人教版高中数学精讲精练必修二8.6.1 空间直线、平面的垂直（含答案及解析）（人教版2019必修第二册）

8.6.1空间直线、平面的垂直考法一异面直线所成角【例1】（2024山东烟台）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024·陕西）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．2．（2023北京昌平·期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．3．（2024北京）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．考法二线线垂直【例2-1】（2023北京）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.【例2-2】（2023云南）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：.【一隅三反】1．（2023福建福州）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.2．（2024天津）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.3（22·23高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？(2)求证直线与BC垂直．(3)求直线与AC的夹角．考法三线面垂直的判定【例3-1】（2024广东湛江）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，，证明：BD平面

2（2024海南）如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点，证明：平面【一隅三反】1．（2023高一课时练习）如图，在正方体中，为的中点，.求证：（1）平面；（2）平面.2．（2024天津）如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.(1)求证：直线平面；(2)求证：直线平面；3（2024内蒙古）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.(1)证明：平面.(2)若，求三棱锥的体积.考法四面面垂直判定【例4】（2024河南）在四棱锥中，底面是正方形，平面．

(1)求证：平面⊥平面；(2)求证：平面⊥平面．【一隅三反】1（2024广西柳州）如图，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且．求证：平面平面．

2．（2023内蒙古）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：(1)平面；(2)平面平面.3（2024江苏南京）正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．(1)求三棱柱的全面积；(2)求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面．考法五线面垂直的性质定理【例5-1】（2023上海）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：.【例5-2】（2023安徽）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面【例5-3】（2023广东肇庆）如图，在正三棱柱中，D是棱的中点.(1)证明：；(2)证明：平面.【一隅三反】1．（2023北京）如图，已知正方体的棱长为2．，分别为与上的点，且，．求证：；2．（22·23高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE.3．（2024湖北）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：．考法六面面垂直的性质定理【例6-1】（2024·河南信阳）设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（

）A．，，且 B．，，且C．，，且 D．，，且，【例6-2】（2023北京）如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．(1)求证：平面；(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．【一隅三反】1．（2023山东济宁）已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（

）A．内有无数条直线与平行 B．内的任何直线都与平行C．且 D．且2．（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：.3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，．若为的中点，求证：．4．（2023河南）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．求证：．单选题1．（2024·湖北）正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．12．（2023北京海淀）已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·广东）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（

）

A． B．平面C． D．平面4．（22·23高一下·全国·课时练习）对于直线m、n和平面、，的一个条件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．（2023北京房山）如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（

）A．∥平面 B．C． D．平面平面6．（2024江西上饶）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则7．（22·23高一下·江苏镇江·期末）对于直线和不重合的平面，，下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则8．（2024陕西）已知在边长为6的菱形中，，点，分别是线段，上的点，且．将四边形沿翻折，当折起后得到的几何体的体积最大时，下列说法其中正确的是（

）

A．B．C．平面平面D．平面平面多选题9．（2024贵州贵阳）已知,表示平面，m，n表示直线，则（

）A．若，n，则mB．若，，则C．若，，则D．若，，则10．（2024云南玉溪）在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则（

）A．B．C．异面直线，EF所成角的正切值为D．异面直线，EF所成角的正切值为11．（2024黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面12（2023河北）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（

）．A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面填空题13．（2023广东）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于14．（2024·安徽）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有条15．（2023广东）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（2023湖南永州）如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为解答题17．（2023广东潮州）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：18．（2024河南南阳）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．19．（2023上海）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．20．（2024上海）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为AD的中点．(1)求证：；(2)在线段PC上是否存在点M，使得平面PEB？请说明理由21．（2024内蒙古）如图，在四面体中，(1)证明：(2)若，求四面体的体积22．（2024安徽合肥）如图，表面积为的长方体中，，点M是线段上靠近A的三等分点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.

8.6.1空间直线、平面的垂直考法一异面直线所成角【例1】（2024山东烟台）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，取的中点，连接,由题意知，,则异面直线与所成角为（或其补角），在中，,则,则异面直线与所成角的余弦值为，故选：C.【一隅三反】1．（2024·陕西）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：连接、，则，则异面直线与所成角的平面角为(或其补角)，又，，由余弦定理可得：.故选：A2．（2023北京昌平·期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，，在正方体中，易得，故直线与直线所成角的大小与直线与直线所成角大小相等，又，故为等边三角形，故，即直线与直线所成角的大小为.故选：C.3．（2024北京）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，所以，设，则，可得，分别取的中点，连接，则，所以或其补角为异面直线与所成角，过点作于，连接，则为中点，与底面垂直，且，在中，，，所以，所以，所以在中，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.考法二线线垂直【例2-1】（2023北京）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.【答案】证明见解析【解析】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.【例2-2】（2023云南）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：.【答案】证明见解析【解析】取BC中点为G，连接DG，AG．因分别为中点，则．则四边形是平行四边形，故．因为，则，所以.【一隅三反】1．（2023福建福州）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.【答案】证明见解析【解析】如图，取的中点F，连接EF，BF，∵E为AC的中点，F为的中点，∴，∴BE和EF所成角为，即为异面直线BE与所成角，且.在正三棱柱中，，.在等边三角形ABC中，，在Rt△BCF中，.在△BEF中，，∴，∴.2．（2024天津）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.【答案】证明见解析【解析】如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.所以CD1⊥EF.3（22·23高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？(2)求证直线与BC垂直．(3)求直线与AC的夹角．【答案】(1)，，，DA，DC，；(2)证明见解析；(3).【解析】（1）正方体共有12条棱，与相交的棱有6条，与平行的棱不存在，因此余下的6条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是，，，DA，DC，．（2）在正方体中，由，得与AD的夹角就是与BC的夹角，因为，则与BC的夹角为，所以．（3）连接，因为，于是四边形是平行四边形，即，从而与AC的夹角就是与的夹角，连接，而，与都是正方体的面对角线，则有，即是正三角形，所以与的夹角为，即与AC的夹角为．考法三线面垂直的判定【例3-1】（2024广东湛江）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，，证明：BD平面

【答案】证明见解析【解析】取中点，连，因为，，，，所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，则得，，故，

因为，，平面，所以平面2（2024海南）如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，，，则，所以，，又因为平面，平面，所以，，因为，、平面，因此，平面.【一隅三反】1．（2023高一课时练习）如图，在正方体中，为的中点，.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为四边形为正方形，则，平面，平面，，，所以，平面；（2）连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为为的中点，为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，而面，面，所以面.2．（2024天津）如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.(1)求证：直线平面；(2)求证：直线平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：∵正六边形，∴，，∴，∴，∵平面，平面，∴直线平面.（2）在中，，易得，在中，，，∴,∴，因为平面，平面，故，∵,平面，故直线平面.3（2024内蒙古）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.(1)证明：平面.(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）记.因为四边形是菱形，所以.因为平面平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为平面平面，且，所以平面.（2）因为，所以点到平面的距离是3.因为四边形是边长为4的菱形，且，所以，则四棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，故三棱锥的体积.考法四面面垂直判定【例4】（2024河南）在四棱锥中，底面是正方形，平面．

(1)求证：平面⊥平面；(2)求证：平面⊥平面．【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【解析】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是正方形，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）因为平面，平面，所以，又因为底面是正方形，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.【一隅三反】1（2024广西柳州）如图，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且．求证：平面平面．

【答案】证明见解析【解析】∵平面，，∴平面．又平面，∴．∵四边形为正方形，∴．又，平面，∴平面．在中，分别为的中点，∴，∴平面．又平面，∴平面平面．2．（2023内蒙古）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接，交于点，连接，因为底面为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，故平面；（2）平面，平面，∴，∵底面为矩形，.又，平面，平面.又平面，平面平面.3（2024江苏南京）正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．(1)求三棱柱的全面积；(2)求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，所以底面是正三角形，侧面均为正方形，故三棱柱的全面积为；（2）在正三棱柱中，因为分别是的中点，可知，又∥，所以四边形是平行四边形，故∥，又平面，平面，所以∥平面．（3）连，设与相交于，则由侧面为正方形，可知与互相平分．在中，，在中，，故，连，则．又，，连，则，又与相交于，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．考法五线面垂直的性质定理【例5-1】（2023上海）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：.【答案】证明见解析【解析】如图：∵，，∴.同理.∵，，平面，∴平面.又∵，，∴.∵，，，平面，∴平面.∴.【例5-2】（2023安徽）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面【答案】证明见解析【解析】证明：连接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面【例5-3】（2023广东肇庆）如图，在正三棱柱中，D是棱的中点.(1)证明：；(2)证明：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）由题意知，平面，为正三角形.由平面，得，因为D为AC的中点，所以，又平面，所以平面，而平面，所以；（2）如图，取的中点F，连接，则且，且，所以四边形、为平行四边形，得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面.【一隅三反】1．（2023北京）如图，已知正方体的棱长为2．，分别为与上的点，且，．求证：；【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接，．∵平面，平面，∴．∵四边形是正方形，∴，又∵，平面，∴平面．又∵平面，∴．同理可得，又∵，平面，∴平面．∵，，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴．又∵，，平面，∴平面．∴．2．（22·23高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE.【答案】证明见详解【解析】因为平面ACD，平面ACD，则∥，取的中点，连接，因为分别为的中点，则∥，且，由题意可得：∥，且，则∥，且，则为平行四边形，可得∥，且平面BCE，平面BCE，所以∥平面BCE.

3．（2024湖北）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：连接，交于点，连接，为平行四边形对角线的交点，为的中点．在中，分别为的中点，，平面平面平面.（2）证明：是直三棱柱，平面，平面．是的中点，．平面平面，平面．在中，，在中，，，．平面平面，平面．考法六面面垂直的性质定理【例6-1】（2024·河南信阳）设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（

）A．，，且 B．，，且C．，，且 D．，，且，【答案】A【解析】对于A，由，，得，而，所以；对于B，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：当，，，都与平行时，，相交，B错误；对于C，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：当，都与平行时，，相交，C错误；对于D，若，，且，，此时，可能相交，如下图所示：当，都与平行时，，相交，D错误.故选：A【例6-2】（2023北京）如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．(1)求证：平面；(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；理由见解析【解析】（1）∵四边形是平行四边形，且，∴四边形是菱形，且，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．与相交，平面，平面．（2）当F为的中点时，平面．理由如下：取F为的中点，G为的中点，连接，则，且．∵底面为菱形，且E为的中点，，且．，且．∴四边形是平行四边形，．平面平面平面．【一隅三反】1．（2023山东济宁）已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（

）A．内有无数条直线与平行 B．内的任何直线都与平行C．且 D．且【答案】D【解析】对于A选项，若内有无数条直线与平行且这无数条直线是平行直线，则、平行或相交，即“内有无数条直线与平行”“”，A不满足；对于B选项，由面面平行的定义可知，“内的任何直线都与平行”“”，B不满足；对于C选项，若且，则、平行或相交，则“且”“”，C不满足；对于D选项，由线面垂直的性质可知，若且，则，反之，若，则“且”不一定成立，故“且”是“”的充分不必要条件，D满足.故选：D.2．（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接交于点，则为的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，且平面，所以平面.（2）连接，因为，所以四边形为菱形，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以.

3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，．若为的中点，求证：．【答案】证明见解析【解析】∵侧面是菱形，∴，∵为的中点，∴，∵侧面底面，侧面底面，，底面，∴侧面，∵侧面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴．4．（2023河南）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．求证：．【答案】证明见解析【解析】在长方形中，，，为的中点，则，即有，于是，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．单选题1．（2024·湖北）正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】连接，根据正方体的性质可知，所以或其补角为直线DP与所成的角，因为平面，⊂平面，所以又，，⊂平面，所以平面又平面，所以设正方体的棱长为2，则在中，所以故直线与所成的角的正切值为.故选:C.2．（2023北京海淀）已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①已知侧面底面，且侧面底面，又平面，若，则由面面垂直的性质定理可得平面，平面，则，所以则“”是“”的必要条件；②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，则底面，平面，则满足条件侧面底面.又平面，则，但与不垂直.所以“”不是“”的充分条件.综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．（2023·广东）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（

）

A． B．平面C． D．平面【答案】C【解析】因为平面平面，平面平面，所以平面，即B项正确；因为平面，所以，即A正确；因为为线段的中点，所以，同理可得平面，即D正确；因为平面，平面，所以，平面，若，则平面，显然不重合，故C错误.故选：C4．（22·23高一下·全国·课时练习）对于直线m、n和平面、，的一个条件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】A选项中，根据，，，有可能出现的情况，所以A错误；B选项中，，，，不一定得到，如下图，所以B错误；

C选项中，过作面与面交于，如下图，

∵，，，∴，∵，，∴，∴，又，从而得到，所以C正确；D选项中，根据，，所以，而，所以得到，所以D错误.故选：C.5．（2023北京房山）如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（

）A．∥平面 B．C． D．平面平面【答案】C【解析】对于选项A：在矩形中，∥，平面，平面，∥平面，故选项A正确；对于选项B：平面，平面，，在矩形中，，，平面，所以平面，而平面，，故选项B正确；对于选项C：因为平面，而平面，所以，所以，而，，在一般矩形中，与不垂直，所以，即，与不垂直，故选项C不正确；对于选项D：平面，平面，所以平面平面，故选项D正确．综述：只有选项C不正确．故选：C.6．（2024江西上饶）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则【答案】D【解析】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线，显然满足，而，此时不成立，A错误；对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，B错误；对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，C错误；对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.故选：D7．（22·23高一下·江苏镇江·期末）对于直线和不重合的平面，，下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】B【解析】对于A，若，，则可能相交，如图，故A错误；对于B，若，，由线面垂直的性质可知，故B正确；对于C，若，，则可能平行，如图，故C错误；对于D，若，，，则可能，如图，故D错误.故选：B.8．（2024陕西）已知在边长为6的菱形中，，点，分别是线段，上的点，且．将四边形沿翻折，当折起后得到的几何体的体积最大时，下列说法其中正确的是（

）

A．B．C．平面平面D．平面平面【答案】C【解析】在几何体中，平面，平面，平面，平面，则平面，平面，而平面，因此平面平面，显然，即四边形都是平行四边形，且≌，因此几何体是三棱柱，在菱形中，作于，交于，则，，

在几何体中，平面，则平面，显然，几何体的体积，当且仅当时取等号，因此几何体的体积最大时，，而平面，于是平面，又平面，从而平面平面，C正确；

由平面，则，又，则，而是中点，即不垂直于，而，因此不垂直于，不垂直于，A错误；显然，则与成角，因此不垂直，B正确；假定平面平面，由平面平面，得平面平面，在平面内过作于，而平面平面，则平面，又平面，则，由平面，平面，得，而平面，于是平面，又平面，因此与矛盾，即假定是错的，D错误.故选：C多选题9．（2024贵州贵阳）已知,表示平面，m，n表示直线，则（

）A．若，n，则mB．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】CD【解析】A选项，若，n，则可能平行，相交或异面，故A错误；B选项，若，，则,可能相交或平行，故B错误；C选项，若，，由线面垂直性质可知，故C正确；D选项，若，，则,互相平行，故D正确.故选：CD10．（2024云南玉溪）在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则（

）A．B．C．异面直线，EF所成角的正切值为D．异面直线，EF所成角的正切值为【答案】ABC【解析】如图所示，F是线段的中点，连接交于F，F是线段的中点，故，故A正确；又，故，故B正确；由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，故是异面直线EF与所成角，故，故C正确：由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线BC，EF所成角，故是异面直线EF与所成角，故，故D错误，故选：ABC．11．（2024黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面【答案】ABC【解析】平面，平面，又，平面且平面，故A正确由平面，平面得又，是的中点，又平面，平面，平面，故B,C正确由平面，平面得因为与不平行因此与不垂直从而不与平面垂直，故D错误故选：ABC.12（2023河北）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（

）．A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】ABD【解析】因为，且是的中点，所以，同理，，由于，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面，所以平面平面，故正确；由于平面平面，若平面平面，而平面平面，则平面,但已知条件不能保证平面,所以平面与平面不一定垂直，故错误；同理平面与平面不一定垂直，故错误；由于，所以当时平面，当长度趋于0时，二面角接近，故平面与平面不一定垂直，故错误；故选：.填空题13．（2023广东）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于【答案】45°【解析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角．又，．又，，，为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．14．（2024·安徽）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有条【答案】8【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．15．（2023广东）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是【答案】2【解析】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体,则BF与DN是异面直线，故①错误；CM与BN平行，故②错误；由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确；AE与DN是异面直线，故④正确；故