（2022•上海模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元,

'19,/

400x-x，0<x<400

已知总收益（单位：元）满足NG）=12其中x（单位：台）是仪器的月产量.

80000,x>400

（I）将利润表示为月产量的函数/CO；

（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益=总成本+利润）

二.分段函数的应用（共18小题）

ax-(x+1)2,x)0

7.（2023♦新疆模拟）已知函数/（x）其中〃>0且若函数f（x）图象上

-2x+l,x<C0

存在关于原点对称的点仅有两对，则实数。的取值范围为（）

_2__2_2_2_

ee

(0,e)B.1e,口C.(i,ge)D・(e，©)

x2+l>x<0

则/(/(

8.(2023•呼和浩特模拟)若函数/(x)='z-2))=()

log9(x+3),x>0

A.1B.2C.3D.4

9.（2023•海口模拟）函数/（x）=7-4国+3的单调递减区间是（）

A.(・8,-2)B.1・8,・2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+8)

-x+1,x<C0

10.(2023•青秀区校级一模)已知函数f(x)《、，那么/(/(-1))=()

2X,x>0

A.7B.6C.5D.4

f2

11.（2023・宜宾模拟）若函数£鼠）1°；2'<°的最小值是・2,则实数〃?的取值范围是（）

2X3-3X2,X>0

A.m<0B.C./n>0D.

12.（2023•永州三模）若函数y=f（x）和y=/（■永在区间［〃，水上的单调性相同,则把区间［,，州叫做

y=/（x）的“稳定区间”.已知区间［1,2023］为函数y=|e）"+a|的“稳定区间”，则实数。的可能取

值是（）

A.-B.-C.—D.—

4422

2\x>0

13.（2023•射洪市校级模拟）已知函数f（x）=,1,若/（。）<f（6-a）则实数〃的取

一份）X，x<0,f

值范围是（）

A.（-3,+8）B.（-8,-3）C.（3,+8）D.08,3）

4X,x>0,

14.（2023•大通县二模）已知实数〃WI,函数f（x）;若f(1-a)=f(a-l),则〃的值

,x<0,

为（）

A.—B.-C.—I

224

15.（2023•九江模拟）设函数/（x）=4x+\x-a\,其中aWR.

（1）当。=6时，求曲线y=/（x）与直线4x-y+8=O围成的二角形的面积;

（2）若。<0,且不等式/（x）<2的解集是（-8,-3）,求a的值.

16.（2023•北京模拟）已知函数f（X）=[X2-5，X<-2,若方程/（4）=1的实根在区间（上2+1）,

xlg（x+2）,x>-2

k€Z上，则％的最大值是（）

A.-3B.-2C.1D.2

17.（2023•古冶区校级模拟）已知函数f（x）=,'-I'X〉：，若/（））的最小值为],则&的取值范

|x-a-l|,x<a

围是（）

A.哼，Q）

B.[V2,Q)C.[2>/2,Q)D.[4^2,©)

[ae-x,x41

18.（2023•湖北模拟）已知函数f（x）=x、（a>0）图象上存在关于），轴对称的两点，则正数

lrAx>l

a

口的取值范围是（）

A.（e,+8）B.（0,!）C.（―,e）D.（工，Q）

eee

19.（2023•东城区二模）设函数f（x）=J：x<a,若f（x）为增函数，则实数。的取值范围是（）

x2x>a

A.(0,4]B.[2,4]C.[2,+8)D.[4,+8)

sin兀x,x€[0,2]

20.(2023•嘉定区校级三模)已知函数f(x)=<1%。23-1)，在⑵Q)’若满足/⑷可⑴

=f(c)(〃、仄。互不相等)，则a+Hc的取值范围是()

A.(3,2023.5)B.(3,2024)C.[3,2024)D.[3,2025)

41nx+l,

21.(2023•噪州市模拟)已知函数f(x)，若pHq,且/(p)4/(q)=2,则p+q的最

2x-l,X<1

小值是()

A.2-2ln2B.3-2历2C.4-2ln3D.2

a'-3叉2.Y〉0

22.(2023•南昌三模)函数f(x)=_若关于k的不等式/(x)20的解集为

-x2+(a-2)x+2a,x40,

[-2,+8),则实数a的取值范围是()

A.(-2,f]B,[0,C,[0,412

D.{0}U叩―

乙乙4x

23.(2023•丹东模拟)设函数y=f(x)由关系式中|+)廿|=1确定，函数g(x)」一："?，二，则()

f(-x),x<0

A.g(x)为增函数

B.g(x)为奇函数

C.g(x)值域为［-1,+8)

D.函数y=/(-x)-g(x)没有正零点

24.(2023•黄埔区校级模拟)已知函数/(外=lfi-\x-l|-|.r+l|.

(1)当〃?=5时，求不等式/(x)>2的解集；

(2)若二次函数尸)+2什3与函数产/⑴的图象恒有公共点，求实数〃?的取值范围.

三.根据实际问题选择函数类型(共18小题)

压力

25.（2023•全国二模）大气压强它的单位是“帕斯卡”（Pm\Pa=\N/nry已知大气压强

产受力面积t

p（Pa）随高度/?（W的变化规律是p=pQe-kk,其中po是海平面大气压强，攵=0.000126〃尸.当地高

山上一处大气压强是海平面处大气压强的工，则高山上该处的海拔为米.（答案保留整数,

3

参考数据加3-1.据

26.（2023•西城区校级三模）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2023年5月1日1235000

2023年5月15日6035500

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

27.（2023•驻马店三模）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水翁喷头数量应根据设计喷雾强度、保护

面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量4（单位：〃〃访?）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算

公式为计算确定，其中。为水雾喷头的工作压力（单位：/向）,K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头

制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：L加加・//）,水雾喷头的

布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的

工作压力~为0.35MP“，水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为14#,保护对象的

设计喷雾强度W为20〃”疝?•病时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（）（参考数据：）

A.4个B.5个C.6个D.7个

28.（2023•密云区三模）血药浓度（PMaConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体

内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1

单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示:

彳-----最低中毒浓度（MTC）

峰浓度安

全

范

困

-----最低有效浓度（MEC）

89101112小卜时）

持续期；残序期

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：

①首次服用该药物I单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；

②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；

③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；

④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.

其中正确说法的个数是（）

A.IB.2C.3D.4

29.（2023•广西模拟）荀子《劝学》中说：“不积晚步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”所以说学习

是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”

率都是1%,一年后是1.0俨5=37.7834；而把（1-1%）365看作是每天，，退步，，率都是1%,一年后是

1365

0.99365^（）.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的LUn1i生1481倍・那么当“进步”的值

0.99365

是“退步”的值的2倍，大约经过（）天.（参考数据：欣10142.0043,心99心1.9956,々2比0.3010）

A.35B.25C.15D.9

30.（2023•闵行区校级二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企

业的污水排放量W与时间，的关系为W=/（f），用・了（，二f（且）_的大小评价在［小加这段时间内企业

b-a

污水治理能力的强弱，己知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则卜列正确

的命题是（）

污

水

达

标

”

放

I»

'!,

A.在m，⑵这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱

B.在/2时刻，甲企'业的污水治理能力比乙企业弱

C.在“时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标

D.甲企业在［0,川，矶曲,m这三段时间中，在m，⑵的污水治理能力最强

31.（2023•潍坊二模）如图，菱形架ABC。是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用钱佳首尾连接而

成.已知A,。可在带滑槽的直杆/上滑动：另一根带滑槽的直杆。”长度为4,且一端记为H,另一端

川茂链连接在。处，上述两根带滑槽直杆的交点，处有一栓子（可在带滑槽的更杆上滑动）.若将〃，B

司定在桌面上，且两点之间距离为2,转动杆”。，则点。到点8距离的最大值为

32.（2023•哈尔滨二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，

某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）.

步骤1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点，标记为F：

步骤2：把纸片折叠，使圆周E好经过点八

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和步骤3,就能得到越来越多的折痕.

圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C

现有半径为4的圆形纸片，定点尸到圆心E的距离为2,按上述方法折纸，在。上任取一点M,。为线

段EF的中点，则IOM］的最小值为.

33.（2023•济南一模）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的

方式.在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是

常见的一种距离形式.两点A（xi,yi）,B（X2,y2）的闵氏距离为。〃（A,B）=（|巾-回〃+|四-

P»其中〃为非零常数.如果点M在曲线y=/上，点N在直线y=x-1上，则。i（M,N）的最小值

为.

34.（2023•重庆模拟）王先生今年初向银行申请个人住房贷款10（）万元购买住房，月利率为（）.3%,按夏利

计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清•.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金:

在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：

在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.

（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500

元，试计算王先生该笔贷款的总利息、；

（2）若王先生采取等额本息的还贷方式.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的•半，已知王先生

家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据1.003,19^1.428,

1.003,80««1.433,1.003⑵%1.437

35.（2023•郴州模拟）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解

决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在〃期末的金额，

把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指〃期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起

点和终点.例加，在复利计息的情况下，设本金为4,每期利率为广，期数为〃，到期末的本利和为S,

则S=A（1+-）〃其中，S称为〃期末的终值，A称为〃期后终值S的现值，即〃期后的S元现在的价值

为S

（Hr）n

现有如下问题；小明想买一座公寓有如下两个方案

方案一：一次性付全款25万元；

方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；

（1）已知一年期存款的年利率为2.5%,试讨论两种方案哪一种更好？

（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1）问

中的存款年利率2.5%,预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）

参考数据：（1+2.5%）10^1.28

36.（2023•丰城市模拟）某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工

程师进行维修，因为考虑到人力，成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以购买仪器锥修服务的条

件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元在仪器使用期间，如果维修服务次数

不够再次购买，则需要每次1500元，现需决策在购买仪器的司时购买儿次仪器维修服务，为此搜集并整

理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如卜.表格：

维修次数56789

频数（台）50100150100KX）

记x表示一台仪器使用期内维修的次数，），表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，”表示购买仪器的

同时购买的维修服务的次数.

（1）若〃=6,求），与x的函数关系式；

（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求6W/W8的概率;

（3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算

这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据:判断应购买7次还是8次维修服

务？

37.（2023•海淀区校级三模）“ChatGPT，以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具

有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为

G

G其中L表示每一轮优化时使用的学习率，口表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训

L=LODO,

练迭代轮数，G）表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,

且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4,则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至

少为（参考数据：仅2%0.3）（）

A.75B.74C.73D.72

38.（2023•苏州三模）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：og2（14），它表示在受噪音

干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪

声功率N的大小,其中§叫做信噪比.当信噪比§比较大时,公式中直数里面的1可以忽略不计.按照

NN

香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比§从1000提升至12000,则C大约增加了（）（参考数据：

N

-2=0.3010,^3=0.4771,3=0.6990）

A.25%B.30%C.36%D.45%

39.（2023•无锡三模）“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进

步.假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的1.01365^37.8倍，这说明每天多百分之一的努力，

一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%,那么大约经过（）

天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍.（参考数据：々2%0.301,依340.477,fell^1.041）

A.82B.84C.86D.88

40.（2023•南昌二模）足球是大众喜爱的运动，足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都

让观众赞不绝口.甲、乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A,8点站的是甲

队队员，C点站的是乙队队员，八〃/2,这两平行线间的距离为3〃?，C4_LAB,IAC1VIA3I,出。=10/〃，点

B在直线/上，且/±/2»这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球

方向及控制传球力度，及时准确传到接球点），记传球方向与人的夹角为a,已知站位8,C两点队员跑

动速度都是8〃心，现要求接球点满足下面两个条件：

①站位B点队员能至少比站位。点队员早15跑到接球点：

②接球点在直线/的左侧（包括/）：则tana的取值范围是

41.（2023•平顶山模拟）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术

传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为12CM,宽为10CM的矩形纸片，要求大

家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围

是cm.

42.（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道.

为了简单起见，现作如下假设：

假设1：绿地是由线段A8,BC,CD,OE和弧而围成的，其中位是以。点为圆心，圆心角为”的扇

3

形的弧，见图I；

假设2：线段AaBC,CD,DE所在的路行人是可通行的，圆弧而暂时未修路；

假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；

假设4：路用线段或I员1弧表示，休息亭用点表示.

图1■图3中的相关边、角满足以下条件：

直线8A与OE的交点是O,AB//CD,ZABC=—•DE=EO=OA=A8=200米.

2

小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭.根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到

米.

（1）假设休息亭建在弧EA的口点，记为Q，沿EA和线段QC修路，如图2所示.求QC的长;

（2）假设休息亭建在弧EA上的某个位置，记为P，作PM13C交8c于M,作PNJ_C。交。。于N.沿

EF、线段尸M和线段PN修路，如图3所示.求修建的总路长EP+PM+PN的最小值;

（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价.

四.带绝对值的函数（共3小题）

43.（2023•咸阳校级模拟）已知函数f（x）=\x+2\+2\x-1|-2

（1）在下列坐标系中作出函数/（x）的图象；

（2）若/（x））履+2亿求实数k的取值范围.

44.(2023•射洪市校级模拟)己知函数/(x)=k-1|,g(x)=|x+3|-|x-1|.

(1)在直角坐标系中画出y=f(%)和y=g(x)的图象:

(2)若/(x)+a2g(x)恒成立，求。的取值范围.

y

x

45.(2023•船山区校级模拟)设函数/(x)=\2x-a\+2a

(I)若不等式/(x)/6的解集为“|-6WxW4},求实数a的值：

(H)在(/)的条件下，若不等式/COW(F-