天津市河北区2024−2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷含答案

天津市河北区2024−2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷一、单选题（本大题共10小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（

）A． B．C． D．3．已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．5．已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（

）A．直线过,的中点 B．直线的斜率为C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是6．已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．8．从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（

）A． B．1 C． D．9．平行六面体中，，，，，，则的长为（

）A．10 B． C． D．10．已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共5小题）11．已知点B是点在坐标平面内的射影，则.12．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为．13．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为.14．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为：公共弦长为.15．已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为.三、解答题（本大题共4小题）16．在中，，，.(1)求点到直线的距离：(2)求线段垂直平分线所在的直线方程；(3)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程.17．已知直线与圆交于，两点，且.(1)求实数的值；(2)若点为直线上的动点，求的面积.18．如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．(1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离．19．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，当面积为时，求直线的斜率.

参考答案1．【答案】C【详解】由得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则且，解得.故选：C.2．【答案】B【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.【详解】如图，连结，因，点为的中点，则，于是，.故选B.3．【答案】C【详解】由题的，所以，所以离心率为，故选：C.4．【答案】C【详解】设过和两点的圆的圆心为，半径为，则，故，当且仅当为中点时等号成立，故过和两点的圆的面积最小时直径为，此时圆的圆心为3,-4，故其标准方程为，故选：C.5．【答案】B【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确；对于B，直线的斜率为，故B错误；对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3

，故C正确；对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确.故选：B.6．【答案】C【详解】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径，圆圆心为2,0，半径，所以有故选：C7．【答案】B【详解】依题意可知，设向量在基底下的坐标是，则,所以，可得，解得，所以向量在基底下的坐标是.故选：B8．【答案】B【详解】圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，则，要使切线长的最小，则PC最小，即直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，.所以切线长的最小值为.故选：B.9．【答案】D【详解】记，则，且；所以；因此可得,即，所以的长为.故选：D10．【答案】B【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，，则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以，又，所以.故选：B.11．【答案】【解析】根据空间中点的对称关系得到B点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．【详解】∵点B是点在坐标平面内的正射影，∴B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0，∴B的坐标是，∴.故答案为：.12．【答案】或【详解】，化简为，解得：或.故答案为：或13．【答案】【详解】记，则，易知，所以；又，所以；显然，,所以；又直线与直线所成的角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：14．【答案】【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即；所以两圆公共弦所在直线的方程为；易知圆的圆心为，半径为；圆心到直线的距离为，所以公共弦长为.故答案为：；15．【答案】【详解】因为，所以，又，所以，又BF1+BF2=2a又，所以AF1=a，所以，所以在轴上（也为椭圆的顶点），在中，由余弦定理可得，，可得，解得，所以，则的方程为.故答案为：.16．【答案】(1)(2)(3)或.【详解】（1）由题可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即；由点到直线距离公式可得，即点到直线的距离为；（2）易知线段的斜率,所以其垂直平分线斜率为；且过的中点，可得该直线方程为，即；（3）当在轴和轴截距都为0时，此时直线过，此时直线方程为；当在轴和轴截距不为0时，设直线方程为，可得；代入点坐标可得，解得，此时直线方程为，即；综上可知，过点且在轴和轴截距相等的直线方程为或.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）将圆可化为，所以其圆心，半径，作于点，由垂径定理可得为的中点，如下图所示：由可得，又，解得（2）由（1）可知，所以，易知直线与直线平行，所以点到的距离为，因此的面积为.18．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可．【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，故平面；（2）由于平面，所以平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；（3）因为，又平面的法向量为，所以点到平面的距离为．19．【答案】(1)(2)【详解】（1）由椭圆顶点性质以及可得