重难点45 离散型随机变量及其分布列十四大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（原卷版）

高中数学精编资源2/2重难点专题45离散型随机变量及其分布列十四大题型汇总题型1普通型 1题型2竞赛（游戏）型 3题型3一人比赛（测试）型 6题型4两人比赛赛制型 8题型5两队比赛型 11题型6三人比赛型 14题型7摸球型 16题型8药物相关型 18题型9商品利润型 20题型10频率分布图型 23题型11分布表型 26题型12折线图型 31题型13导数型 35题型14数列型 39题型1普通型【例题1】（2023·全国·高三专题练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望.【变式1-1】1.（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为12；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为23；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为(1)求该考生两年内可获得该职称的概率；(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.【变式1-1】2.（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为12(1)求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；(2)若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X为三次总得分，求X的分布列及数学期望．【变式1-1】3.（2023上·湖南邵阳·高三统考期中）某公司有A，B，C型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金，若在一年内出现事故每辆车可赔8000元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次）.设A,B,C型三辆车一年内发生事故的概率分别为110，111，(1)求该公司获赔的概率；(2)设获赔金额为X，求X的分布列和数学期望.【变式1-1】4.（2023上·江苏南通·高三统考期中）2023年9月25日，在富阳银湖体育中心举行的杭州亚运会射击项目男子25米手枪速射团体决赛中，中国队以1765环的总成绩击败韩国队夺得冠军，并打破世界记录．现已知男子25米手枪速射决赛规则如下：取资格赛前6名选手进入决赛，5发子弹为一组，每发子弹9.7环以上得1分，否则得0分．若进入决赛的每位选手每组能得5分与4分概率分别为0.6，0.4．(1)求某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分的概率；(2)设某位进入决赛的选手三组射击后得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）某猎人发现在距离他100米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概率为35，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了50米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加50米，当猎人击中猎物或发现下次射击击中的概率小于2题型2竞赛（游戏）型【例题2】（2023上·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．题目ABC做对的概率311获得的奖金/元3264128[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和．](1)求甲没有获得奖金的概率；(2)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【变式2-1】1.（2023·江西景德镇·统考一模）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元.奖金可累加，若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手小刘参加闯关游戏，已知他第一，二，三关闯关成功的概率分别为45，34，23.第一关闯关成功选择继续闯关的概率为3(1)求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；(2)设小刘所得奖金为X，求随机变量X的分布列及数学期望.【变式2-1】2.（2023·河南新乡·统考一模）某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为23，甲答对题序为i的题目的概率pi=(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；(2)求甲停止答题时答对题目数量X的分布列与数学期望．【变式2-1】3.（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）在十一黄金周期间，某商场规定单次消费超过500元的顾客可参与如下的游戏．活动规则如下：现有甲，乙，丙三个游戏，每位参与者从中随机选择一个游戏，若不通过，则游戏结束，若通过，则再从剩下的两个游戏中随机选择一个游戏，若不通过，则游戏结束，若通过，则再进行最后一个游戏，最后一个游戏无论是否通过都结束游戏．每通过一个游戏都可获得对应的奖金，且参与游戏的顺序由顾客确定，顾客是否通过每个游戏相互独立，已知通过游戏的概率以及获得相应的奖金如下表所示游戏甲乙丙通过的概率0.80.60.4获得的奖金金额/元100200300(1)求参与游戏的顾客没有获得奖金的概率；(2)现有王先生、李先生两名顾客分别以甲→乙→丙、丙→乙→甲的顺序进行游戏，请问哪位顾客获得奖金的期望值较大？【变式2-1】4.（2023上·四川·高三重庆第二外国语学校校考期中）重庆市第二外国语学校在83周年校庆时组织了“校史”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.已知小王同学能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小王先回答A类问题，记X为小王的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小王应选择先回答哪类问题？并说明理由.【变式2-1】5.（2023上·江苏南京·高三校联考期中）某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M，N两个目标投掷，先向目标M掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标M的概率为34，套中目标N的概率为23，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为(1)求小明恰好套中2次的概率；(2)求X的分布列及数学期望．题型3一人比赛（测试）型【例题3】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）小梅参加甲、乙两项测试，每次测试结果只有3种，分别是优秀、良好、合格，结果为优秀得3分、良好得1分、合格得0分，小梅参加甲项测试结果为优秀的概率为12，良好的概率为13，参加乙项测试结果为优秀的概率为15，良好的概率为3(1)求小梅参加两项测试恰有一次为合格的概率；(2)求ξ的分布列与数学期望.【变式3-1】1.（2023上·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）在一个有奖游戏中，参与者可从A，B两类数学试题中选择作答，答题规则如下：规则一：参与者只有在答对第一次所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限．(1)小周同学按照规则一进行答题，已知小周同学答对A类题的概率均为0.75，答对一次可得2分；答对B类题的概率均为0.6，答对一次可得3分．如果答题的顺序由小周选择，那么A，B两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；(2)小南同学按照规则二进行答题，小南同学第1次随机地选择其中一类试题作答，如果小南第1次选择A类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.6；如果第1次选择B类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.8．求小南同学第2次选择A类试题作答的概率．【变式3-1】2.（2023上·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：方案一：答题3道，至少有2道答对方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是13(1)求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；(2)设甲和乙中通过第一关的人数为ξ，求ξ的分布列；(3)若丙答对这3道题中每一道题的概率都是pp∈0,1，且这3道题是否答对相互之间没有影响，丙选择方案一通过第一关的概率为p1，选择方案二通过第一关的概率为p2，直接比较【变式3-1】3.（2023上·河南·高三校联考阶段练习）第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国第三次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，杭州市某社区决定举办一次亚运会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下：①每组队伍先从A，B两类问题中选择一类，并由两位选手从中各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束；②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛．市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8．(1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列及数学期望；(2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由．【变式3-1】4.（2023上·河南·高三校联考开学考试）已脱贫的西部地区某贫困县，巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，利用当地自然条件，在山上发展果树种植，现已开始大量结果，为了普及果树种植技术，该县举办“果树种植技术知识竞赛”，竞赛规则如下：先进行预赛，预赛共进行四轮答题比赛，在每轮答题比赛中，选手可选易，中，难三类题中的一题，答对得分，答错不得分，四轮答题中，易，中，难三类题中的每一类题最多选两个，预赛的四轮答题比赛得分不低于10分的进入决赛，某选手A答对各题相互独立，答对每类题的概率及得分如下表：容易题中等题难题答对概率313答对得分345(1)若选手A前两轮都选择了中等难度题，且对了一题，错了一题，请你为选手A计划后两轮应该怎样选择答题，使得进入决赛的可能性更大，并说明理由；(2)选手A四轮答题中，选择了一个容易题，两个中等难度题，一个难题，已知容易题答对，记选手A预赛四轮答题比赛得分总和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．题型4两人比赛赛制型【例题4】（2023上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）为了提高居民参与健身的积极性，某社区组织居民进行乒乓球比赛，每场比赛采取五局三胜制，先胜3局者为获胜方，同时该场比赛结束，每局比赛没有平局.在一场比赛中，甲每局获胜的概率均为p，且前4局甲和对方各胜2局的概率为38(1)求p的值；(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X，求X的分布列与期望.【变式4-1】1.（2023上·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习）甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”.(1)求这场比赛甲获胜的概率；(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.【变式4-1】2.（2023上·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当参赛甲、乙两位中有一位先赢得三局比赛时，则该选手获胜，则比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为p(0<p<1).(1)若比赛进行三局就结束的概率为fp，求f(2)记（1）中，fp取得最小值时，p的值为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙实际比赛的局数，求X【变式4-1】3.（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）某校为了弘扬中华优秀传统文化，在校艺术节上举办班级“古诗词双人团体赛”，每班限报一队，每队两人，每队通过回答多个问题的形式进行竞赛.现甲，乙两队进行竞答比赛，比赛规则是：每轮比赛中每队仅派一人代表答题，两人都全部答对或者都没有全部答对则均记1分；一人全部答对而另一人没有全部答对，则全部答对的队伍记3分，没有全部答对的记0分.设每轮比赛中甲队全部答对的概率为34，乙队全部答对的概率为2(1)经过1轮比赛，设甲队的得分为X，求X的分布列和期望；(2)若比赛采取3轮制，请计算第3轮比赛后甲队累计得分低于乙队累计得分的概率.【变式4-1】4.（2023上·福建漳州·高三统考开学考试）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用2n-1n∈N*(1)若n=2，p=1(2)若n=3比n=2对甲更有利，求p的取值范围.【变式4-1】5.（2023·山西临汾·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为35，小吴每局比赛获胜的概率均为25，若采用三局两胜制，两人共进行了X局比赛，求(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？【变式4-1】6.（2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A,B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A,B题库每题的概率分别为34、12，二班能正确回答A,B题库每题的概率均为(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？题型5两队比赛型【例题5】（2024上·吉林白城·高三校考阶段练习）科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理､化学､生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为34,1(1)设随机变量X表示甲队的总得分，求X的分布列和数学期望；(2)求甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.【变式5-1】1.（2023·全国·模拟预测）为了引导人民强健体魄，某市组织了一系列活动，其中乒乓球比赛的冠军由A，B两队争夺，已知A，B两队之间的比赛采用5局3胜制，且本次比赛共设有3000元奖金，奖金分配规则如下：①若比赛进行3局即可决定胜负，则赢方获得全部奖金，输方没有奖金；②若比赛进行4局即可决定胜负，则赢方获得90%的奖金，输方获得10%的奖金；③若比赛打满5局才决定胜负，则赢方获得80%的奖金，输方获得20%的奖金．已知每局比赛A队，B队赢的概率分别为13，2(1)若比赛进行4局即可决定胜负，则A队赢得比赛的概率为多少？(2)求A队获得奖金金额X的分布列及数学期望．【变式5-1】2.（2023·全国·模拟预测）某中学为了响应国家双减政策，开展了校园娱乐活动．在一次五子棋比赛活动中，甲、乙两位同学每赛一局，胜者得1分，对方得0分，没有平局．规定当一人比另一人多得5分或进行完10局比赛时，活动结束．假设甲、乙两位同学获胜的概率都为12(1)只有当一人比另一人多得5分时，得分高者才能获得比赛奖品，求甲获得比赛奖品的概率；(2)设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．【变式5-1】3.（2023上·山东淄博·高三统考期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45(1)求第三回合甲发球的概率；(2)设前三个回合中，甲的总得分为X，求X的分布列及期望．【变式5-1】4.（2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B采取领先3局者获胜。每局不存在平局.假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为12，在项目B中甲班每一局获胜的概率为2(1)求甲班在项目A中获胜的概率；(2)若第二个比赛项目B进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜.现比赛已经进行了2局，甲班2局全输.设甲班在第二个比赛项目B中参加总局数为X、求随机变量X的分布列及期望.【变式5-1】5.（2023·云南·校联考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足U23代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了赛事最佳阵容．世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段．小组赛中，每个小组4支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入淘汰赛．淘汰赛中16支球队逐队厮杀，通过4轮比赛决出最后的冠军．(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分，小组赛阶段中国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马队，根据赛前球探报告分析，可以近似认为后两场比赛中国的获胜的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．中国队三场小组赛之后的总积分为随机变量X，求出其分布列和期望．(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，在所有陈涛没有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中20%的场次，陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助攻．在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．已知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德国队，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．题型6三人比赛型【例题6】（2023上·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为12和23，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为1136(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．【变式6-1】1.（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）2022年北京冬奥会成功举办后，冰雪运动深受人们喜爱.高山滑雪运动爱好者乙坚持进行高山滑雪专业训练，为了更好地提高滑雪技能，使用A,B两个气候条件有差异的标准高山滑雪场进行训练.(1)已知乙第一次去A,B滑雪场训练的概率分别为0.4和0.6.选择A,B高山滑雪场的规律是：如果第一次去A滑雪场，那么第二次去A滑雪场的概率为0.6；如果第一次去B滑雪场，那么第二次去A滑雪场的概率为0.5，求高山滑雪运动爱好者乙第二次去A滑雪场的概率；(2)高山滑雪爱好者协会组织高山滑雪挑战赛，挑战赛的决赛由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的“飞雪”队进行比赛，约定赛制如下：“飞雪”队的乙、丙两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场比赛则甲获胜；若甲连续输两场比赛则“飞雪”队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，若甲与乙比赛，乙赢的概率为13；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中13<p<12.赛事组委会规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元.若“飞雪”队第一场安排乙与甲进行比赛，设赛事组委会预备支付的奖金金额共计X【变式6-1】2.（2023上·江苏·高三校联考开学考试）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为34；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为45和12；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为p和3(1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为18，求三人中进入决赛的人数ξ【变式6-1】3.（2023下·江苏连云港·高二统考期中）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为13，甲赢丙的概率为13，乙赢丙的概率为(1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数X的概率分布列；(2)求甲成为优胜者的概率；(3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策．【变式6-1】4.（2022·河北石家庄·统考模拟预测）甲､乙､丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去，三人经过抽签决定由甲､乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验每局比赛中：甲乙比赛甲胜概率为23，乙丙比赛乙胜概率为12，丙甲比赛丙胜概率为(1)比赛完3局时，求甲､乙､丙各胜1局的概率；(2)比赛完4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量X，求的X分布列和期望.题型7摸球型【例题7】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）机器人甲、乙分别在A,B两个不透明的箱子中取球，甲先A箱子中取2个或3个小球放入B箱子，然后乙再从B箱子中取2个或3个小球放回A箱子，这样称为一个回合．已知甲从A箱子中取2个小球的概率为34，取3个小球的概率为14；乙从B箱子中取2个小球的概率为23，取3个小球的概率为13．现A,B两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中(1)求第一个回合甲从A箱子取出的球中有2个红球的概率；(2)求第一个回合后A箱子和B箱子中小球个数相同的概率；(3)两个回合后，用X表示A箱子中小球个数，用Y表示B箱子中小球个数，求X-Y的分布列及数学期望．【变式7-1】1.（2023上·江苏徐州·高三统考期中）设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.【变式7-1】2.（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）某商场在“双十二”那天进行有奖促销，规定凡在该商场购物满500元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、白、黑).顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定：摸到红球奖励30元，摸到白球或黄球奖励15元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次摸奖停止的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.【变式7-1】3.（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）机器人甲、乙分别在A,B两个不透明的箱子中取球，甲先A箱子中取2个或3个小球放入B箱子，然后乙再从B箱子中取2个或3个小球放回A箱子，这样称为一个回合．已知甲从A箱子中取2个小球的概率为34，取3个小球的概率为14；乙从B箱子中取2个小球的概率为23，取3个小球的概率为13．现A,B两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中(1)求第一个回合甲从A箱子取出的球中有2个红球的概率；(2)求第一个回合后A箱子和B箱子中小球个数相同的概率；(3)两个回合后，用X表示A箱子中小球个数，用Y表示B箱子中小球个数，求X-Y的分布列及数学期望．【变式7-1】4.（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）现有大小相同的7个红球和8个黑球，一次取出4个.(1)求恰有一个黑球的概率；(2)取出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)取出4个球同色，求全为红球的概率.【变式7-1】5.（2023下·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）有一种双人游戏，游戏规则如下：一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个白色小球，2个红色小球，每次游戏双方从袋中轮流摸出1个小球，摸后不放回，摸到第2个红球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏，且本次游戏中输掉的人在下一次游戏中先摸球．小胡和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小胡先摸球．(1)在第一次游戏中，求在小胡第一轮摸到白球的情况下，小胡获胜的概率；(2)记3次游戏中小胡获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．题型8药物相关型【例题8】（2023上·云南楚雄·高三统考期中）某单位有200名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，每个人是否携带病毒互不影响.现有两种筛查方案，方案1：对每个人的血样逐一化验，需要化验200次；方案2：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人的血样全部为阴性，如果混合血样呈阳性，说明这10个人中至少有一个人的血样呈阳性，就需要对这10个人每个人再分别化验一次.(1)某夫妻二人都在这个单位工作，若按照方案1，随机地进行逐一筛查，则他们二人恰好是先筛查的两个人的概率是多少；(2)若每次化验的费用为16元，采用方案2进行化验时，此单位大约需要总费用多少元？（参考数据：0.9510【变式8-1】1.（2023·湖南永州·统考二模）当前，新冠病毒致死率低，但传染性较强.经初步统计，体质好的人感染呈显性（出现感染症状）或呈隐性（无感染症状）的概率都是12，体质不好的人（易感人群）感染会呈显性，感染后呈显性与呈隐性的传染性相同，且人感染后在相当一段时期内不会二次感染.现有甲乙丙三位专家要当面开个小型研究会，其中甲来源地人群的感染率是12，乙来源地人群的感染率是13(1)求参会前甲已感染的概率；(2)若甲参会前已经感染，丙在会议期间被感染，求丙感染是因为乙传染的概率；(3)若参会前甲已感染，而乙､丙均未感染，设会议期间乙､丙两人中感染的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列与期望.【变式8-1】2.（2022上·福建福州·高三福建师大附中校考阶段练习）核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝､丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果：2份阳性，10份阴性.若每次检测费用为a元（a为常数），记检测的总费用为X元.(1)当n=3时，求X的分布列和数学期望.(2)以检测成本的期望值为依据，在n=3与n=4中选其一，应选哪个？【变式8-1】3.（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“混采检测”或“逐一检测”的形式进行，某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知6只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下面是两种化验方案：方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止.方案乙：先取4只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的2只动物再逐个化验，直到查出患病动物.(1)用X表示依方案甲所需化验次数，求变量X的期望；(2)求依方案甲所需化验次数少于依方案乙所需化验次数的概率.【变式8-1】4.（2023·河北保定·统考一模）在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以ξ表示选取的人中服药后有效的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．题型9商品利润型【例题9】（2023上·四川雅安·高三校联考期中）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，13，16，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；(2)记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与期望【变式9-1】1.（2023上·全国·高三专题练习）小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品(元)(0，100)[100，500)[500，1000)积分246概率111表2购买虚拟商品(元)(0，20)[20，50)[50，100)[100，200)积分1234概率1111(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列．【变式9-1】2.（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）2022年国庆节某商场进行砸金蛋活动，现有8个外形完全相同的金蛋，8个金蛋中有1个一等奖，1个二等奖，3个三等奖，3个参与奖，现甲乙两人进行砸金蛋比赛，砸中1个一等奖记4分，砸中1个二等奖记3分，砸中1个三等奖记2分，砸中1个参与奖记1分，规定砸蛋人得分不低于8分为获胜，否则为负，并制定规则如下：①一个人砸蛋，另一人不砸蛋；②砸蛋的人先砸1个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸2个金蛋；若砸出的不是一等奖，则再砸3个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的记分之和．(1)若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等奖，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望E(ξ)．【变式9-1】3.(2023·河北·统考模拟预测）将我国现行宪法实施日即12月4日，作为每年一次的全国法制宣传日．目的是要通过开展系列的宣传活动，进一步在广大干部群众中牢固树立宪法是国家根本大法的观念、国家一切权利属于人民的观念、公民权力和义务对等的观念、依法治国的观念和法治与德治相结合的观念．2022年12月4日是第二十二届全国法制宣传日，某商场举行法制安全答题赢现金活动：活动组备有甲，乙两类题目，每位参加活动的顾客从装有大小相同但颜色不同的3个白球和2个红球的箱子中随机摸出1个球，摸出白球回答甲类题目，摸出红球回答乙类题目，若答错则该顾客的答题结束；若答对则从另一类问题中随机抽取一个题目回答，无论答对答错，该顾客答题结束．答对甲类题目中的每个题目可获得奖金30元，否则得0元；答对乙类题目中的每个题目可获得奖金70元，否则得0元．已知小王能答对甲类题目的概率为0.8，能答对乙类题目的概率为0.7，且能答对题目的概率与回答次序无关．(1)计算小王累计获得奖金100元的概率；(2)记X为小王的累计奖金，求X的分布列和数学期望．【变式9-1】4.（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考模拟预测）在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数5的分布列如下，其中0<a<1，0<b<1．ξ456P0.4ab(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元）．当X=5500的概率取得最大值时，求利润X的分布列和数学期望．题型10频率分布图型【例题10】（2023上·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50∼350kw(1)求a的值；(2)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于250kw⋅h的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间300,350内的户数为ξ【变式10-1】1.（2023上·全国·高三校联考阶段练习）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间40,90内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示．

(1)求a的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数；(2)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在70,80和80,90的中学生中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过80min(3)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记日均体育活动时间在60,80的人数为X，求X的分布列以及数学期望．【变式10-1】2.（2023·全国·模拟预测）2023年空军航空开放活动·长春航空展于7月26日至30日在长春举行．某机构为了了解网民对本届航展的关注度，对网民进行关注度的问卷调查，从调查问卷中随机抽取60份对得分（问卷得分均在60,100内）情况进行统计分析，并得到频率分布直方图如图所示．

(1)估计网民关注度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)利用分层抽样的方法从关注度得分在60,68和92,100的样本中随机抽取9个样本，再从这9个样本中随机抽取4个样本，记这4个样本中关注度得分在60,68的样本数为X，求X的分布列与数学期望．【变式10-1】3.（2023上·广东汕尾·高三校考期中）为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100这六组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的平均数(同一组数据用该组中点值值代替）；(2)用分层抽样的方法从问答成绩在60,80内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，记问答成绩在70,80内的人数是ξ，求ξ的分布列，及数学期望．【变式10-1】4.（2023上·北京·高三北京八中校考期中）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照0,10，10,20，20,30，30,40，40,50，50,60分组，并整理得到如下频率分布直方图：

根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：学习时间：（分钟/天）t<2020≤t<50t≥50等级一般爱好痴迷(1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ(3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X甲与X乙的大小，及方差S甲题型11分布表型【例题11】（2023上·上海虹口·高三上外附中校考期中）某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．红色外观蓝色外观棕色内饰2010米色内饰155(1)从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求PB和P(2)活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）．【变式11-1】1.（2023上·全国·高三专题练习）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示.学生数(人)x25y10打饭时间(秒/人)10152025已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒．(1)确定x，y的值；(2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率)【变式11-1】2.（2023上·湖南岳阳·高三校联考阶段练习）魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力.基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下：时间人数年级50,8080,110110,140140,170170,200低年级2812144高年级102216102(1)估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；(2)在这次测试中，从所用时间在80,110和110,140内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学生的人数为X，求X的分布列和数学期望.【变式11-1】3.（2023上·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下分组A小区频数B小区频数18-40岁人群603041-70岁人群8090其他人群3050假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；(2)从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【变式11-1】4.（2023上·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）A,AA,BB,AB,B王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望EX(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，PM>0，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．【变式11-1】5.（2023·全国·校联考模拟预测）新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由A,B,C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A,B,C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A,B,C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；C工序的加工质量层次为高，A,B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．表①:表示A,B,C三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润．表①

工序ABC概率134表②口罩等级100等级99等级95等级利润/元2.30.80.5(1)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；(2)由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了a(0≤a≤0.4)元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则a与b应该满足怎样的关系?【变式11-1】6.（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）根据过去50年的水文资料，对某水库的年入流量x（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）进行统计整理得到下表：年入流量x20,4040,6060,8080,100100,120年数51020105将过去50年统计所得的年入流量在五个区间的频率作为年入流量在相应区间的概率，并假设各年的年入流量相互独立.已知各年的发电机最多可运行台数N与年入流量x相关，关系如下表：年入流量x40,6060,8080,100100,120发电机最多可运行台数N1234(1)德国数学家高斯用取整符号“[]”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数.例如，当0<x<1时，x=0(2)当地政府计划在该水库建一座水电站.当发电机正常运行，年利润为4000万元/台；当发电机未运行，年亏损500万元/台.若要使发电机的年总利润的期望值最大，则该水库应安装多少台发电机？题型12折线图型【例题12】（2023上·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）如图是2023年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．(1)从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；(2)从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；(3)记每天新增确诊的人数为Y，每天新增疑似的人数Z，根据这20天统计数据，试判断DY与DZ的大小关系（结论不要求证明）．【变式12-1】1.（2023上·北京·高三北京市第十三中学校考期中）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：(1)从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；(3)如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明）【变式12-1】2.（2023上·北京昌平·高三昌平一中校考期中）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TIP=实际行程时间畅通行程时间TPI1,1.51.5,22,4不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：

(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望EX(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a1,a2,⋯,a7，将2022年同期TPI依次记为b1,【变式12-1】3．（2023上·北京·高三北京市第三十五中学校考阶段练习）如图是某年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.

(1)从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；(2)从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；(3)观察新增病例8日到14日这7天的折线图，指出从哪天开始连续三天新增确诊病例的方差最大（直接写出结论即可）.【变式12-1】4.（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）北京冬奥会之后，多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为13题型13导数型【例题13】（2023上·广东广州·高三铁一中学校联考期中）根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：X1230概率αααα其中α>0，0<p<1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子（i=0,1,2,3），事件(1)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在p的值使得EX(2)若p=12，求α，并根据全概率公式PB【变式13-1】1.（2023·全国·模拟预测）乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为p0<p<1(1)若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为3925(2)若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望fp，并求当p为何值时，f【变式13-1】2.（2023上·全国·高三专题练习）某地盛产橙子，但橙子的品质与当地的气象相关指数λ有关，气象相关指数λ越大，橙子品质越高，售价同时也会越高，某合作社统计了近10年当地的气象相关指数λ，得到了如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值；(2)从这10年中任意抽取3年研究气象指数λ对橙子品质的影响，求这3年的气象相关指数λ在[0.9,1]之间的个数X的数学期望；(3)根据往年数据知，该合作社的利润y(单位：千元)与每亩地的投入x(单位：千元)和气象相关指数λ的关系为y=100λ-200x+2λ-4x-40,x∈[4,8]，求气象相关指数λ【变式13-1】3.（2021下·北京·高三中关村中学校考阶段练习）某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级如下表：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（2）若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；（3）若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表：(1<t<4)质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100)利润y(元)6t8t4t2t-试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大？(参考数值：ln2=0.7,【变式13-1】4.（2020·安徽合肥·统考二模）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率0<p<12p1-3pp预期平均年利润（单位：万元）方案A700400-400方案B600300-100（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为x（万件），通过核算，实行方案A时新产品的年度总成本y1（万元）为y1=23x3-8x2+10x+160，实行方案B时新产品的年度总成本y2（万元）为y2=1题型14数列型【例题14】（2023·广东佛山·统考一模）佛山岭南天地位于禅城区祖庙大街2号，主要景点有龙塘诗社、文会里嫁娶屋、黄祥华如意油祖铺、李众胜堂祖铺、祖庙大街等，这里的每一处景色都极具岭南特色，其中龙塘诗社和祖庙大街很受年轻人的青睐.为进一步合理配置旅游资源，现对已在龙塘诗社游览的游客进行随机问卷调查，若继续游玩祖庙大街景点的记2分，若不继续游玩祖庙大街景点的记1分，每位游客选择是否游览祖庙大街的概率均为12，游客之间(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；(2)（ⅰ）若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m分的概率为Am，求数列A（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn-1【变式14-1】1.（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n级的概率为(1)求他上到第10级的概率P10(2)若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．【变式14-1】2.（2023·四川成都·石室中学校考一模）石室中学社团为庆祝石室中学2166年校庆，为同学们准备了丰富多彩的游戏节目.其中某个知识答题游戏节目，共需要完成n(n∈N+,且n≥2)次答题，并以累计的总分作为参考依据.若甲同学参加该游戏，且每次回答正确的概率为3(1)如果n=2，甲选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；(2)若甲选择方案二，则①记甲第i次获得的分数为Xi，期望为EXi②若甲累计总分的期望值超过2166分，即可获得校园文创产品一份，求至少需要答题的次数.(参考数据：1.213≈10.7；1.214≈12.84；【变式14-1】3.（2023上·河南郑州·高三郑州外国语学校校联考阶段练习）2023年10月5日晚，杭州亚运会五人制女篮比赛收官．决赛中，中国女篮74:72战胜日本女篮，以六战全胜的成绩卫冕成功．这也是继亚洲杯决赛后，中国女篮再度击败对手．这也是中国女篮第七次获得亚运会冠军．中国女篮首发五人分别是李梦、韩旭、黄思静、王思雨和金维娜娜．主教练郑薇准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．(1)记李梦，韩旭，黄思静三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列：(2)若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练，且第1次由李梦将球传出，记n次传球后球在李梦手中的概率为pn①直接写出p1②求pn+1与pn的关系式n∈N【变式14-1】4.（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒子装有2个红球和2个白球，乙盒子装有4个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．在一次球交换过程中，从甲盒子与乙盒子中各随机选择1个球进行交换，重复n次这样的交换过程后，甲盒子里装有红球的个数为Xn(1)求X2(2)求PX【变式14-1】5.（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中红球个数为Xn(1)求PX(2)求X2的概率分布列并求出E(3)证明：EX1.（2023·西藏拉萨·统考一模）当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．2.（2023·全国·模拟预测）某公司为了推广旗下的某款App，在2024年春节来临之前，推出了集“福卡”得奖励的活动，其中“福卡”有5种，分别是“福到”“财到”“喜到”“缘到”“运到”．规则如下：①通过登录这款App或推荐新用户下载并使用这款App可获得若干抽奖次数；②每次抽奖可获得一张“福卡”；③5种“福卡”是系统随机分配的；④用户集齐5种“福卡”后，便可获得App提供的奖励；⑤集齐5种“福卡”后，用户不再抽奖，活动结束；⑥用完所有抽奖机会，活动结束．现在甲参加了集“福卡”得奖励的活动．(1)已知甲已经集了其中的2种“福卡”，还有3次抽奖机会，求甲获得奖励的概率；(2)已知甲已经集了其中的3种“福卡”，还有4次抽奖机会，记活动结束时，甲使用的抽奖次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．3.（2023·广东广州·统考模拟预测）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．(1)甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；(2)为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？4.（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn①直接写出P1，P2，②求Pn+1与Pn的关系式n∈N5.（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表：乙丙丁比赛的次数606050甲获胜的次数203040以上表中的频率作为概率，求解下列问题.(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.（ⅰ）求甲至少胜一场的概率；（ⅱ）如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为X，求X的分布列与期望；(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为p，那么以什么样的出场顺序才能使概率p最大，并求出p的最大值.6.（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X(1)求双方打满四局且比赛结束，甲获胜的概率；(2)求X的分布列和数学期望.7.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足U23代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了奏事最佳阵容．世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段．小组赛中，参赛的32支代表队被分为8各小组，每个小组4支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入淘汰赛．淘汰赛中16支球队捉对厮杀，败者淘汰胜者晋级，通过4轮比赛决出最后的冠军．(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分．小组赛阶段中国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马对，根据赛前球探报告分析，中国队都有实力优势，可以近似认为后两场比赛中国的获胜的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．设中国队三场小组赛之后的总积分为随机变量X，求出其分布列和期望．(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，在所有陈涛没有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中20%的场次，陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助攻．在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．已知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德国队，遗憾告别世界杯．那么，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．8.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23，12，乙通过第一轮与