新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题08 直线与双曲线的位置关系(解析版)

专题08直线与双曲线的位置关系考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【解析】因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与渐近线重合，此时直线SKIPIF1<0与双曲线无交点；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与渐近线平行，此时直线SKIPIF1<0与双曲线有一个交点.故选：C

2．已知直线l：SKIPIF1<0和双曲线C：SKIPIF1<0，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意在直线l：SKIPIF1<0和双曲线C：SKIPIF1<0中，若l与C的上支交于不同的两点∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴t的取值范围为SKIPIF1<0，故选：D.3．已知双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为SKIPIF1<0，由已知易知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在双曲线内部（如SKIPIF1<0位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若SKIPIF1<0在双曲线与渐近线SKIPIF1<0之间（如SKIPIF1<0位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满足题意；故P只能在双曲线的渐近线SKIPIF1<0上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线SKIPIF1<0平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线SKIPIF1<0平行的直线符合要求；即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：B4．已知双曲线SKIPIF1<0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段SKIPIF1<0，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为直线l垂直平分线段SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为直线l与C存在公共点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线C的离心率的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B5．已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，斜率为k的直线l过点SKIPIF1<0且不过点P．若直线l交C于M，N两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，不满足题意，所以SKIPIF1<0，故选:A.6．已知双曲线SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0构成的三角形中有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由已知方程SKIPIF1<0有两组解，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0构成的三角形中有SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0上，在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B.7．已知双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为SKIPIF1<0，曲线C的左、右焦点分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0D．曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A错误；所以双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，故B错误，D正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为1，故C错误.故选：D.8．已知F1，F2分别为双曲线C：SKIPIF1<0的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0上的切点分别为H､I､J，则SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设内心M的横坐标为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0轴得点J的横坐标也为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则E为直线SKIPIF1<0与x轴的交点，即J与E重合.同理可得SKIPIF1<0的内心在直线SKIPIF1<0上，设直线SKIPIF1<0的领斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由题知，SKIPIF1<0，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．过双曲线C：SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0作直线l与双曲线C的右支交于点A，则（

）A．双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0B．点SKIPIF1<0到双曲线C的渐近线的距离为4C．直线l的斜率k取值范围是SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0的中点在y轴上，则直线l的斜率SKIPIF1<0【解析】对选项A：双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，正确；对选项B：SKIPIF1<0，取渐近线方程为SKIPIF1<0，距离为SKIPIF1<0，错误；对选项C：渐近线方程为SKIPIF1<0，故斜率k取值范围是SKIPIF1<0，正确；对选项D：SKIPIF1<0的中点在y轴上，则SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0，正确.故选：ACD10．已知双曲线C过点SKIPIF1<0且渐近线为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．C的方程为SKIPIF1<0B．C的离心率为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与C只有一个公共点D．直线SKIPIF1<0与C有两个公共点【解析】渐近线SKIPIF1<0，设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0，A选项正确.SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，B选项错误.直线SKIPIF1<0与双曲线的渐近线SKIPIF1<0平行，所以与双曲线只有一个公共点，C选项正确.SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与C只有一个公共点,D选项错误.故选：AC11．已知双曲线E：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线l与E的右支交于点P，若SKIPIF1<0，则（

）A．E的离心率为SKIPIF1<0 B．E的渐近线方程为SKIPIF1<0C．P到直线x＝1的距离为SKIPIF1<0 D．以实轴为直径的圆与l相切【解析】由双曲线方程可知，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴，垂足为点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，根据余弦定理，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以双曲线的离心率SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，故B错误；直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与双曲线方程SKIPIF1<0联立，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，所以点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，P到直线x＝1的距离为SKIPIF1<0，故C正确；以实轴为直径的圆的圆心为原点，半径为SKIPIF1<0，原点到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD12．已知双曲线SKIPIF1<0的虚轴长为2，过C上点P的直线l与C的渐近线分别交于点A，B，且点P为AB的中点，则下列正确的是（

）A．若SKIPIF1<0且直线l的斜率存在，直线l的方程为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，直线l的斜率为1C．若离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．若直线l的斜率不存在，SKIPIF1<0【解析】由题意SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0.对于A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用点差法可得SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A错误；对于B，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，由前面解答过程可知直线l的斜率为SKIPIF1<0，即B正确；对于C，若离心率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.则双曲线SKIPIF1<0，其渐近线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由A知SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确；对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，代入渐近线方程易得A，B两点的纵坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确；故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知F1为双曲线SKIPIF1<0的左焦点，过点F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，若SKIPIF1<0，则直线l的斜率为．【解析】设SKIPIF1<0，由双曲线SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，代入解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.14．记双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无公共点，则SKIPIF1<0的取值范围为.【解析】SKIPIF1<0，所以C的渐近线方程为SKIPIF1<0，结合渐近线的特点，只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可满足条件“直线SKIPIF1<0与C无公共点”.所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.15．已知双曲线C：SKIPIF1<0，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为．【解析】双曲线C：SKIPIF1<0，右焦点SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0．如图所示，假设直线l垂直于SKIPIF1<0，则直线l的斜率为SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，将直线l与双曲线C联立消x得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；同理可得，当直线l垂直于SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<016．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0.【解析】如图，由题可知，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.又以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，虚轴长为SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线SKIPIF1<0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆SKIPIF1<0上，求m的值．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴所求双曲线方程为SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，消y得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴AB中点为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．18．若双曲线SKIPIF1<0.四个点SKIPIF1<0恰有三点在双曲线SKIPIF1<0上.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，求原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离.【解析】（1）由双曲线性质可知，SKIPIF1<0关于原点对称，所以SKIPIF1<0一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象而SKIPIF1<0和SKIPIF1<0坐标的数中，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0不在双曲线上，即SKIPIF1<0在双曲线上.SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（2）直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.

19．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A为双曲线C左支上一点，SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线SKIPIF1<0与x轴交点的横坐标分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求双曲线C的方程．【解析】（1）由于A为双曲线C左支上一点，由双曲线的定义可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线C的离心率为SKIPIF1<0．（2）由（1）可设双曲线C的标准方程为SKIPIF1<0．

设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直线AD的方程为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．直线BD的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以双曲线C的方程为SKIPIF1<0．20．已知双曲线SKIPIF1<0的焦距为4，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)若点SKIPIF1<0，过右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点，求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）因为点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0①，由题意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②由①②解得SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）方法一：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.方法二：证明：当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，结论显然成立当直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.21．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，一条渐近线方程为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0的右焦点的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的外接圆圆心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，求直线SKIPIF1<0的方程.【解析】（1）因为SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0