四川省甘孜藏族自治州泸定中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

2024年高二（上）半期数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1.甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件“甲成功破译”，事件“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码，根据这个依据即可求解.“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码,而事件指的就是至少有一人破译密码.故选：A.2.已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小.直线l经过点，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即，所以.故选：B.3.已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义即可求出.由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为，则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2.故选:D.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】根据，设，结合空间向量的坐标运算，求得，从而得到答案.由，设，则，解得：，，，所以，故选：A.5.已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圆的标准方程确定圆的圆心坐标和半径，进而利用圆的一般方程得到关于的方程组，从而得解.由题可知圆的圆心为，半径为2，又圆与圆为同心圆，半径为4，所以，解得.故选：A.6.两个圆和的公切线有（）条A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.圆可化为，圆的圆心为，半径，圆可化为，圆的圆心为，半径，，又，，，圆与内切，即公切线有1条.故选：A.7.椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率.，设Px1,y1，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆C的离心率为．故选：C8.已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.设动点Mx,y，则，化简得，所以点的轨迹为圆，如图，过点作圆切线，连接，则，，所以，同理，则直线的斜率范围为.故选：C.二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.与直线垂直B.的倾斜角等于C.在y轴上的截距为D.圆上存在两个点到直线的距离等于【答案】AD【解析】【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D.因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率，又直线经过点，代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：.对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为，又直线的斜率，因，所以直线与直线垂直，故A正确；对于B，由直线的斜率为，设直线的倾斜角为，，则，所以，故B不正确；对于C，令，代入直线的方程，得，即直线在轴上的截距等于，故C不正确；对于D，圆的圆心到直线的距离，因此直线与圆相离，又圆上点到直线的最近距离为，因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确；故选：AD.10.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（）A.B.直线与所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为D.存实数使得【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解.由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，对于A，，故与不垂直，故A错误；对于B，，所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；对于C，由上，所以，所以即，又，所以，因为，又由正方体性质可知平面即平面，所以，故C错误；对于D，若存在实数使得，则，所以，所以，故D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解.11.已知圆与直线，下列选项正确的是（）A.直线与圆不一定相交B.当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1C.当时，圆关于直线对称的圆的方程是D.当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时，【答案】AD【解析】【分析】A：根据直线所过的定点进行分析；B：先分析圆心到直线的距离满足的条件，然后求解出的范围；C：设出对称圆的方程，根据圆心连线的中点在已知直线上、圆心连线与已知直线垂直列出方程组，由此求解出对称圆的方程；D：结合图示，分析得到与圆相切时最小，然后利用勾股定理求解出结果.对于A，直线过定点，又因为，所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故A正确；对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离要小于，所以有，解得，故B错误；对于C，当时，直线，设圆关于直线对称的圆的方程是，根据题意有，解得，，所以对称圆的方程为，故C错误；对于D，当时，直线，则点，，且圆心，半径，当与圆相切时最小，此时，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.原点到直线的距离为_____________.【答案】【解析】【分析】由点到直线的距离公式求解即可.点到直线的距离为：.故答案为：13.已知向量，，且，则实数m＝______．【答案】##【解析】【分析】由已知可得，代入坐标即可求出实数m的值.因为，，所以，，因为，所以，解得．故答案为：14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.【答案】##0.5【解析】【分析】连接，，利用圆的性质、椭圆的定义，结合勾股定理列式求解即得.连接，，由点在以为直径的圆上，故.又，在椭圆上，故有，.设，则，，，.中，由勾股定理得，解得，于是PF2=2a3，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的顶点为，，．（1）求边所在的直线的方程；（2）求边的高线所在的直线的方程；（3）求的面积．【答案】（1）（2）（3）10【解析】【分析】（1）直接由点坐标得到两点式方程，化简即可；（2），则边上高线的斜率为，直接写出点斜式方程，化简即可；（3）首先求出到直线的距离，再求出的长，则可计算出三角形面积.【小问1】直线的两点式方程为，化简得，故边所在的直线方程为.【小问2】由（1）知，故边上高线的斜率为，故其所在直线方程为，化简得【小问3】边所在的直线方程为，故到直线的距离,故16.在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图．（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值．【小问1】因为平面，平面平面，平面，，所以平面.又平面，所以．【小问2】由（1）知，平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，依题意，、C1,1,0、D0,1,0、、，则，，，设平面的法向量．则．取，则，所以为平面的一个法向量．设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17.已知椭圆的右焦点为，点在C上.（1）求C的离心率；（2）设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率；（2）设Ax1,y1，Bx2,【小问1】由题意得，解得，，所以椭圆C的方程为，故C的离心率；【小问2】设Ax1,联立，消去y得，故，由直线化为，恒过，故，即，所以，解得，此时二次方程为，满足题意，故所求直线的方程为18.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）该校选拔篮球队需要身高前15%的男生，请根据频率分布直方图估计需要的最低身高（精确到0.1）；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率；（2）估算出身高在第八组、第七组及第六组的频率为，可知该校选拔篮球队需要身高前的男生在第六组，根据频率所占百分比可得答案；（3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.【小问1】第六组的频率为，∴第七组的频率为；【小问2】由直方图得，身高在第八组的频率为，身高在第七组的频率为，身高在第六组的频率为，因为，所以，该校选拔篮球队需要身高前的男生最低身高约为；【小问3】第六组的人数为4，设为a，b，c，d，第八组的人数为，设为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．19.已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点.（1）求动点的轨迹方程；（2）为线段的中点，求点的轨迹方程；（3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程；（2）设，Px0,y0，利用中点坐标公式及“代点法（3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出．【小问1】因为，由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，设椭圆方程为，