山东省泰安市泰安第一中学2025届高三上学期11月月考数学试题（含答案）

1PAGE第1页泰安一中新校区2025届高三上学期期中模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合​，则​（）A.​ B.​ C.​ D.​2.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.3.已知奇函数，则（）A. B.0 C.1 D.4.设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（）A. B. C. D.5.已知，都是锐角，，，求（）A. B. C. D.6.函数的零点个数为（）A.1 B.0 C.3 D.27.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（）A. B.方程有解C.是偶函数 D.是偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设正实数满足，则（）A.最小值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为10.已知函数图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.当时，函数值域为D.函数有三个零点11.已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（）AB.C.若，则D.若数列单调递增，则取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______．13.为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是___________.14.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）证明：（2）若，，求的周长.16.已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．17.已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.（1）求出的通项公式；（2）设，数列前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围.18.已知函数，其中是实数.（1）若，求的单调区间；（2）若函数不具有单调性，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值.19.对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m的值；泰安一中新校区2025届高三上学期期中模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.【答案】BD10.【答案】ABD11.【答案】ABC【解析】三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.【答案】13.【答案】14.．【答案】四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.【解析】【分析】（1）利用正弦函数的和差公式，结合正弦定理与余弦定理的边角变换，化简整理即可得证；（2）利用（1）中结论与余弦定理分别求得，从而求得，由此得解.【小问1详解】已知，可化为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，整理得.小问2详解】当，时，，，所以，解得，所以的周长为16.【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】.由，解得即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为；【小问2详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以.若，则，.由，得，又，所以，则，故.故的值为.17.【解析】【分析】（1）由利用累加法求出的通项公式，进而求出an的通项公式.（2）由得，利用错位相减法求出，不等式可转化为，利用的单调性求出最小值即可.【小问1详解】∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴，∴当时，，即，∴，∴.又也满足上式，∴数列an的通项公式为；【小问2详解】由（1），可得，∴①，②，由①-②，得，∴，∴不等式可化为，即对任意的恒成立，令且为递增数列，即转化为.又，所以，综上，λ的取值范围是.18.【解析】【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解；（2）由题意在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列不等式求解即可；（3）易知当时，，再证能成立，即证：存在，使得恒成立，构造函数，利用导数研究其最值即可求解.【小问1详解】当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；【小问2详解】函数的图象是连续的，且不具有单调性，在定义域内有正有负（有异号零点），记，则在为负，为正，在单调递减，单调递增，故存在，使得，只需，即.【小问3详解】对任意都成立，当时，，下证：能成立，即证：存在，使得恒成立，记，故（必要性），而，则，解得，只需证：恒成立，，由（2）知，其在单调递减，单调递增，在为正，在为负，在为负，在单调递增，单调递减，，得证；综上，的最小值为0.19.【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内质数为，，故，所以为“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故是“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，存在正整数，使得，即：，且，，或，或，解得，或，，或，即的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理