《机械优化设计（第7版）》课件 孙靖民 第1章优化设计概述；第2章优化设计的数学基础

机械优化设计计划学时数：26学时使用教材孙靖民.机械优化设计.北京：机械工业出版社，2003参考书[1]方世杰，綦耀光主编.机械优化设计.北京：机械工业出版社，2003[2]陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社，1997[3]刘惟信.机械最优化设计.北京：清华大学出版社，1994课程介绍本课主要内容优化设计概述1优化设计的数学基础2一维搜索方法3无约束优化方法4约束优化方法6多目标及离散变量优化方法7优化设计实例8线性规划5绪论一、优化相关概念二、机械的传统设计到优化设计三、机械优化设计的发展四、机械优化设计的应用概况五、机械优化设计的作用（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程，最优化可简写为Opt；（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值或极小值的过程。例如,在右图中，求得一维函数f(x)

最小值的条件为：若ｘ取x*，则f(x)

取得最小值f(x*)。目的是为了在完成某一任务时所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。优化是万物演化的自然选择和趋势实际问题表达成的函数类型很多：

确定型、不确定型函数；线形、非线形（二次、高次、超越）函数。变量类型也很多：

连续、离散、随机变量等等。产生很多的优化算法：

无约束优化、约束优化：单目标函数优化、多目标函数优化；连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。（3）优化方法：也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；（4）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。（5）机械优化设计：即把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。

获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。

优化过程就是求解一个付出最小、获得效益最大的方案。机械设计方法传统设计方法

基于手工劳动或简易计算工具。方法低效，一般只能获得一个可行的设计方案。传统机械设计理论与方法包括疲劳寿命理论、强度理论、振动理论……

常凭经验、试算、校核等方法。现代优化方法

基于计算机的应用，设计过程包括：①从实际问题中抽象出数学模型；②选择合适的优化方法求解数学模型。特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”的可行方案中找出“最优的”的设计方案。从传统设计到优化设计人工试凑和定性分析的比较过程，被动的重复分析产品的性能——经验设计、近似计算、一般的安全寿命可行设计。设计问题数学模型优化途径，优选设计参数设计方案方案分析最优？否是最优的设计方案图2:优化设计过程框图利用电子计算机主动的设计产品参数，获得最优方案——理论设计、精确计算、优化设计优化设计的一般过程

1）建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优化设计数学模型；

2）选择恰当的优化方法，编写计算机语言程序；

3）求得数学模型的最优解。

机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满意和最适宜的值。工程案例1、利用一化工优化系统，对一化工厂进行设计。根据给定数据，在16小时内，进行16000各可行性设计的选择，从中选择一成本最低、产量最大的方案，并给出必须的精确数据。传统设计：一组工程师，一年时间，仅仅3个方案，且并非最优。2、美国BELL飞机公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻35%。3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司自主优化后，就多盈利几百万马克。4、美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。优化设计的作用（优点）：使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能；使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量；提高生产效率，降低产品开发周期；

……机械优化设计的发展1、古典优化思想:17世纪，利用微分学和变分学的解析解法。——仅能解决简单的极值问题2、经典优化方法：20世纪40年代，数学规划方法——可求解包含等式约束和不等式约束的复杂优化问题。3、现代优化设计：

20世纪80年代出现许多现代优化算法：模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。并从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计（面向产品的全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如,针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。优化设计从无约束→有约束优化问题；连续变量→离散变量；确定型→随机型模型；单目标优化→多目标优化。历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。直到上世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。第一阶段人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。第二阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。第四阶段现代优化方法：如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。

机构运动参数的优化设计是机械优化设计发展较早的领域。国内近年来才开始重视，但发展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设计、工艺设计方面都得到应用。

在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说，是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。机械优化设计的应用概况

优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面：1、目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研究解决；2、优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高；3、把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。

优化设计的思想广泛的应用于工业、农业、商业和国防等各部门，解决诸如生产规划、经济管理、能源利用、产品设计、工艺过程设计、控制系统等方面的最优化问题，它是促进技术进步和国民经济发展的一种有效方法。基础：（1）最优化数学理（2）现代计算技术

内容：（1）将工程实际问题数学化；（建立优化设计数学模型）（2）用最优化计算方法在计算机上求解数学模型。优化设计是一种现代设计方法，是很好的设计工具。本课程的任务该课程的主要目的和任务：①了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；②扩大视野，并初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质。§第一节

人字架的优化设计§第二节

优化设计问题的示例§第三节优化设计的数学模型§第四节

优化设计问题的基本解法第一章优化设计概述

机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实例来说明优化设计的基本问题。图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3×N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1×Mpa，材料密度ρ=7.8×

/，许用压应力=420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。§第一节人字架的优化设计一、问题图1-1人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：使结构质量但应满足强度约束条件稳定约束条件钢管所受的压力失稳的临界力钢管所受的压应力二、强度、稳定条件图1-2压杆的稳定钢管的临界应力强度约束条件可以写成稳定约束条件可以写成钢管截面惯性矩钢管截面面积（r，R为截面内外半径）假定人字架的总质量这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。除了解析法外，还可以采用作图法求解。三、解析法根据极值必要条件得把所得参数带入稳定条件，可以证明：即稳定条件得到满足。所以h*，D*这两个参数是满足强度约束和稳定约束，且使结构最轻的最佳参数。在设计平面D-h上画出代表和和的两条曲线，两曲线将设计平面分成两个部分，其中不带阴影线的区域是同时满足

两个约束条件的区域，称为可行域，然后再画出一族质量等值线四、作图法C为一系列常数。

图1-3人字架优化设计的图解X*的坐标：D*＝6.43㎝h*＝76㎝m*＝8.47㎏讨论：若按解析法求解得用作图法求解得由讨论可知，对于具有不等式约束条件的优化问题，判断哪些约束条件是起作用的，哪些约束条件是不起作用的，这对于求解优化问题是很关键的优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。§第二节优化设计问题的示例例1-1

平面四连杆机构的优化设计。平面四连杆机构的设计主要是根据运动学的要求，确定其几何尺寸，以实现给定的运动规律。引例图1-4人字架优化设计的图解使目标函数：

为最小相应的约束条件：1）曲柄与机架共线位置的传动角最大传动角≦1350最小传动角≧4502）曲柄存在条件3）边界约束当x1=1.0时，若给定x4，则可求出x2和x3的边界值，当x4=5.0时：

现用薄板制造一体积为100m3，长度不小于5m的无上盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。分析：（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。（2）设计参数确定：长x1

、宽x2、高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求（b）长度要求例1-2货箱的优化设计数学模型设计参数：设计目标：约束条件：已知：传动比i，转速n，传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。（1）目标：圆柱齿轮的体积V或重量w最小；（2）设计参数确定：模数m、齿宽b、齿数z1（3）设计约束条件：（a）大、小齿轮满足弯曲强度要求；（b）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（c）齿宽系数要求；（d）最小齿数要求分析：例1-3直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型设计参数：设计目标：约束条件：建立相应的优化设计问题的数学模型1.分析优化对象2.对结构参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量3.根据设计要求确定并构建目标函数和相应的约束条件，有时要构建多目标函数4.必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。1.设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。§第三节优化设计问题的数学模型设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。

由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。图1-5设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1（b）所表示的空间直角坐标表示。设计空间—设计点的集合（维实欧氏空间）。当设计点连续时,为直线;为平面;为立体空间;

为超越空间.

设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大，可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大，求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有2~10个设计变量；中性设计问题：10~50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量

任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。

对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。

例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。

2.约束条件

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。①根据约束性质分：

性能约束——针对性能要求而提出的限制条件。如选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等；

侧面约束（边界约束）——针对设计变量的取值范围加以限制的约束。如允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围等。③显式约束和隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式，如复杂结构中的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。②根据数学表达式的形式分：

等式约束：

不等式约束：图1-6设计空间中的约束面（或约束线）(a)二变量设计空间中的约束线(b)三变量设计空间中的约束面可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。（对应不可行域）

如右下图所示满足两项约束条件的二维设计问题的可行域D为ABC涵盖区域，包括线段AC和圆弧ABC在内。约束条件：图1-7约束条件规定的可行域D3.目标函数

为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。记作：

在优化过程中，通过设计变量的不断想f(x)值改善的方向自动调整，最后求得的f(x)最好或最满意的x值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量。

在机械设计中，可作为参考目标函数的有：最小体积，最轻重量，最高效率，最大承载能力，最小振幅或噪声，最小成本，最高利润等等。通常

在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。

在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。目前处理多目标设计问题常用的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即目标函数的等值线（面）c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，f（x1，x2）=c代表x1-x2设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。

目标函数是n维变量的函数，它的函数图形只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值线（面）的方法。目标函数的等值线（面）的数学表达式为：

如上图表示目标函数f(x)与两个设计变量x1和x2所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图形形象地表现出目标函数的变化规律。函数的等值线图。从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中f=40的等值线就是使各点所组成的连线。等值线等值线的“心”（以二维为例）一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。等值（线）面：4.优化问题的数学模型

优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。优化设计问题的一般数学表达式为：数学模型的分类：(1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：确定型模型随机型模型设计变量和参数取值确定设计变量和参数取值随机(2)按目标函数和约束函数的性质分：a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数称为线性规划问题，其数学模型一般为：b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：建立优化设计问题的数学模型的一般步骤根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析；对设计问题各参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量；根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数；必要时对数学模型进行规范化，以消除各组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。优化设计数学模型的分类（1）按有无约束条件分：无约束优化问题约束优化问题（2）按约束条件和目标函数是否同时为线性分：线性规划问题非线性规划问题（居多）（3）按问题规模的大小分：大型：设计变量和约束条件的个数在50以上中型：设计变量和约束条件的个数在10~50

小型：设计变量和约束条件的个数在10个以下对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题:二次规划、几何规划、随机规划等。一、几何解释无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，则无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。5.优化问题的几何解释等值线—等高线等值线－等高线：它是由许多具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线目标函数的等值线数学表达式为：a）极值点处于多角形的某一顶点上b）极值点处于等值线的中心c）极值点处于约束曲线与等值线的切点上d）极值点处于约束曲线与等值线的切点上e）极值点处于两个约束曲线的交点上目标函数等值线是以点(2,0)为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：约束方程所围成的可行域是D。例1：如下二维非线性规划问题图解法求解例2：解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得到：该切点为对应的最优值为

由示例可知，对二维最优化问题，可采用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。在三维和三维以上空间中，使目标函数取同一常数值称为目标函数的等值面。不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；等值面稠的地方，目标函数值变化的较快，而稀疏的地方变化的比较慢；一般地，在极值点附近，等值面（线）近似呈现为同心椭圆球面族（椭圆族）。等值面具有以下性质：求解优化问题的基本解法有：

解析法数值解法解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。在目标函数比较简单时，求解还可以。

局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。§第四节优化设计问题的基本解法

最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点，因为数值计算的迭代方法具有以下特点：

1）是数值计算而不是数学分析方法；2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。

数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法，其中也可能用到解析解法。

O优化设计的两类方法：优化准则法，数学规划法图1-8寻求极值点的搜索过程

1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X（0），从X（0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X（1）点；2）得到新点X（1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从X（1）点出发再跨出一步，达到X（2）点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。1.求解步骤数值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近

即进行反复数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，知道最后获得足够精度的最优点。该方法的求优过程可归纳为以下步骤：迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图数值迭代法的迭代格式----第k步迭代计算所得到的点。称为第k步迭代点，亦第k步设计方案。其中：----第k步迭代计算的搜索方向。----第k次迭代计算的步长。运用迭代法，每次迭代所得新点的目标函数值应满足函数值下降的要求：收敛：数值迭代法关键要解决的问题：1）怎样确定搜索方向2）如何确定迭代步长3）如何判断是否找到最优点，以终止迭代2.迭代终止准则（1）点距准则ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)即（2）函数值下降量准则xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)或--绝对下降量--相对对下降量（3）目标函数梯度准则采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可取

上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。图1-9优化设计流程机械优化设计第二章优化设计的数学基础85第二章优化设计的数学基础§第一节

多元函数的方向导数和梯度§第二节

多元函数的泰勒展开§第三节无约束优化问题的极值条件§第四节凸集、凸函数与凸规划§第五节等式约束优化问题的极值条件§第六节不等式约束优化问题的极值条件861、方向导数二元函数在点处的偏导数的定义是：

二元函数在点处沿某一方向的变化率，其定义为方向导数

§第一节多元函数的方向导数和梯度87图1二维空间中的方向偏导数与方向导数的关系Ox2x1x10x20x0

x1

x2

sxS

1

288三元函数

在

点处沿s方向

的方向导数依次类推，即可得到n元函数在点x0处沿s方向的方向导数

892、二元函数的梯度令为函数F(x1，x2)在x0点处的梯度90

当梯度方向和d方向重合时，方向导数值最大，即梯度方向是函数值变化最快方向，而梯度的模就是函数值变化率的最大值。梯度的模：91多元函数的梯度92多元函数的梯度的模：函数的梯度方向与函数的等值面相垂直，也就是和等值面上过x0的一切曲线相垂直。由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函数的一种局部性质。93例1：求二次函数在点处的梯度。

解：在点处的梯度为：94例2：试求二次函数在点处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。

解：则函数在处的最速下降方向为95该方向上的单位向量为新点该点函数值96常用梯度公式：注意：梯度为向量二次型97在

点处的泰勒展开为：其中1、一元函数§第二节多元函数的泰勒展开982、二元函数其中：二元函数在点处的泰勒展开式为：99上式写成矩阵形式：100令上式可写成称为函数在点处的海赛（Hessian）矩阵参见教材例题P30101海赛矩阵是由函数在点处的二阶偏导数组成的方阵。由于函数的二次连续性，有：所以矩阵为对阵方阵。102海赛矩阵3、多元函数其中：梯度泰勒展开式103若将函数的泰勒展开式只取到线性项，即取则是过点和函数所代表的超曲面相切的切平面。若将函数的泰勒展开式取到二次项时，则得到二次函数形式，在线性代数中将二次齐次函数称为二次型。矩阵形式-----对称矩阵104当对任何非零向量x使则二次型函数正定，G为正定矩阵。105海赛矩阵的特征：是实对称矩阵。4、海赛矩阵与正定矩阵正定的充要条件：矩阵G的各阶顺序主子式为正，即矩阵负定的充要条件：矩阵G的奇数阶主子式主子式偶数阶主子式海赛矩阵的正定性：正定-----为全局极小值点的充分条件负定-----为全局极大值点的充分条件106例3

判定矩阵是否正定？解：该对称矩阵的三个主子式依次为：故可知矩阵G是正定的。107定理：若二次函数中Q正定，则它的等值面是同心椭球面族，且中心为证明：作变换，代入二次函数式中：结论：Q为正定矩阵的二次型的等值面是以的同心椭球面族。原二次函数就是以为中心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。108例4把二次函数化为矩阵向量形式并检验Q是否正定，如正定，试用公式求这个函数的极小点。解：与题中函数比较各系数得：由计算知Q正定，极小点109的梯度和Hesse矩阵。解：因为

则又因为：故Hesse阵为：例5：求目标函数1101、一元函数对于可微的一元函数判断在处是否取得极值的过程：则为极小点。逐次检验其更高阶导数的符号，开始不为零的导数阶数若为偶次，则为极值点，若为奇次，则为拐点。

则为极大点。§第三节无约束优化问题的极值条件1112、二元函数

定理1：若二元可微函数在处取得极值的必要条件是：即凡满足上式的点称为函数的驻点（零向量）112如下图所示的二元函数，在M0点虽有和是个驻点，但它不是极值点。113定理2：若二元可微函数在的某个邻域取得极小值的充分条件是要求在该点附近的一切点均满足：若函数存在连续的一阶及二阶偏导数，当满足则泰勒展开式的函数增量近似式（略三阶以上高阶微量）为：114令则可见，函数增量的性态与A,B,C的值有关。可以证明，当满足以下条件时，为极小值（证明略）。此条件反映了函数在该点的海赛矩阵的各阶主子式均大于零（即正定）。115结论：二元函数在某点取得极小值的充分条件是要求该点处的海赛矩阵为正定。且

对于二元函数在处取得极值的充分必要条件是：参见教材例题P32

1163、多元函数对于多元函数若在处取得极值，则必要条件：充分条件：正定或负定117当极值点x*能使f(x*)在整个可行域中为最小值时，即在整个可行域中对任一x都f(x)>=f(x*),则x*为全域最优点（全域极小点）。若f(x*)为局部可行域中的极小值而非整个可行域的最小值时，则称x*为局部最优点或相对最优点。优化的目标是全域最优点。为了判断某个极值点是否为全域最优点，研究函数的凸性是必要的。§第四节凸集、凸函数与凸规划118函数的凸性表现为单峰性。对于具有凸性特点的函数来说，其极值点只有一个，因而该点既是局部最优亦是全域最优点。为了研究函数的凸性，下面引入凸集的概念：1191、凸集如果对一切及一切满足的实数，点则称集合为凸集，否则称为非凸集。yx2x1若y是x1和x2连线上的点，则有整理后即得图2-8

二维空间的凸集与非凸集120凸集的性质：若D为凸集，为一个实数，则集合仍是凸集；若D和F均为凸集，则其和（或并）仍是凸集；任何一组凸集的积（或交）仍是凸集。图2-9凸集的性质1212、凸函数具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值亦即全域最优值的函数，称为凸函数或单峰函数。其数学定义是：设f(x)为定义在n维欧式空间中的一个凸集D上的函数，如果对于任何实数以及对D中任意两点x1，x2恒有：则为D上的凸函数，若不满足上式，则为凹函数。如式中的等号去掉，则称其为严格凸函数。122凸函数的几何意义：在函数曲线上取任意两点连成一直线段，则该线段上任一点的纵坐标值必大于或等于该点处的原函数值。123凸函数的性质1）若f(x)为定义在凸集D上的一个凸函数，对于任意实数a>0，则af(x)也是凸集D上的凸函数；2）定义在凸集D上的两个凸函数f1(x),f2(x)，其和f1(x)+f2(x)亦为该凸集上的一个凸函数；3）若f1(x),f2(x)为定义在凸集D上的两个凸函数，为两个任意正数，则仍为D上的凸函数。1243、凸性条件（1）根据一阶导数（函数的梯度）来判断函数的凸性设f(x)为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸集R内任意不同两点、，下面不等式恒成立。125（2）根据二阶导数（海赛矩阵)来判断函数的凸性设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件为：海赛矩阵在R上处处半正定。对于严格的凸函数，其充要条件为海赛矩阵为正定。当海赛矩阵G的主子式:det(G)＞0时，矩阵正定

det(G)≥0时，矩阵半正定

det(G)＜0时，矩阵负定

det(G)≤0时，矩阵半负定G(x*)正定，是x*为全局极小值点的充分条件；G(x*)半正定,是x*为局部极小值点的充分条件；G(x*)负定，是x*为全局极大值点的充分条件；G(x*)半负定,是x*为局部极大值点的充分条件。说明：1264、凸规划对于约束优化问题

若、都为凸函数，则称此问题为凸规划。127凸规划的性质：2）可行域为凸集。3）凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。1）若给定一点，则集合为凸集。128不论是无约束或有约束的优化问题，在实际应用中，要证明一个优化问题是否为凸规划，一般比较困难，有时甚至比求解优化问题本身还要麻烦。尤其对一些工程问题，由于其数学模型的性态都比较复杂，更难实现。因此，在优化设计的求解中，就不必花精力进行求证，而通常是从几个初始点出发，找出几个局部最优解，从中选择目标函数值最好的解。注意：129等式约束优化问题：求解等式约束化问题的理论基础是导出极值存在的条件。