2完整版本.-一阶偏微分方程

§2一阶偏微分方程柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解]一阶偏微分方程的一般形式在有些书中写作或，其中如解出p1，可得：p1=f(x1,x2,…,xn,u,p2,…,pn)当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]称为柯西问题，式中为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理]设f(x1,x2xn,u,p2pn)在点(x10,x20xn0,u0,p20pn0)的某一邻域内解析，而在点(x20xn0)的某邻域内解析，则柯西问题在点(x10xn0)的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程特征曲线初积分(首次积分)]给定一阶齐次线性方程(1)式中ai为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组(i=1,2n)或(2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l:xi=xi(t)(i=1,2n)满足特征方程(2)，就称曲线l为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)在特征曲线上等于常数，即symbol121\f"Symbol"\s12(x1(t),x2(t)xn(t))=c就称函数symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)为特征方程(2)的初积分(首次积分).[齐次方程的通解]1o连续可微函数u=symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是：symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)是这个方程的特征方程的初积分.2o设symbol121\f"Symbol"\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)是特征方程(2)在区域D上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D内的每一点，矩阵的秩为n)，则u=symbol119\f"Symbol"\s12(symbol121\f"Symbol"\s121(x1,x2xn)symbol121\f"Symbol"\s12n-1(x1,x2xn))是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中symbol119\f"Symbol"\s12为n个变量的任意连续可微函数.[柯西问题]考虑方程的柯西问题式中symbol106\f"Symbol"\s12(x2xn)为已知的连续可微函数.设symbol121\f"Symbol"\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)为特征方程的任意n个相互独立的初积分，引入参变量()，从方程组解出x2xn得则柯西问题的解为u=symbol106\f"Symbol"\s12(symbol119\f"Symbol"\s122(symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1)symbol119\f"Symbol"\s12n(symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1))2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.一阶拟线性方程一阶拟线性方程为其中ai及R为x1,x2xn,u的连续可微函数且不同时为零.[一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]或为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l:xi=xi(t)(i=1,2n),u=u(t)满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设symbol121\f"Symbol"\s12i(x1xn,u)(i=1,2n)为特征方程的n个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数symbol119\f"Symbol"\s12，symbol119\f"Symbol"\s12(symbol121\f"Symbol"\s121(x1xn,u),symbol121\f"Symbol"\s122(x1xn,u)symbol121\f"Symbol"\s12n(x1xn,u))=0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题]考虑方程的柯西问题symbol106\f"Symbol"\s12为已知的连续可微函数.设symbol121\f"Symbol"\s121(x1,x2xn,u)symbol121\f"Symbol"\s12n(x1,x2xn,u)为特征方程的n个相互独立的初积分，引入参变量,从解出x2xn,u则由给出柯西问题的隐式解.一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解]一阶非线性方程的一般形式为若一阶偏微分方程的解包含任意n个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分).若V(x1,x2xn,u,c1,c2cn)=0为方程的完全解，从消去ci，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程有完全解V(x,y,z,a,b)=0(a,b为任意常数),则方程等价于从方程组消去a,b所得的方程.利用常数变易法把a,b看作x,y的函数，将V(x,y,z,a,b)=0求关于x,y的偏导数，得那末与V=0联立可确定a,b.有三种情况：1，将其与V(x,y,z,a,b)=0联立可确定不含任意常数的奇异解.2如，即回到完全解.3当时，必有，这时，如果不属于情形2，则a与b存在函数关系：b=SYMBOL119\f"Symbol"(a)，这里SYMBOL119\f"Symbol"为任意可微函数，并从方程V(x,y,z,a,b)=0和消去a,b，可确定方程的通解.定理偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内.[特征方程·特征带·特征曲线·初积分]在一阶非线性方程：中，设F对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称或为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为xi=xi(t),u=u(t),pi=pi(t)(i=1,2,…,n)称它为非线性方程的特征带.在x1,x2xn,u空间的曲线xi=xi(t),u=u(t)(i=1,2,…,n)称为非线性方程的特征曲线.如果函数在特征方程的任一解xi=xi(t)(i=1,2n),u=u(t),pi=pi(t)(i=1,2n)上等于常数，即那末函数称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法]考虑两个变量的情况.对于方程F(x,y,z,p,q)=0，选择使雅可比式的一个初积分G(x,y,z,p,q).解方程组(a为任意常数)得p(x,y,z,a)及q(x,y,z,a).则方程dz=pdx+qdy的通解V(x,y,z,a,b)=0(b是积分dz=pdx+qdy出现的任意常数)就是方程F(x,y,z,p,q)=0的完全解.例求方程的完全解.解方程的特征方程为这里成立所以特征方程的一个初积分为z2p2－x2.解方程组(a为任意常数)得积分微分方程得完全解(b为任意常数)[某些容易求完全解的方程]1仅含p,q的方程F(p,q)=0G=p是特征方程的一个初积分.从F(p,q)=0与p=a(a为任意常数)得q=SYMBOL121\f"Symbol"(a)，积分dz=adx+SYMBOL121\f"Symbol"(a)dy得完全解z=ax+SYMBOL121\f"Symbol"(a)y+b(b为任意常数)2不显含x,y的方程F(z,p,q)=0特征方程为因此qdp-pdq=0，显然为一个初积分，由F(z,p,q)=0，q=pa(a为任意常数)解得p=SYMBOL121\f"Symbol"(z,a).于是由dz=SYMBOL121\f"Symbol"(z,a)dx+aSYMBOL121\f"Symbol"(z,a)dy得(b为任意常数)可确定完全解.3变量分离形式的方程特征方程为可取初积分Gi=fi(xi,pi),(i=1,2n).从fi(xi,pi)=ai(i=1,2n)解出pi=SYMBOL106\f"Symbol"i(xi,ai)得完全解式中ai,b为任意常数，且.[克莱罗方程]方程称为克莱罗方程，其完全解为对ci微分得(i=1,2,…,n)与完全解的表达式联立消去ci即得奇异解.例求方程z－xp－yq－pq=0的完全解和奇异解.解这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b微分，得x=－b,y=－a，消去a,b得奇异解z=－xy[发甫方程]方程P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0(1)称为发甫方程，如果P,Q,R二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1方程完全可积的充分必要条件当且仅当P,Q,R满足条件(2)时，存在一个积分因子SYMBOL109\f"Symbol"(x,y,z)，使dU1=SYMBOL109\f"Symbol"(Pdx+Qdy+Rdz)从而方程的通解为U1(x,y,z)=c特别，当时，存在一个函数U(x,y,z)满足从而dU=Pdx+Qdy+Rdz所以方程的通解为U(x,y,z)=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理设对于发甫方程(1)在某区域D上的完全可积条件(2)成立，则对D内任一点M(x,y,z)一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过.2方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z看成x,y的函数(设R(x,y,z)≠0)，于是原方程化为由此得方程组发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y看成参变量，积分后得一个含有常数的通解然后用未知函数代替常数，将代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得的一个常微分方程，其通解为c为任意常数，代回中即得发甫方程的积分曲面z=SYMBOL106\f"Symbol"(x,y,SYMBOL121\f"Symbol"(y,c))由于发甫方程关于x,y,z的对称性，在上面的讨论中，也可把x或y看成未知函数，得到同样的结果.例求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的积分曲面族.解容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子，用它乘原方程得积分后得积分曲面族xy2z=c也可把方程化为等价的方程组把y看成参变量，积分得通解用未知函数代替，将代入方程得积分后有所以原方程的积分曲面族是xy2z=c一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式]两个自变量的一阶线性方程组的形式是或(1)其中Aij,Bij,Cij,Fi,aij,bij,fi是(x,t)的充分光滑函数.[特征方程·特征方向·特征曲线]称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向称为该点的特征方向.如果一条曲线l，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l为特征曲线.[狭义双曲型方程与椭圆型方程]如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向，那末称方程组在D内为狭义双曲型的.如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D内为椭圆型的.[狭义双曲型方程组的柯西问题]1化方程组为标准形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"对角型因为det(aij-SYMBOL100\f"Symbol"ijSYMBOL108\f"Symbol")=0有n个不同的实根SYMBOL108\f"Symbol"1(x,t)SYMBOL108\f"Symbol"n(x,t)，不妨设那末常微分方程的积分曲线li(i=1,2,…,n)就是方程组(1)的特征曲线.方程的非零解(SYMBOL108\f"Symbol"k(1)SYMBOL108\f"Symbol"k(n))称为对应于特征方向SYMBOL108\f"Symbol"k的特征矢量.作变换可将方程组化为标准形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"对角型所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求SYMBOL108\f"Symbol"i都不相同)，就称这样的微分方程组在D内为双曲型的.2对角型方程组的柯西问题考虑对角型方程组的柯西问题SYMBOL106\f"Symbol"i(x)是[a,b]上的连续可微函数.设SYMBOL97\f"Symbol"ij,SYMBOL98\f"Symbol"i,SYMBOL108\f"Symbol"i在区域D内连续可微，在D内可得相应的积分方程组式中为第i条特征曲线li上点(x,t)与点(xi,0)之间的一段，(xi,0)为li与x轴上[a,b]的交点.上式可以更确切地写为(i=1,2n)式中xi=xi(x,t,t)为过点(x,t)的第i条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令序列{vi(k)}(k=0,1,2)一致收敛于积分方程的连续可微解vi(x,t)(i=1,2n)，这个vi(x,t)也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i)依赖区间：过D中任意点M(x,t)作特征曲线l1,ln，交x轴于B,A，称区间[A,B]为M点的依赖区间(图14.1(a))，解在M点的值由区间[A,B]的初值确定而与[A,B]外的初值无关.(ii)决定区域：过点A,B分别作特征曲线ln,l1,称ln,l1与区间[A,B]围成的区域D1为区间[A,B]的决定区域(图14.1(b))，在区域D1中解的值完全由[A,B]上的初值决定.(iii)影响区域：过点A,B分别作特征曲线l1,ln，称l1,ln与[A,B]围成的区域D2为区间[A,B]的影响区域(图14.1(c)).特别当区间[A,B]缩为一点A时，A点的影响区域为D3(图14.1(d)).在区域D2中解的值受[A,B]上的初值影响，而在区域D2外的解的值则不受[A,B]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题]以下列线性方程组来说明：(1)1第一边值问题(广义柯西问题)设在平面(x,t)上给定曲线段，它处处不与特征方向相切.过A,B分别引最左和最右的特征曲线l1及l2.要求函数u(x,t),v(x,t)在，l1及l2围成的闭区域上满足方程组，且在上取给定的函数值(图14.2(a)).2第二边值问题(古沙问题)设l1是过P点的第一族特征线，l2是第二族特征线，在l1的一段PA上给定v(x,t)的数值，在l2的一段PB上给定u(x,t)的数值，过A点作第二族特征线，过B点作第一族特征线相交于Q.求在闭区域PAQB上方程组的解(图14.2(b)).3第三边值问题设AB为非特征曲线的曲线弧，AC为一特征线弧，且在AB与AC之间不存在过A点的另外特征曲线,过C点作第二族特征线与过B点的第一族特征线交于E点，在AC上给定v(x,t