15.2.2分式的加减（解析版）

15.2.2分式的加减一、单选题1．2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．【详解】2019年的增长率是：，2020年的增长率是：，则2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了：．故选：D．【点评】本题主要考查了列代数式以及分式的减法，正确表示出增长率是解题关键．2．已知，则的值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】∵，∴，∴原式＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．3．已知为实数且满足，设，则下列两个结论（）①时，时，；时，；②若，则．A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错【答案】C【分析】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论；②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．【详解】，，，，，，①当时，，，当时，，，当时，，或，或，或；当时，和可能同号，也可能异号，或，而，或；①错；②，原式，，，，，．②对．故选：．【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．4．已知，则代数式的值（）A．4 B．9 C．－4 D．－8【答案】A【分析】由＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.【详解】由＝3，得=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，则===4．故选：A．【点评】本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．5．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据新定义，把转化为分式的运算即可．【详解】根据定义运算*，，，去分母得，，代入得，，故选：A．【点评】本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x、y之间的关系，再整体代入．6．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x＋1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值．【详解】∵∴．∵x，y是整数，∴是整数，∴x＋1可以取±1，±2．当x＋1＝1，即x＝0时＞0；当x＋1＝−1时，即x＝−2时，（舍去）；当x＋1＝2时，即x＝1时，＞0；当x＋1＝−2时，即x＝−3时，＞0；综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1．故选：C．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y的值是解题的关键．7．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（）A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式【答案】A【分析】根据题意得出xy＝1，可以用表示y，代入+，计算结果为2即可．【详解】由题意得：xy＝1，则y＝，把

y＝，代入+，得：原式＝+＝+＝2∴与互为“2阶分式”，故选A．【点评】本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．8．如果，，是正数，且满足，，那么的值为（）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可．【详解】∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，∴====2故选：C【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．二、填空题9．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．【答案】0【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．【详解】＝＝＝，∵＝，且A、B为常数，∴，∴，解得：，∴A+3B＝3+3×(-1)=0，故答案为：0．【点评】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．10．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为_____．【答案】【分析】先将原分式进行通分变形，约分化简，然后求得符合题意的解即可．【详解】，∵，为整数∴，或或或∴或或或∴∴所有符合条件的值的和为：．故答案为：．【点评】本题主要考查分式的化简与分式的整数值，解此题的关键在于熟练掌握分式相关知识点．11．下列语句及写成式子不正确的是______．①；②分式、、都是最简分式；③；④当时，则代数式．【答案】①②③【分析】根据最简分式的定义、分式的加法和分式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】，故①错误；，故②错误；，故③错误；当时，则代数式，故④正确．故答案为：①②③．【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，从而进行约分．12．已知：，其中a，b，c，d是常数，则a+2b+3c+4d的值为_____．【答案】0【分析】由＝＝，根据对应相等，求出a，b，c，d的值，代入计算即可．【详解】∵，＝，＝，∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1，∴a+2b+3c+4d＝1+2×（﹣3）+3×3+4×（﹣1），＝0，故答案为0．【点评】本题考查了分式的加减法，解决此题的关键是找出规律．三、解答题13．观察下列各式及证明过程：①；②；③．验证：；．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．【答案】（1）；（答案不唯一），证明见解析；（2），证明见解析【分析】（1）直接仿照题干写出两个等式即可；（2）利用规律写出不等式并验证即可．【详解】（1）答案不唯一，如：；证明：；（2）证明：【点评】本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．14．先化简，再从的范围内选取一个合适的整数a代入求值【答案】，【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值．【详解】，∵，为整数，且，，，∴取，原式．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．注意本题的值只能为-1．15．观察下列式子，并探索它们的规律：（1）根据以上式子填空：①．②．（2）当取哪些正整数时，分式的值为整数？【答案】（1）①；②；（2）1或3【分析】（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x取什么值时，的值为整数．即可得到答案．【详解】（1）①．故答案为．②故答案为．（2）当为正整数，且为5的约数时，的值为整数，即或时，的值为整数．∴，．即当x为1或3时，的值为整数．【点评】本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．16．先化简，再求值（1﹣）÷，其中m2＝1．【答案】，当时，原式=．【分析】先计算括号内的，再将除法化为乘法后，给各部分因式分解后约分，再求得，根据分母不能为0，将代入计算即可．【详解】原式＝==，∵m2＝1，∴，又∵分式的分母不为0，即，∴当时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为0．17．先化简（﹣）÷，然后从﹣2＜x＜3中选择一个合适的值代入求值．【答案】，当x=2时，原式=2．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取一个合适的数作为x的值代入进行计算即可．【详解】原式=，∵x≠0，x≠1，x≠-1，且﹣2＜x＜3，∴x取x=2，∴当x=2时，．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．18．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．【答案】

【分析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解一元一次不等式组，求出整数解，最后代值计算．【详解】原式．不等式组：解不等式组得：-1≤a≤2，∴a的整数解是-1，0，1，2．又∵a≠1且a≠0，a≠-1，a为整数，∴a可取值为2．当a=2时，原式=故答案为．【点评】考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的整数解，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．19．先化简，再求值：，再从－2，2，3中选一个恰当的数作为x的值，代入求值．【答案】，【分析】分式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，然后代入求值．【详解】=÷=·==由题意可得：x≠0且x≠±2∴当x=3时，原式=【点评】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．20．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：（1）分式是（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；（3）当x取什么整数时的值为整数．【答案】（1）真分式；（2）x+2﹣；（3）x＝3【分析】（1）根据真分式的定义求