湘教 八下 数学 第1章《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》课件

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第一章直角三角形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2直角三角形三边关系的猜想与验证勾股定理勾股定理的应用勾股定理的逆定理勾股数知1－讲感悟新知知识点直角三角形三边关系的猜想与验证11.常用证法：验证直角三角形三边之间关系的方法很多，有测量法、几何证明法等，但最常用的是拼图法，即通过拼图构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.感悟新知2.著名证法举例：知1－讲方法图形证明赵爽“赵爽弦图”知1－讲感悟新知刘徽“青

朱出入

图”设大正方形的面积为S，则S=c2.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，有S=a2+b2，所以a2+b2=c2知1－讲感悟新知加菲尔德

总统拼图毕达哥拉

斯拼图感悟新知知1－讲特别提醒用拼图法证明直角三角形三边关系的思路：(1)将图形进行割补拼接形成特殊图形，注意割补拼接时图形之间没有重叠、没有空隙；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出表示图形面积的式子→找出等量关系→恒等变形→推导结论.感悟新知知1－练一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法.如图1.2－1所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下后到四边形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB=a，BC=b，AC=c.请利用四边形BCC′D′的面积说明勾股定理：

a2+b2=c2.例1知1－练感悟新知

解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和”进行证明.知1－练感悟新知详解Rt△AB′C′是四边形ABCD中Rt△ABC倒下得到的，因此两个三角形的形状、大小相同，所以Rt△ABC≌Rt△AB′C′.知1－练感悟新知整个图形面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和.

感悟新知知2－讲知识点勾股定理21.直角三角形的性质定理：直角三角形两直角边a，b

的平方和，等于斜边c的平方.即a2+b2=c2.古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质被称为勾股定理.感悟新知知2－讲数学语言：如图1.2－2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则a2+b2=c2.2.勾股定理的变形公式：a2=c2－b2；b2=c2

－a2.知2－讲感悟新知特别提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.利用勾股定理，可以在已知直角三角形任意两边的长时求出第三边的长.3.运用勾股定理时，若未确定哪条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能，以免漏解或错解.感悟新知知2－讲3.基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.感悟新知知2－练例2

在Rt△ABC中,∠A，∠B，∠C

的对边分别为a，b，c，∠C=90°.解题秘方：利用勾股定理解答.知1－练感悟新知(1)已知a=3，b=4,求c；

知1－练感悟新知(2)已知c=19，a=13，求b（结果保留根号）.

知1－练感悟新知(3)已知a∶b=1∶2，c=5，求b.

知2－练感悟新知解法提醒分清待求的是斜边还是直角边，以便合理选择是直接用勾股定理还是用勾股定理的变形公式.若求斜边，则直接用勾股定理；若求直角边，则用勾股定理的变形公式.感悟新知知2－练[中考·齐齐哈尔]若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________.例3解题秘方：紧扣“所给的较长边可能是直角边或斜边”进行分类解答.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知特别警示当题中没有图或没有指明哪条边长是斜边长时，需要分类讨论，此题容易忽略4是斜边长的情况.知2－练感悟新知方法直接求直角三角形的边长时一般借助勾股定理求，但一定要分清楚直角边和斜边，若问题没有明确直角边和斜边，则要进行分类讨论.感悟新知知3－讲知识点勾股定理的应用31.勾股定理的应用范围：勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.感悟新知知3－讲2.勾股定理的应用的常见类型：(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；(4)求解几何体表面上的最短路程问题；(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.知3－讲感悟新知特别提醒运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：(1)从实际问题中抽象出几何图形.(2)确定要求的线段所在的直角三角形.(3)找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系并列出等式.(4)求得结果.知3－练感悟新知

例4

解题秘方：紧扣三角形外角的性质及勾股定理解题.知3－练感悟新知

知3－练感悟新知解法提醒本题通过角的倍数关系得到边的相等关系，以及利用勾股定理求解.知3－练感悟新知[中考·南通]如图1.2－4，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔P50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B

处，此时B

处与灯塔P的距离为海里(结果保留根号)．例5知3－练感悟新知

解题秘方：将实际问题通过建模转化为直角三角形问题，然后利用勾股定理求解．知3－练感悟新知

知3－练感悟新知方法求三角形的边或高时，可通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理来解决问题.感悟新知知4－讲知识点勾股定理的逆定理41.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c

满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.感悟新知知4－讲2.利用边的关系判定直角三角形的步骤：(1)

“找”：找出三角形三边中的最长边.(2)“算”：计算较短两边的平方和与最长边的平方.(3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则不是.感悟新知知4－讲3.勾股定理与其逆定理的关系：定理勾股定理勾股定理的逆定理区别(1)勾股定理是以“一个三角

形是直角三角形”为条件，进

而得到这个直角三角形三边长

的关系，即a2+b2=c2(

c

为斜

边长)；

(2)勾股定理是根据直角三角

形探求边的关系，体现了由形到数的转化(1)勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2”为条件，进而得到这个三角形为直角三角形；

(2)勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化感悟新知知4－讲联系勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反，勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关知4－讲感悟新知特别提醒◆勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.◆a2+b2=c2只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边.感悟新知知4－练判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC

中，∠A=25°，∠C=65°；(2)在△ABC

中，AC=12，AB=20，BC=16；(3)一个三角形的三边长a，b，c

满足a∶b∶c=1∶1∶2.例6

知4－练感悟新知解题秘方：紧扣直角三角形的判定方法解题.解：(1)在△ABC

中，∵∠A+∠C=25°+65°=90°，∴△ABC是直角三角形.知4－练感悟新知(2)在△ABC中，∵AC2+BC2=122+162=202=AB2，∴△ABC是直角三角形.

注意：这个三角形也是等腰三角形知4－练感悟新知方法判断一个三角形是不是直角三角形的方法：(1)当已知条件与角度有关时，一般通过计算看该三角形中是否有两个角互余来判断；(2)当已知条件与边有关时，一般通过计算看较短两边的平方和是否等于最长边的平方来判断.感悟新知知5－讲知识点勾股数51.勾股数：满足a2+b2=c2

的三个正整数称为勾股数.勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.勾股数有无数组感悟新知知5－讲2.判别一组数是否为勾股数的一般步骤：(1)“看”：看是不是三个正整数；

(2)“找”：找最大数；

(3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；(4)“判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数.知5－讲感悟新知特别提醒一组勾股数中的各数都乘相同的倍数可以得到一组新的勾股数：如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc

(n为正整数)也是一组勾股数.感悟新知知5－练下面四组数中是勾股数的一组是()A.6，7，8B.5，8，13C.1.5，2，2.5D.21，28，35例7知5－练感悟新知答案：D解题秘方：紧扣勾股数必须同时满足的两个条件进行判断.解：A.62+72≠82，故不是勾股数；B.52+82

≠132，故不是勾股数；C.1.5和2.5不是正整数，故不是勾股数；D.21，28，35是正整数，且212+282=352，故是勾股数