人教版高中数学精讲精练必修一第三章 函数的概念与性质 章末重难点归纳总结（含答案及解析）

第三章函数的概念与性质章末重难点归纳总结考点一函数的三要素【例1-1】（2022秋·高一单元测试）（多选）下列函数中，定义域为的是（

）A． B．C．+ D．【例1-2】．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【例1-3】（2022秋·广东惠州）（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；已知，求的解析式．（3）若对任意实数x，均有，求的解析式．【一隅三反】1．（2023·黑龙江哈尔滨）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南株洲·）回答下面两题(1)已知，求；(2)已知函数是一次函数，若，求．（3）已知，求的解析式；（4）已知是一次函数，且满足，求的解析式．考点二函数的基本性质【例2-1】（2023·江苏）（多选）下列函数在区间上是减函数的是（）A． B．C． D．【例2-2】（2023·高一课时练习）己知函数是区间上的减函数，比较大小：______（填“”或“”）．【例2-3】．（2023·云南大理）若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是_______.【例2-4】．（2023·高一课时练习）函数是定义在上的函数，满足下列条件：①；②；③任意，有．(1)求的值；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)解不等式．【一隅三反】1．（2022春·北京海淀）若函数在上是减函数,则实数m的取值范围是()A． B．C． D．2．（2023春·山西·高一校联考阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（

）A． B．C． D．4．（2023·四川成都）已知，函数，若对，恒有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023春·浙江温州）是定义在上单调递增的奇函数，则________；若，则x的取值范围为________.6．（2023·海口）设定义在R上的函数，满足当时，，且对任意，有．(1)求；(2)求证：对任意，都有；(3)解不等式；(4)解方程．7．（2023·天津河北）已知函数为其定义域上的奇函数．(1)求a的值；(2)若，且在区间上的最小值为，求b的值；(3)若b＝12，求函数在区间上的最小值．考点三幂函数【例3-1】（2023春·湖南）（多选）若幂函数在上单调递减，则（

）A． B．C． D．【例3-2】．（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）（多选）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B．的值域是C．是偶函数 D．在上是减函数【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数2．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）（多选）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·河南·高一校联考期末）（多选）已知函数(是常数），，则以下结论错误的是（

）A． B．在区间上单调递增C．的定义域为 D．在区间上，4．（2022秋·山东青岛·高一青岛二中校考期末）（多选）已知幂函数的图象过点，则（

）A．B．C．函数在上为减函数D．函数在上为增函数

第三章函数的概念与性质章末重难点归纳总结考点一函数的三要素【例1-1】（2022秋·高一单元测试）（多选）下列函数中，定义域为的是（

）A． B．C．+ D．【答案】AC【解析】A选项，依题可知，且，所以，故A正确；B选项，依题可知，所以，故B错误；C选项，依题可知，且，所以，故C正确；D选项，依题可知2，所以，故D错误，故选：AC.【例1-2】．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函数的定义域为，即，可得，∴函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为.故选：B.【例1-3】（2022秋·广东惠州）（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；已知，求的解析式．（3）若对任意实数x，均有，求的解析式．【答案】（1）；（2）．（3）【解析】（1）令

，．因为，所以，则．由题意可知：即.得，所以．所以（2）法一：配凑法根据．可以得到．法二：换元法令，则．.（3）因为①，所以②，由①②得：，解得：.【一隅三反】1．（2023·黑龙江哈尔滨）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，，则，即的定义域为，取，解得，故函数的定义域为.故选：D2．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为，则，因此在中，，函数有意义，必有，解得，所以函数的定义域为.故选：C3．（2023·湖南株洲·）回答下面两题(1)已知，求；(2)已知函数是一次函数，若，求．（3）已知，求的解析式；（4）已知是一次函数，且满足，求的解析式．【答案】(1)(2)或（3）；（4）.．【解析】（1）方法一（配凑法）：∵，∴．方法二（换元法）：令，则，∴，即．（2）设，则．又，∴，，解得，或∴或．（3）令，则，，因为，所以，所以；（4）由题可设，则，，所以，所以，所以，所以.考点二函数的基本性质【例2-1】（2023·江苏）（多选）下列函数在区间上是减函数的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于选项A，为开口向下的二次函数且在区间上是减函数；对于选项B，在区间上是增函数；对于选项C，在上是增函数；对于选项D，在区间上是减函数．故选：AD.【例2-2】（2023·高一课时练习）己知函数是区间上的减函数，比较大小：______（填“”或“”）．【答案】【解析】由，又函数是区间上的减函数，所以．故答案为：．【例2-3】．（2023·云南大理）若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】∵偶函数在上为增函数，∴在上为减函数，则不等式，即，两边平方化简得，，解得或.故实数的取值范围为.故答案为：【例2-4】．（2023·高一课时练习）函数是定义在上的函数，满足下列条件：①；②；③任意，有．(1)求的值；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)解不等式．【答案】(1)(2)减函数，证明见解析(3)．【解析】（1）任意，有，当，有，当，有，，（2）结论：在区间上是减函数．证明：任取，设，则，任意，有，当，有，．，在区间上是减函数．（3），设，由（2）可知函数在区间上是减函数，又，可知：当时，；当时，．不等式的解集为．【一隅三反】1．（2022春·北京海淀）若函数在上是减函数,则实数m的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的对称轴是：，若函数在上是减函数，只需，即即可，故选：B．2．（2023春·山西·高一校联考阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，函数单调递增所以当时，是单调递增函数，所以，所以当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以，解之得：，综上所述：实数a的取值范围是故选：B3．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，对于A，，但无法判断的正负，故A不正确；对于B，，但无法判断的正负，故B不正确；对于C，，在上单调递减，所以，故C不正确；对于D，，在上单调递减，，故D正确.故选：D.4．（2023·四川成都）已知，函数，若对，恒有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，因为，则，由的图像可知或（舍），则等价于在恒成立，由题意在时，，因为，当且仅当时，取等号，所以；因为，所以得最大值为，的最小值为，所以可得，得.故选：D.

5．（2023春·浙江温州）是定义在上单调递增的奇函数，则________；若，则x的取值范围为________.【答案】【解析】依题意，，解得；因此函数是上单调递增的奇函数，由，得，于是，解得，所以x的取值范围为.故答案为：；6．（2023·海口）设定义在R上的函数，满足当时，，且对任意，有．(1)求；(2)求证：对任意，都有；(3)解不等式；(4)解方程．【答案】(1)1(2)证明见详解(3)(4)0【解析】1）因为，令，则，即，所以.（2）由题意可知：当时，；由（1）可知：当时，；当时，因为，令，则，且，所以，即；综上所述：对任意，都有.（3）对任意，且，令，则，则，因为，则，可得，且，可得，即，所以在上单调递增，又因为，可得，对于不等式，可得，解得，所以不等式的解集为.（4）由（3）可得，令，可得，令，可得，对于方程，即，则，解得或（舍去），又因为在上单调递增，且，则，所以方程的解为0.7．（2023·天津河北）已知函数为其定义域上的奇函数．(1)求a的值；(2)若，且在区间上的最小值为，求b的值；(3)若b＝12，求函数在区间上的最小值．【答案】(1)(2)或(3)12【解析】（1）函数的定义域为，，因为是奇函数，所以在定义域上恒成立，即，，所以；（2）由（1）可知，，若，则为对勾函数，则在上单调递减，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，此时，解得满足题意；当，即时，在上单调递增，此时，解得不满足题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，解得或，因为，所以满足题意；综上所述，或.（3）当时，，所以，因为，所以，所以，当且仅当即时取等号，即函数在区间上的最小值为12考点三幂函数【例3-1】（2023春·湖南）（多选）若幂函数在上单调递减，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，，解得，故，所以，.故选：CD.【例3-2】．（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）（多选）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B．的值域是C．是偶函数 D．在上是减函数【答案】AB【解析】设，∵的图象过点，∴，∴，∴，从而可得，的定义域为，值域是，既不是奇函数也不是偶函数，在上是增函数，故A、B正确；C、D错误.故选：AB.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数【答案】AC【解析】对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；故选：AC.2．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）（多选）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误；对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误；对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确；对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确，故选：CD.3．（2023秋·河南·高一校联考期末）（多选）已知函数(是常数），，则以下结论错误的是（

）A． B．在区间上单调递增C．的定义域