人教版高中数学精讲精练必修二8.5 空间直线、平面的平行（含答案及解析）（人教版2019必修第二册）

8.5空间直线、平面的平行考法一证线线平行【例1-1】（2024·湖南）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例1-2】（2024河北）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【例1-3】（2023山西）已知E､E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD､A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1.【一隅三反】1．（2023甘肃）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（）A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行2．（2023河南）下列结论中正确的是（

）①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③3．（2024山东）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是.4．（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．5．（2024北京）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.考法二线面平行的判定定理【例2-1】（2023下·河南洛阳）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.【例2-2】（2024上·内蒙古）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．【例2-3】（2024上·重庆）如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)证明：平面．【一隅三反】1．（2024·全国·专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面；2．（2024上·北京平谷）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.3．（2023上·四川南充）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积大小．4．（2024·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；考法三面面平行的判定定理【例3】（2024湖南）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.【一隅三反】1．（2023·广西）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；2．（2023·广西）正方体中，，和的中点分别为，在，和上各有一点，依次为，且，都等于棱长的，求证：平面平面．3（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.考法四线面平行的性质定理【例4-1】（2023下·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.【例4-2】（2024江苏）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．【一隅三反】1．（2023下·辽宁锦州）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（

）A． B． C． D．2．（2023上·四川成都）如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．3（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.4．（2023·黑龙江）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．求证：.考法五面面平行的性质定理【例5-1】（2024上·北京）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（

）A． B． C． D．【例5-2】（2023上·江苏连云港）如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.【例5-3】（2024·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．求证：∥平面.【一隅三反】1．（2023上·广西南宁）（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（

）A． B．平面C． D．平面平面2．（2024·安徽）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：.3．（2024·福建）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.4．（2024·江西）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

考法六平行性质求线段长度【例6-1】（2024吉林）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（

）A． B． C． D．【例6-2】（2023上·河南信阳）在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为.

【一隅三反】1．（2023福建）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则.2．（2024上·上海）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为．3．（2023上·湖南）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为.单选题1．（2024河北）下列说法正确的是（

）A．如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线也在平面α内B．如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线互相平行C．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线互相垂直D．如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行2．（2024·浙江）已知直线和平面，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023上·天津和平）设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是（

）A．内有两条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行5．（2024·宁夏）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（

）A． B．与相交C． D．以上三种情况都有可能6．（2023河南）给出下列4个命题，其中正确的命题是（

）①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行.A．①② B．③④ C．②③ D．①④7．（2023上·江苏南通）已知两个不同的平面，两条不同的直线，，，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2024·全国·专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（

）A．与是异面直线，且平面B．与是相交直线，且平面C．与是异面直线，且平面D．与是相交直线，且平面多选题9．（2023下·浙江）下列命题是真命题的是（

）A．平行于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两个平面平行10．（2023广东）已知三棱柱中，分别是的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面11．（2024上海）已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（

）.A．，，则B．，，，，则C．，，，则D．，，，，，则12．（2023·浙江金华）在正方体中，与交于点，则（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面填空题13．（2024上·安徽）已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为．14．（2024·陕西咸阳）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

15．（2024北京）如图，是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，O为的中点，则与的位置关系为；线段的长度为.

16（2023下·江苏淮安）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为.

解答题17．（2023上·内蒙古呼伦贝尔）如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．18（2023上·河北承德）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别是的中点．

(1)证明：平面；(2)若平面经过点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值．19．（2023上·四川内江）如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.20．（2023上·四川南充）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．21（2023下·河北承德·高一校联考阶段练习）如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.

(1)求证：四点共面；(2)若平面∥平面，求证：为的中点.22（2024·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，，，，，点在线段上，且，为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积．

8.5空间直线、平面的平行考法一证线线平行【例1-1】（2024·湖南）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，又，则，故充分性成立，反之，若，又，则，故必要性成立.故“”是“”的充要条件.故选：C.【例1-2】（2024河北）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【答案】B【解析】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD,BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.【例1-3】（2023山西）已知E､E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD､A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接EE1，∵E1､E分别为A1D1､AD的中点，∴A1E1AE，且A1E1=AE∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1AE1E.，且A1A=E1E.又∵A1AB1B，且A1A=B1B∴E1EB1B，且E1E=B1B∴四边形E1EBB1为平行四边形，∴E1B1EB.同理E1C1EC.又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1=∠CEB.【一隅三反】1．（2023甘肃）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（）A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行【答案】A【解析】假设，则由，知，这与直线与直线不平行矛盾，所以直线与直线不平行.故选：A.2．（2023河南）下列结论中正确的是（

）①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【解析】①错误，两条直线可以异面；②正确，平行的传递性；③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；④正确，平行的传递性.故选：B.3．（2024山东）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是.【答案】平行【解析】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.故答案为：平行4．（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．【答案】证明见详解【解析】∵E、H分别是AB、AD的中点，则，又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，∴，故直线EH与直线FG平行．5．（2024北京）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：因为，分别是，的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以.同理可证，又与方向相同，所以.考法二线面平行的判定定理【例2-1】（2023下·河南洛阳）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）连接，交于点O，连接，∵四边形是平行四边形，∴是的中点，又∵E为的中点，∴是三角形的中位线，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四边形中，，，，∴，则，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因为是的中点，所以，且，所以，，设点到平面的距离为，由得：，解得.【例2-2】（2024上·内蒙古）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）连接交于点，连接．在底面中，因为，，由，可得，因为，即，所以在中，，故，因为平面，平面，所以平面；（2）取的中点，连接，由，，得为等边三角形，所以．在等边三角形中，，所以．因为．【例2-3】（2024上·重庆）如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)证明：平面．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）直三棱柱中，，作，且，连接，作，且，连接，，则得到长方体，底面为边长为2的正方形，对角线长．连接相交于，连接,由于分别是，的中点，所以则为异面直线与所成角或其补角，，，,则，,中，；故异面直线与所成角的余弦值（2）在正方形中，为的中点，也为的中点，又为的中点，则，在长方体中，,所以四边形为平行四边形，故，，平面，平面，平面．【一隅三反】1．（2024·全国·专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面；【答案】证明见解析【解析】分别为的中点，．又，所以，又平面，平面，所以平面.2．（2024上·北京平谷）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)答案见详解(2)【解析】（1）如图：连接，交于，连接，因为四边形是平行四边形，所以为中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，平面，所以.所以底面为矩形.因为为中点，所以、到平面的距离相等，设为.由，而，，中，，，，所以是直角三角形，且，所以，即为所求.3．（2023上·四川南充）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积大小．【答案】(1)证明见解析；(2)1.【解析】（1）在正方体中，连接，取的中点，连接，有M为的中点，则，又E为BC的中点，于是，则四边形是平行四边形，，又F为CD的中点，则有，即四边形是平行四边形，，因此，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，而正方体的棱长为1，平面，则点到平面的距离为到平面的距离1，所以三棱锥的体积.4．（2024·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；【答案】证明见解析【解析】连接交于，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；考法三面面平行的判定定理【例3】（2024湖南）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：∵M，N分别为，的中点，∴，又平面，平面，∴平面.在中，，，∴.又，∴.∵平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.（2）∵，，，∴，∴三棱锥的体积.【一隅三反】1．（2023·广西）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；【答案】证明见解析【解析】因D，E，F分别是棱，，的中点．且图形为直三棱柱，则，得四边形为平行四边形，．又平面，平面，则平面．又平面ABD，，故平面平面2．（2023·广西）正方体中，，和的中点分别为，在，和上各有一点，依次为，且，都等于棱长的，求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】如图，因为正方体中且都等于棱长的，即，，所以，，又因为，和的中点分别为，即，，所以，，所以，，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面平面.3（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：分别是、的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，.，即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.（2）（2）M、N分别是、的中点，.又平面，平面，平面.连接，如图所示，则，.四边形是平行四边形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.考法四线面平行的性质定理【例4-1】（2023下·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.【答案】证明见解析【解析】∵四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.而平面平面，平面，∴，∴.【例4-2】（2024江苏）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，

因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.故选：C.【一隅三反】1．（2023下·辽宁锦州）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点，而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于是得，所以.故选：C.

2．（2023上·四川成都）如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【解析】如图所示，

取MD中点O，连接OP，OQ，∵为MD中点，为中点，∴.又∵平面，平面，∴平面.又平面，，平面，平面，∴平面平面.又平面，平面，平面平面，平面平面，∴，∴在中，.故选：C.3（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.【答案】证明见解析【解析】因为平面，平面，且平面平面，所以，同理可证，因此.4．（2023·黑龙江）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：∵平面平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.考法五面面平行的性质定理【例5-1】（2024上·北京）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，.对于A，，，故A正确；对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误；对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误；对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误；故选：A.

【例5-2】（2023上·江苏连云港）如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：∵，而平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.（2）∵，，H为中点，∴.而，∴，∵平面平面.平面平面，平面，∴平面.过E分别作交于点I，交于点J，连接.∴.【例5-3】（2024·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．求证：∥平面.【答案】证明见解析【解析】由题意可得∥，且平面，平面，可得∥平面；因为∥且，可知四边形为平行四边形，则∥，且平面，平面，可得∥平面；且，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面．【一隅三反】1．（2023上·广西南宁）（多选）如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（

）A． B．平面C． D．平面平面【答案】ABC【解析】由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面，由面面平行的性质可知；又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确；由，平面，平面，所以平面，即B正确；又经过的重心，所以，且，，所以，可知C正确；因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误；故选：ABC2．（2024·安徽）如图，三棱台中，，是的中点，点在线段上，，平面平面．证明：.【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点，连接，，因为是的中点，所以，，因为三棱台中，，，，所以，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以．3．（2024·福建）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.【答案】证明见解析【解析】因为点，分别为棱、的中点，则，在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，，则，因为平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，，故．4．（2024·江西）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示：

取的中点，连接、、，因为且，故四边形为平行四边形，所以且，因为为的中点，所以且，因为、分别为、的中点，所以且，所以且，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，、平面，所以平面平面，因为平面，故平面．考法六平行性质求线段长度【例6-1】（2024吉林）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在棱长为的正方体中，取中点G，连接，如图，因为为的中点，则，即有四边形为平行四边形，有，则四边形为平行四边形，有，又为的中点，则，四边形为平行四边形，则有，因此直线到直线的距离等于点F到直线的距离，因为，则四边形为平行四边形，有，在中，，边上的高，由三角形面积得：，，所以直线到直线的距离为.故选：D【例6-2】（2023上·河南信阳）在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为.【答案】【解析】由于故四边形为平行四边形，故平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面，因此平面，故点到平面的距离即为平面与平面之间的距离，设到平面的距离为，为边长为的等边三角形，故,所以，故，故答案为：

【一隅三反】1．（2023福建）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则.【答案】【解析】根据题意，因为平面，平面，且平面平面所以.又是的中点，所以是的中点.因为在中，，故.故答案为：2．（2024上·上海）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为．【答案】【解析】过点分别作交于点，交于点，连接，要想平面，则四边形为平行四边形，故，设，则，故，由勾股定理得，其中，当且仅当时，等号成立，故.故答案为：3．（2023上·湖南）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为.【答案】【解析】如图，在线段上取一点，使得，在线段上取一点，使得，连接，因为，所以，又，所以，因为平面平面，所以平面，同理，因为平面平面，所以平面，又，所以平面平面，因此，在线段上.因为，所以线段的最大值为.故答案为：单选题1．（2024河北）下列说法正确的是（

）A．如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线也在平面α内B．如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线互相平行C．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线互相垂直D．如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行【答案】D【解析】如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线与平面α相交或在平面α内，A不正确；如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线的位置关系不确定，B不正确；如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线可能相交、平行或异面，C不正确；由平行公理可知，如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行，D正确.故选：D.2．（2024·浙江）已知直线和平面，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，则存在使得且，若且，则，又且，所以，充分性成立；设，，则有，但不平行，即必要性不成立.故选：A.3．（2023上·天津和平）设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】对于A，因为是三条不同的直线，，所以，故A正确；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若，则或或或直线与平面相交，故C错误；对于D，若，则与平行或相交，故D错误.故选：A.4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是（

）A．内有两条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行【答案】D【解析】

如图所示正方体中，设平面为，平面为，显然平面中有无数条直线与平面平行，但，故A、B错误；又，但，故C错误；由面面平行的判定定理和性质定理可知D正确.故选：D5．（2024·宁夏）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（

）A． B．与相交C． D．以上三种情况都有可能【答案】D【解析】在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点，如图，显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；因，平面，平面，则，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交，所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内.故选：D.6．（2023河南）给出下列4个命题，其中正确的命题是（

）①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行.A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，故①正确；对于②，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故②错误；对于③，平行于同一直线的两个平面相交或平行，故③错误；对于④，平行于同一平面的两个平面平行，故④正确．故选:D．7．（2023上·江苏南通）已知两个不同的平面，两条不同的直线，，，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，当，时，若，则有可能相交，故充分性不成立；当时，由于，，所以，，故必要性成立；所以“，”是“”的必要不充分条件.故选：B.8．（2024·全国·专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（

）A．与是异面直线，且平面B．与是相交直线，且平面C．与是异面直线，且平面D．与是相交直线，且平面【答案】B【解析】根据题意，画出几何体，如图所示，因为分别是的中点，可得且，又因为且，所以且，所以四边形为梯形，所以与为相交直线，因为为的中点，可得且，所以四边形为平行四边形，可得，又因为平面，平面，所以平面.故选：B.多选题9．（2023下·浙江）下列命题是真命题的是（

）A．平行于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两个平面平行【答案】AD【解析】对于A：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，故A为真命题；对于B：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，故B为假命题；对于C：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，故C为假命题；对于D：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，故D为真命题；故选：AD.10．（2023广东）已知三棱柱中，分别是的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】AB【解析】选项A：如图1，连接，交于点，连接，则点是的中点，又是的中点，则，平面,平面所以平面，所以A正确.选项B：如图2，取的中点，连接，因为是的中点，所以，且，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故B正确.选项C：如图3，取的中点，连接，因为是的中点，所以，且，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，显然与平面相交，故C错误.选项D：如图4，连接，交于点，连接，则平面平面，若平面，平面，则，由于是的中点，所以点是的中点，而显然点不是的中点，矛盾，故D错误.故选：AB11．（2024上海）已知直线l，m，平面，，则下列说法错误的是（

）.A．，，则B．，，，，则C．，，，则D．，，，，，则【答案】ABC【解析】选项A中，m可能在内，也可能与平行，故A错误；选项B中，与也可能相交，故B错误；选项C中，与也可能相交，故C错误；选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确.故选：ABC.12．（2023·浙江金华）在正方体中，与交于点，则（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABC【解析】对于A，因为且，所以四边形时平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，连接交于点，连接，由正方体的分别为的中点，因为因为且，所以四边形时平行四边形，所以，则且，所以四边形时平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正确；对于D，平面即为平面，而平面与平面相交，所以平面与平面相交，故D错误.故选：ABC.

填空题13．（2024上·安徽）已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为．【答案】/【解析】如图，连结交于点，连结.因为，E为AD的中点，则，又因为PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，则PA∥OF，所以.故答案为：.14．（2024·陕西咸阳）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

【答案】/【解析】如图，连结交于点，连结.

因为，所以，因为平面，平面平面平面，所以，所以.故答案为：15．（2024北京）如图，是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，O为的中点，则与的位置关系为；线段的长度为.

【答案】/【解析】连接，交与，连接，则为的中点，

因为平面，平面，平面平面，所以，故为的中点，所以，在中.故答