《工程力学 》课件第2章

第2章平面汇交力系2.1平面汇交力系的简化

2.2平面汇交力系的平衡

思考题

习题

2.1平面汇交力系的简化

2.1.1平面汇交力系合成的几何法

1．二汇交力合成的三角形法则设有F1与F2二力作用于某刚体上的A点，根据平行四边形公理，这两个力可以合成为一个合力FR，它的作用线通过汇交点A，大小和方向由平行四边形的对角线决定，如图2-1a所示。用矢量表达为

FR=F1+F2

（2-1）

按选定比例作图，可以从图上直接量得合力的大小和方向（）。

为简便计，作图时可省略AC与CD，直接将F2联在F1的末端，通过即可求得合力FR，如图2-1b所示。此法就称为求二汇交力合力的三角形法则。三角形法则同样地表达出矢量式FR=F1+F2

。

图2-1

2．多个汇交力合成的力多边形法则设在刚体某平面上有一汇交力系F1、F2、F3、F4作用并汇交于O点其合力FR可连续使用上述三角形法则来求得，即先作F1与F2的合力FR1，再将FR1与F3合成为FR2，最后求出FR2与F4的合力FR，力FR即为该汇交力系的合力，可用矢量式表示为

FR=F1+F2+F3+F4

由图2-2可见，FR1、FR2……亦可省略，故求合力FR，只需将各力首尾相接，形成一条折线，最后连其封闭边，从共同的始端O指向F4的末端所形成的矢量即为合力FR的大小与方向。此法称为力的多边形法则。

图2-2由多边形法则求得的合力FR，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力FR的大小、方向与各力相加次序无关。若平面汇交力系包含n个力，以FR表示它们的合力，上述关系可用矢量表达式表述如下：

（2-2）

例2-1

在O点作用有四个平面汇交力，如图2-3所示。已知F1=100N，F2=100N，F3=150N，F4=200N，用几何作图法求力系的合力FR。

解

选用比例尺如图所示，将F1、F2、F3、F4首尾相接依次画出，如图2-3所示。得到力多边形abcde，其封闭边就表示合力FR。量得

FR=170N合力的作用点仍在O点。

图2-32.1.2平面汇交力系合成的解析法

1．力在坐标轴上的投影已知力F作用于刚体平面内A点，且与水平线成的夹角。建立平面直角坐标系Oxy，如图2-4所示。过力F的两端点A、B分别向x、y轴引垂线，垂足在x、y轴上截下的线段ab、a1b1分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定为：由起点a到终点b（或由a1到b1）的指向与坐标轴的正向一致时为正，反之为负。一般地，有(2-3)

式中——力F与x轴所夹的锐角。

图2-4图2-4中，力F在x、y轴上的投影为

反过来，若力F在x及y轴上的投影F及F已知，则可确定F的大小和方向：

（2-4）

式中表示力F与x轴所夹的锐角，F的指向由投影F、F的正负号确定。

如果将力F沿x、y坐标轴分解，所得分力Fx、Fy的大小与F力在同轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。（只有当采用直角坐标时，才有这种关系。如果x与y不相垂直，读者试作图证明两分力的大小不等于两投影的绝对值）。但须注意，力的投影是代数量，而力的分力则是矢量。

2．合力投影定理设刚体上O点作用有平面汇交力系(F1，F2，F3)（图2-5a），其合力FR即可连续使用力三角形法则来求解，如图2-5b所示。取坐标系Oxy，将合力FR及力系中各力F1、F2、F3向x轴投影，得

FRx=adF1x=abF2x=bc

F3x=-dc

图2-5由图可知

ad=ab+bc+(-dc)

故

同理可得

显然，上述关系可以推广到由n个力F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系，从而得出（2-5）

3．平面汇交力系合成的解析法若进一步按式（2-4）运算，即可求得合力FR的大小及方向

（2-6）

式中为合力FR与x轴之间所夹的锐角。合力FR的指向由、的正负号确定。

例2-2

用解析法求图2-6（a）所示平面汇交力系的合力的大小和方向。已知F1=100N，F2=100N,F3=150N,F4=200N。解

由式（2-5）计算合力FR在x、y轴上的投影

故合力FR的大小和方向为：

由于为负值，为正值，所以合力指向第二象限，如图2-6（b）所示，合力的作用线通过力系的汇交点Ｏ。

图2-62.2平面汇交力系的平衡

2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5）等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系（FR1，F5）也是平衡力系。根据二力平衡公理，FR1与F5应等值、反向、共线。可见FR1与F5的合力等于零，也就是原力系的合力等于零。由此可得：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力FR等于零。以矢量式表示为

FR=0或

（2-7）

图2-7例2-3

图2-8所示起重机吊起一重G=10kN的钢管。试求AB、AC、AE绳的拉力。解

（1）选取研究对象并画出其受力图。本题若单取吊钩为研究对象，其分离体受力图如图2-8（d），吊钩受三个未知力的作用。若取吊钩及重物一起研究，其分离体受力图如图2-8（b）所示，包含已知力重力G。因此利于解题。

图2-8（2）从图2-8（b）可知，FTE与G构成二力平衡，FTE、G必共线、反向、等值。FTE=G。已知FTE后，可取吊钩为研究对象，先画出已知力FTE（ed段），在已知力FTE的首尾两端，分别作出FTB、FTC的平行线并交于f点，则即为所求的封闭的力三角形，图中ef及fd段分别代表FTB、FTC（如图2-8c）所示。由于de、ef、fd段采用相同的比例作图，可量出ef、fd的长度，算出FTB=FTC=19kN。2.2.2平面汇交力系平衡的解析条件由上述可知，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是，该力系的合力FR等于零。由式2-7，应有

欲使上式成立，必须同时满足

（2-8）

用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤如下：（1）确定研究对象，画分离体受力图；（2）选定坐标轴x、y，将诸力分别向x、y轴上投影；（3）列平衡方程并求解；（4）校核。例2-4

重为G=1kN的球O用与斜面平行的绳索AB系住，并放置在与水平面成角的光滑斜面上，如图2-9a所图。求绳索AB所受的拉力及球对斜面的压力。

解（1）取球O为研究对象，画分离体受力图，如图2-9b。这是一平面汇交力系。（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。（3）列平衡方程，并求解：

根据作用与反作用公理知，绳AB所受的拉力；球对斜面的压力，其指向与图中的指向相反。

图2-9（4）校核

重新建立坐标系Oxy轴如图2-9c所示，与FT、FN都不垂直。列平衡方程：

（1）

（2）

联立解（1）与（2）方程得

例2-5

如图2-10所示,物重G=20kN,用钢丝绳经过滑轮B再缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接,并以铰链A、C与墙连接。设两杆和滑轮的自重不计,并略去摩擦和滑轮的尺寸,求平衡时杆AB和BC所受的力。解（1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用，且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计，这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d所示。

图2-10（2）由于两未知力FBA和FBC相互垂直，故选取坐标轴x,y如图2-10d所示。（3）列平衡方程并求解。

例2-6

在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。

解

（1）取铰链B和压块C为研究对象，分别画受力图，如图2-11b、c所示。（2）分别选取坐标轴如图。列平衡方程并求解：对铰链B有（因铰链B处有已知力FP作用）

对于压块C有

压块对工件的压力，就是的反作用力，也等于3.56kN。

图2-11思考题

2-1

试判断以下说法是否正确：（1）作用在物体上的各力作用线都汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。（）（2）用力多边形法则求合力时，各分力的顺序可以任意改变。（）（3）作用在同一刚体上的几个力构成的力多边形自行封闭，则此刚体一定处于平衡状态。（）（4）两个力的合力总是大于每一个分力。（）（5）两个力在同一轴上的投影相等则这两个力相等。（）（6）两个力在两相互垂直坐标轴上的投影分别相等，则此二力大小相等。（）（7）力F沿两个相互垂直的x、y轴方向的分力与力F在此两轴上的投影是相同的。（）（8）作用于刚体上的所有的力在某一轴上的投影的代数和为零，则刚体处于平衡状态。

（

）

2-2

用解析法求解平面汇交力系的平衡问题时，任选两个不垂直的坐标轴x、y，建立的方程、，能否满足条件？

2-3

某刚体受平面汇交力系作用，其力多边形如图思2-3所示，问这些图中哪一个图是平衡力系？哪一个图是有合力的？其合力又是哪一个力？

思2-3习题

2-1

已知四个力作用于O点。F1=500N，F2=300N，F3=600N，F4=1000N，方向如图所示。试用几何法求合力的大小与方向。

2-2

已知：F1=200N，F2=150N，F3=200N，F4=100N，各力的方向如图所示。试求各力在x、y轴上的投影。

题2-1

题2-2

2-3

铆接薄钢板在孔心A、B、C和D处受四个力作用，孔间尺寸如图所示。已知：F1=50N，F2=100N，F3=150N，F4=200N。求此汇交力系的合力。

2-4简易起重机由臂BC和钢索AB构成。臂的一端用铰链固定在柱的C点，另一端B用绳悬挂重物G=5kN。不计臂重，求钢索AB的拉力和臂所受的压力。（用平衡的几何条件求解）。

题2-3题2-4

2-5

用两绳吊挂重物如