2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.2第7课时导数的运算习题课习题含解析新人教B版选修2-2

第7课时导数的运算习题课限时：45分钟总分：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知物体自由落体的运动方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若v＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)，当Δt趋于0时，v趋近于9.8m/s，则9.8m/s(C)A．是物体从0s到1s这段时间的平均速度B．是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度C．是物体在t＝1s这一时刻的瞬时速度D．是物体在t＝Δts这一时刻的瞬时速度解析：依据瞬时改变率的概念可知．2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(A)A．1 B．2C．e D.eq\f(1,e)解析：y′＝ex，所以y′|x＝0＝e0＝1，即切线的斜率为1.3．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围是(A)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) B．[－1,0]C．[0,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：设点P的横坐标为x0，∵y＝x2＋2x＋3，∴y′|x＝x0＝2x0＋2.利用导数的几何意义得2x0＋2＝tanα(α为曲线C在点P处切线的倾斜角)，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴0≤2x0＋2≤1，则x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).故选A.4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(C)A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)解析：f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x－2x＋1,x)>0，利用数轴标根法可解得－1<x<0或x>2，又x>0，所以x>2.故选C.5．函数y＝cos(2x－3)的导数是(D)A．y′＝sin(2x－3) B．y′＝－sin(2x－3)C．y′＝2sin(2x－3) D．y′＝－2sin(2x－3)解析：函数y＝cos(2x－3)可看作由y＝cosu与u＝2x－3复合而成，故y′＝(cosu)′(2x－3)′＝－2sin(2x－3)．6．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(C)A．26 B．29C．212 D．215解析：f′(x)＝[x·(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.二、填空题(每小题6分，共18分)7.如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝2.解析：当x＝5时，y＝－5＋8＝3，因此f(5)＝3，又切线斜率为－1，即f′(5)＝－1，故f(5)＋f′(5)＝2.8．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝1.解析：f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.9．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是①③⑤.(填上正确的序号)①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋eq\f(1,x).解析：①中的函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x0)＝f′(x0)，则xeq\o\al(2,0)＝2x0，解得x0＝0或2，故①中函数存在巧值点；对于②中的函数，要使f(x0)＝f′(x0)，则e－x0＝－e－x0，易知此方程无解，故②中函数不存在巧值点；对于③中的函数，要使f(x0)＝f′(x0)，则lnx0＝eq\f(1,x0)，由于函数y＝lnx与y＝eq\f(1,x)的图象有交点，因此方程有解，故③中函数存在巧值点；对于④中的函数，要使f(x0)＝f′(x0)，则tanx0＝eq\f(1,cos2x0)，即sinx0cosx0＝1，明显无解，故④中函数不存在巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x0)＝f′(x0)，则x0＋eq\f(1,x0)＝1－eq\f(1,x\o\al(2,0))，即xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，则g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，明显函数g(x)在(－1，0)上有零点，故⑤中函数存在巧值点．三、解答题(共46分，写出必要的文字说明，计算过程或演算步骤)10．(15分)蜥蜴的体温与阳光的照耀有关，其关系为T(t)＝eq\f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均改变率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．解：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝eq\f(120,0＋5)＋15＝39，T(10)＝eq\f(120,10＋5)＋15＝23，故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均改变率为eq\f(T10－T0,10)＝－eq\f(16,10)＝－1.6(℃)．它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.(3)T′(5)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(\f(120,5＋Δt＋5)＋15－\f(120,5＋5)－15,Δt)＝－1.2，它表示t＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.11．(15分)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)，确定a的值．解：因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋eq\f(6,x).令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝eq\f(1,2).12．(16分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴点(2，－6)在曲线上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴曲线在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又直线l过点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．方法二：易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0).又k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，∴切线斜率为k＝4.设切点为(x0，y0)，则k＝