2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课时分层作业含解析北师大版必修4

PAGE1-课时分层作业(二十一)向量应用举例(建议用时：40分钟)一、选择题1．一个人骑自行车行驶速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D．eq\f(v1,v2)C[依据速度的合成可知．]2．若OF1＝(2，2)，OF2＝(－2，3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(0，5)B．25C．2eq\r(2)D．5D[因为F1＋F2＝(0，5)，所以|F1＋F2|＝eq\r(02＋52)＝5.]3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．D[l的方向向量为v＝(－2，m)，由v与(1－m，1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.]4．已知点O在△ABC所在平面上，若eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(OA,\s\up8(→))，则点O是△ABC的()A．三条中线交点 B．三条高线交点C．三条边的中垂线交点 D．三条角平分线交点B[∵eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))，∴(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up8(→))⊥eq\o(CA,\s\up8(→)).同理可证eq\o(OC,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(OA,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，∴点O是三条高线交点．]5.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若eq\o(DE,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，则eq\o(DE,\s\up8(→))＝()A．eq\f(5,2) B．2eq\r(3)C．3 D．2eq\r(2)B[如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，E(2，0).设AD＝m.则D(0，m)，C(4，m).∵eq\o(DE,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，而eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，－m)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4，m)，∴8－m2＝0，即m2＝8，∴|eq\o(DE,\s\up8(→))|＝eq\r(22＋m2)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).]二、填空题6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设起先时点P的坐标为(－1，1)，则3秒后点P的坐标为________.(5，－8)[设点A(－1，1)，3秒后点P运动到B点，则eq\o(AB,\s\up8(→))＝3v，所以eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝3v，所以eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋3v＝(－1，1)＋3(2，－3)＝(5，－8).]7．河水的流速为2m/s，一艘小船以10m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为2eq\r(26)[设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10.因为v⊥v1，所以v·v1＝0，所以|v2|＝|v－v1|＝eq\r(v2－2v·v1＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(100－0＋4)＝eq\r(104)＝2eq\r(26).]8．在边长为1的正三角形ABC中，设eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))＝3eq\o(CE,\s\up8(→))，则eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BE,\s\up8(→))＝________．－eq\f(1,4)[选eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))为基底，则eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))＝－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(CA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(CB,\s\up8(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(CB,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(CA,\s\up8(→))))＝－eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))2－eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))2＋eq\f(7,6)eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＋eq\f(7,6)×1×1×cos60°＝－eq\f(1,4).]三、解答题9．过点A(－2，1)，求：(1)与向量a＝(3，1)平行的直线方程；(2)与向量b＝(－1，2)垂直的直线方程．[解]设所求直线上随意一点P(x，y)，∵A(－2，1)，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝(x＋2，y－1).(1)由题意知eq\o(AP,\s\up8(→))∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0.∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.(2)由题意，知eq\o(AP,\s\up8(→))⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.10．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量学问判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.[解]如图，建立平面直角坐标系，则C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)，设P(0，y)，∴eq\o(ED,\s\up8(→))＝(1，3)，eq\o(EP,\s\up8(→))＝(－1，y)，∴|eq\o(ED,\s\up8(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(EP,\s\up8(→))|＝eq\r(1＋y2)，eq\o(ED,\s\up8(→))·eq\o(EP,\s\up8(→))＝3y－1，代入cos45°＝eq\f(\o(ED,\s\up8(→))·\o(EP,\s\up8(→)),|\o(ED,\s\up8(→))||\o(EP,\s\up8(→))|)＝eq\f(3y－1,\r(10)·\r(1＋y2))＝eq\f(\r(2),2).解得y＝－eq\f(1,2)(舍)或y＝2，∴点P在靠近点A的AO的三等分处．1．已知点A(eq\r(3)，1)，B(0，0)，C(eq\r(3)，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up8(→))＝λeq\o(CE,\s\up8(→))，其中λ等于()A．2 B．eq\f(1,2)C．－3 D．－eq\f(1,3)C[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(|\o(BC,\s\up8(→))|,|\o(CE,\s\up8(→))|)＝3，∴eq\o(BC,\s\up8(→))＝－3eq\o(CE,\s\up8(→)).]2．若O是△ABC所在平面内一点，且满意|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))|，则△ABC的形态是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形B[∵|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|，|eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|，设eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．]3．已知向量eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，且eq\o(AP,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，则实数λ的值为________．eq\f(7,12)[eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，由于eq\o(AP,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，所以eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))·(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(AC,\s\up8(→))2＋(λ－1)·eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，解得λ＝eq\f(7,12).]4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝meq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝neq\o(AN,\s\up8(→))，则m＋n的值为________．2[∵O是BC的中点，∴eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))).又∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝meq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝neq\o(AN,\s\up8(→))，∴eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up8(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up8(→)).∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1.则m＋n＝2.]5．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)起先，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)起先，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0s时分别在P0，Q0处，当eq\o(PQ,\s\up