内蒙古赤峰市名校2024−2025学年高三上学期联合考试数学试题含答案

内蒙古赤峰市名校2024−2025学年高三上学期联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，，则=（）A． B． C． D．2．若复数z满足，则z的虚部为（）A．2i B．4 C．2 D．4i3．已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（）A．11 B．9 C．7 D．64．已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（）A． B．C． D．5．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C．3 D．46．已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（）A．6 B．12 C．18 D．247．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.若不变，在后该物体的温度分别为，且，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则；若，则D．若，则；若，则8．在中，，点在内部，且，记，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知命题；命题，则（

）A．是真命题 B．是真命题C．是真命题 D．是真命题10．已知函数，则（

）A．为偶函数B．的最大值为C．在上单调递减D．在上有6个零点11．已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知复数，则=．13．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则=．

14．已知函数，若，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在平面直角坐标系中，，，且向量在轴非负半轴上的投影向量为．(1)求的坐标；(2)求；(3)求的面积及外接圆的半径．16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知的周长为15，且，．(1)求B的大小；(2)求a，b，c的值．17．已知向量，，函数.(1)将化简成的形式；(2)将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求的单调递增区间；(3)在（2）的条件下，若，求的值.18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)证明：.(2)已知C为钝角，记.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围.19．已知函数与的定义域的交集为．若对恒成立，则称与为同号函数，例如，则函数与为同号函数．若存在区间，使得对恒成立，则称与为区间同号函数．(1)设函数，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数？请说明你的理由．(2)设函数．（ⅰ）证明：与为同号函数．（ⅱ）若恒成立，证明：．

参考答案1．【答案】B【分析】结合一元二次不等式求出集合A，根据集合的交集运算，即得答案.【详解】依题意可得，，则，故选B.2．【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念求解即可.【详解】由，故z的虚部为4．故选B.3．【答案】A【分析】由三点共线转换为向量共线，由向量共线的充要条件即可求解.【详解】由题意与共线，所以，解得．故选A.4．【答案】D【分析】先设切点坐标，再根据导数的几何意义得切点坐标，最后用点斜式求出直线方程即可.【详解】根据题意可得，设Ax0,y0，则所以，所以，故所求切线方程为，即.故选D.5．【答案】D【分析】首先根据已知求得，，进一步由对称中心得关于的表达式，结合的范围即可求解.【详解】根据题意可得，将代入，得，则.因为，所以.将代入，得，因为是单调递减区间上的零点，所以，解得.因为，所以．故选D.6．【答案】C【分析】根据三点共线的结论可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可得答案.【详解】由题意M是线段BC上异于端点的任意一点，向量可得，且，，所以，当且仅当，结合，即，时，等号成立，故的最小值为18．故选C.7．【答案】D【分析】根据指对数互化，结合复合函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以.若，则是减函数，因为，所以；若，则是增函数，因为，所以.故选D.8．【答案】C【分析】根据正余弦定理可得，平方后利用齐次式即可得求解.【详解】由题意可得.在中，,在中，，即，化简得，两边平方得，则，所以，化简可得，解得.故选：C.9．【答案】BC【分析】分别比较与的大小关系，即可判断命题的真假，即可判断AB；根据诱导公式即可判断命题的真假，即可判断CD.【详解】因为，所以，又，所以，所以命题是假命题，是真命题，由诱导公式可得，所以是真命题，是假命题.故选BC.10．【答案】AC【分析】根据奇偶性的定义即可求解A，根据三角函数的性质即可求解B，根据复合函数的单调性即可判断C，利用三角函数的周期性即可求解D.【详解】因为的定义域为，且，所以为偶函数，A正确.的最大值为，B错误.令函数在上单调递增，且当时，的值域为.因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，C正确.当时，的值域为，函数在上有5个零点，所以在上有5个零点，D错误.故选AC.11．【答案】AD【分析】应用赋值法判断A，B选项；对求导，得到，赋值法得到，判断C；根据函数的周期性结合赋值法得出再计算即可求解判断D.【详解】由已知有为R上的奇函数，所以，令时，，故，故A选项正确；令时，，故，故B选项错误；由已知有：在R上可导，对求导有：，即，，令时，，则，又因为是奇函数，故是偶函数，所以故，所以也是一个周期为4的周期函数，，C选项错误；令，则恒成立，由已知是奇函数，故，故，则，所以是一个周期为4的周期函数，又因为，奇函数的定义域为，所以，令时，，，所以，令时，，所以，令时，，所以,，故D选项正确.故选AD.【关键点拨】：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.12．【答案】1【分析】求出，求出.【详解】因为，所以．故答案为：.13．【答案】【分析】首先根据平行线的性质，得到，并求解正切值，最后代入向量数量积公式，即可求解.【详解】因为，所以．因为，所以．故答案为：.14．【答案】【分析】根据和差角公式可得，即可根据三角函数的性质求解，进而可求解.【详解】根据三角函数的周期性和对称性，不妨设.故，，因为，所以，即，所以，即，当且仅当时，等号成立.故答案为：.15．【答案】(1)(2)(3)4，【分析】（1）设，由求出可得答案；（2）利用向量的夹角公式计算可得答案；（3）利用三角函数的平方关系求出，由三角形面积公式求出的面积；由正弦定理求出外接圆的半径．【详解】（1）因为向量在x轴非负半轴上的投影向量为，所以可设，因为，所以，即，则；（2）因为，，所以；（3）因为，所以，所以，故的面积为，因为，所以，则外接圆的半径为．16．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得.（2）用表示，由余弦定理列方程，求得，进而求得.【详解】（1）由正弦定理可得，即．因为，所以，则．因为，所以．（2）由得由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），故，．17．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用数量积的坐标运算及两角和的正弦公式、二倍角公式化简函数即可.（2）利用三角函数变换法则求得，根据正弦函数的性质求解单调区间即可.（3）令，则，从而，利用诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】（1）.（2）因为的最小正周期，所以，则．令，得，故的单调递增区间为．（3）根据题意可得，令，则，.由，故．18．【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明.（2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可；（ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可.【详解】（1）由，可得，由余弦定理可知，所以.（2）（ⅰ）由，可得，．根据三角形三边关系，知即则解得，所以的取值范围为．（ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以，则，所以．令，则，因为在上单调递增，所以，故的取值范围为．19．【答案】(1)这三个函数中任意两个函数都为区间同号函数，理由见解析(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析【分析】（1）结合题设分析可得，进而得到与为区间同号函数，再结合导数分析函数的单调性可得对恒成立，进而结合题意求证即可；（2）（ⅰ）结合函数新定义直接分析求证即可；（ⅱ）转化问题为，令，分析可得当时，，当时，，进而结合导数分析函数的单调性及零点分步情况，进而求证即可.【详解】（1）这三个函数中任意两个都互为区间同号函数，理由如下：因为，，，所以，则与为区间同号函数.而，，则，令，即；令，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，所以对恒成立，又，对都恒成立，所以存在，使得，对都恒成立，所以这三个函数中任意两个都互为区间同号函数.（2）证明：（ⅰ）因为函数与的定义域的交集为，当时，，则，所以，即；当时，，则，所以，即，所以恒成立，则与为同号函数．（ⅱ）因为，所以由，整理得到，令，则，当时，，可得，当时，，可得.对于函数，，令，即；令，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，，所以函数在和上各有