四川省蓬溪县蓬南中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

四川省蓬溪县蓬南中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．2．已知的三边长分别为，则（

）A． B． C． D．3．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（

）A． B． C． D．4．设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）A． B．C． D．6．在中，内角所对的边分别为，且，若，的面积为，则（

）A．5 B． C．16 D．47．如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点(不同于三点)，则周长的最小值是（

）

A． B． C． D．8．在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10．走路是“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图，则下列结论中不正确的是（

）A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600B．这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D．这一星期内乙的日步数的上四分位数是703011．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．如下图，三角形A'B'C'是三角形ABC的直观图，则三角形ABC的面积是.13．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为.14．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知空间三点，设．(1)若，，求；(2)求与的夹角的余弦值；(3)若与互相垂直，求k．16．已知中，角所对的边分别为，其中.(1)求的值；(2)若的面积为，周长为6，求的外接圆面积.17．如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；(2)求点到平面AEF的距离．18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a=（1）求直方图中a,b（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.19．由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，且使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】C【分析】根据给定的等式，利用复数运算求出即可得解.【详解】由，得，即，所以的虚部为1.故选C.2．【答案】A【分析】由余弦定理求解即可.【详解】.故选A.3．【答案】A【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.【详解】记2名男生为，2名女生为，任意选出两人的样本空间，共6个样本点，恰好一男一女生的事件，共4个样本点，所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故选A.4．【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选D.5．【答案】A【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.【详解】，，，，，，.故选：A.6．【答案】D【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，然后结合三角形的面积公式可求，再由余弦定理可求.【详解】因为．由正弦定理可得，．因为，所以即，又，所以，，所以，因为，由余弦定理可得，，故.故选D.【思路导引】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及和差角公式在求解三角形中的应用.7．【答案】B【分析】先根据对称性将边,边转移,再根据三角形三边在一直线上时周长最小的思路即可求解.【详解】作点关于线段，的对称点，且它们在以为圆心，2为半径的圆上，连接，如图：则，

又，而，.故选B.8．【答案】C【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解.【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），选取为基底，由题意，而，从而，，，所以，设，因为，所以，而，因为，设，则，，当且仅当，即，即时，的最小值为，所以当且仅当时，.故选C.9．【答案】BC【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底；对于B选项，假设、、共面，则存在、使得=，因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立，故，，不共面，这组向量能做基底；对于C选项，假设，，共面，则存在、，使得，因为构成空间的一个基底，则、，无解，所以假设不成立，故，，不共面，这组向量能做基底；选项D，因为，则共面，这组向量不能做基底.故选BC.10．【答案】CD【分析】对于A直接求出中位数，对于B分别计算出甲、乙日步数的极差即可判断，对于C由折线图中数据的波动性即可判断，对于D将乙的日步数从小到大排列计算百分位数可得.【详解】对于A，甲的日步数从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，中位数是11600，故A正确；对于B，甲的日步数极差为，乙的日步数极差为，所以甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差，故B正确；对于C，由折线图可以看出，甲的日步数的波动性大于乙的日步数的波动性，所以，故C错误；对于D，乙的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故这一星期内乙的日步数的上四分位数为12970，故D错误.故选CD.11．【答案】ABD【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，因为，，，且平面，所以平面，平面，所以，同理，，因为，且平面，所以直线平面，故A正确；在选项B中，因为，平面，平面，所以平面，因为点在线段上运动，所以到平面的距离为定值，又的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，因为，所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为，故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，所以当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选ABD.12．【答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，所以三角形的面积.故答案为：2.13．【答案】【分析】分别求出甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、3盘的概率，再根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案.【详解】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，根据相互独立事件的概率公式可得，，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为，且互斥，故.故答案为：.14．【答案】【分析】先确定四棱锥为正四棱锥，则其外接球的球心O在直线上，再由勾股定理可得半径，结合球的体积公式计算即可求解.【详解】设与相交于点，因为四棱台为正四棱台，直线与直线的交点为P，所以四棱锥为正四棱锥，得平面，四棱锥的外接球的球心O在直线上，连接BO，设该外接球的半径为R，由，，所以，则，即，解得，则四棱锥外接球的体积为.故答案为：.15．【答案】(1)或；(2)；(3)或.【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；（2）因为，所以与的夹角的余弦值为；（3）因为与互相垂直，所以或.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得；（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【详解】（1）由正弦定理得，因为，故，则，因为，故；（2）由题意，故.由余弦定理得，解得.故的外接圆半径，故所求外接圆面积.17．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦作答；（2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.【详解】（1）在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，所以异面直线所成角的余弦值为；（2）设平面AEF的一个法向量为，而，则，令，得，又，于是．所以点到平面AEF的距离为．18．【答案】（1）a=0.15，b=0.06；4.07（2）35.2万；（【分析】（1）由频率之和为1以及0.4a=b列方程组求得（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；（3）由频率分布直方图计算频率，可判断5＜x＜6【详解】（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08又0.4a=b，则a=0.15该市居民用水的平均数估计为：x=+5.5×（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.04+0.08则月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.12所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：40×0.88（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x（吨），5＜x所以0.73+0.15x即标准为5.8吨.19．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）连接，易证，再由线面平行的判断定理可得结论；（2）建立空间直角坐标系，设，由题意得，求出直线的方向向量与平面的法向量的坐标