云南省昆明市官渡区尚品书院学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/2尚品书院2023-2024学年上学期期中高二数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数x的值是A.1 B.5 C.﹣1 D.﹣5【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出的值.【详解】因为直线平面，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若则有，若则有.2.在正方体中，，，，分别为，，，的中点，下列结论中，错误的是（）A. B.平面C. D.【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，根据向量与线面关系即可判断.【详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，，，，，，因为，所以与不垂直，A错误；因为平面//平面，且平面，所以平面，B正确；，，，，，因为，所以，C正确；，，，，所以，D正确.故选：A.3.已知直线：，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是B.若直线：，则C.点到直线的距离是D.过与直线平行的直线方程是【答案】D【解析】【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D.【详解】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误；对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误；对于，点到直线的距离为，C错误；对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过，所以过与直线平行的直线方程是，D正确，故选：D．4.直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用截距式的几何意义得到，，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.【详解】因为直线在x，y轴上的截距分别为4，2，则，，所以AB的中点坐标为，且，故以线段AB为直径的圆的方程为，即故选：B.5.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围.【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径，则表示圆上的点与点的连线的斜率，过点作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为，即．则，解得，所以的取值范围为．故选：C．6.若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（）A. B. C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根据椭圆定义，直接求的周长.【详解】由椭圆方程可知根据椭圆的定义可知，，的周长为.故选：B【点睛】本题考查椭圆定义，重点考查理解能力，属于基础题型.7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C.8 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.8.已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是A. B.-1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意知，直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．【详解】∵椭圆的方程为，作图如右图：

∵椭圆的焦距为2c，

∴直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），又直线y=(x+c)与椭圆交于M点，

∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，

∴∠MF2F1=30°，

∴∠F1MF2=90°．

设|MF1|=x，则，|F1F2|=2c=2x，故x=c．

∴，

又|MF1|+|MF2|=2a，

∴2a=（+1）c，

∴该椭圆的离心率故选B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0）是关键，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（）A. B.直线平面C.直线与平面所成角的正切值为 D.点到平面的距离是【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得到为等边三角形，又为的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理证明B；用线面角的定义可知为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D．【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；对于B，取中点，连接，，，可知且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，故C错误；对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；故选：ABD10.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线l的倾斜角是B.点到直线的距离是2C.若直线，则D.过与直线平行的直线方程是【答案】BD【解析】【分析】将直线方程的一般式化为斜截式可判断A；利用点线距离公式可判断B；利用两直线的位置关系可判断C；利用待定系数法，结合平行直线的性质可判断D.【详解】对于A，直线，即，则其斜率，则其倾斜角，故A错误；对于B，点到直线的距离为，故B正确；对于C，直线，即，其斜率，而，故直线m与直线l不垂直，故C错误；对于D，依题意，设所求直线的方程为，将代入，得，故，则所求直线为，故D正确.故选：BD.11.点在圆上，点在圆上，则（）A.的最小值为3 B.的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】ABC【解析】【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.【详解】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案为：ABC12.过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则（）A.椭圆方程为B.椭圆方程C.过焦点且长度为的弦有条D.过焦点且长度为的弦只有一条【答案】BC【解析】【分析】根据题意和椭圆的性质求出椭圆的标准方程，即可判断AB；设直线方程，联立椭圆方程，利用代数法求出弦长即可判断C；结合椭圆长轴的定义即可判断D.【详解】因为过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，所以，且，得，则，解得因此椭圆的方程为，因此A错误，B正确；因为过焦点且长度为的弦所在直线的斜率显然存在，且不为，所以设直线的方程为，直线与椭圆交于，，则．由，得，，，，则，由，得，即，即直线的方程为，因此C正确；因为椭圆的长轴长为，而，所以过焦点且长度为的弦不存在，因此D错误．故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______．【答案】【解析】【分析】先将表示为，然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出，则结果可求.【详解】因为，所以，所以，所以长为，故答案为：.14.若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为______________．【答案】7【解析】【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.【详解】把圆：化为标准方程有：，可得，即，所以圆心，半径，又直线：，所以圆心到直线的距离为，因为直线：被圆：截得线段的长为4，根据勾股定理有：，解得，所以，解得.故答案：7.15.直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据方程可知直线恒过点，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出，再结合图形求出当直线经过点，时，实数的取值，即可的的取值范围．【详解】解：如图，由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方，直线恒过点，因为直线与曲线只有一个交点，由圆心到直线的距离等于半径得，解得，由图，当直线经过点时，直线的斜率为，当直线经过点时，直线的斜率不存在，综上，实数的取值范围是，或，故答案为．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题16.已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为_____【答案】【解析】【分析】设，，根据椭圆的定义和勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求得结果.【详解】由得，，所以，，所以，设，，所以，所以，因为，所以所以，所以，所以面积为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义和勾股定理求解是解题关键.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，．利用三角形的中位线定理和菱形的性质可得，，利用面面平行的判定定理得到平面平面，进而得到平面．（2）由于，可得或其补角为异面直线与所成的角．作于，连接，在中求出即可．【小问1详解】取中点，连接，．由M为OA的中点，，而，,平面，故平面，又N为BC的中点，，平面，故平面，而平面MNE,平面平面，平面．【小问2详解】，或其补角为异面直线与所成的角．作于，连接，平面，平面，故,又平面OAP,故平面OAP，而平面OAP，，，，而,故，，则，与所成角的大小为．18.如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到平面的距离；【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】(1)根据给定条件，以点A为坐标原点，射线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，再借助空间向量即可得证.(2)在(1)的坐标系中，求出平面与平面的法向量即可计算得解.(3)利用(2)的结论借助空间向量即可求出点到平面的距离.【小问1详解】在四棱柱中，因侧棱底面，，则以点A为坐标原点，射线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，因为，分别为，的中点，则，，即，显然是平面的一个法向量，于是得：，因此，平面，而平面，所以平面.【小问2详解】由(1)可知，，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面的一个法向量为，则，令，得，于是得，所以二面角的正弦值为.【小问3详解】由(2)知，平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.19.已知两直线和的交点为．（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）联立求出，根据平行关系，设出直线为，代入点，得到，求出答案；（2）设圆的标准方程，将与代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出，求出答案.小问1详解】直线与直线平行，故设直线为，联立方程组，解得．直线和的交点．又直线过点，则，解得，即直线的方程为．【小问2详解】设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得解得故所求圆的方程为．化为一般式：．20.已知关于、的方程．（1）若方程表示圆，求的取值范围；（2）若圆与圆外切，求的值；（3）若圆与直线相交于、两点，且，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二次方程表示圆可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；（2）求出两圆圆心坐标与半径，利用两圆外切可得出关于实数的等式，即可解得实数的值；（3）求出圆的圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【小问1详解】解：由已知可得，解得.【小问2详解】解：圆的标准方程为，该圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，其中，该圆圆心为，半径为，由于两圆外切，则，解得.【小问3详解】解：圆的圆心到直线的距离，由勾股定理可得，解得.21.已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于A、B