第二章 简谐运动【速记清单】（解析版）

学而优教有方第二章机械振动重点掌握知识清单01简谐运动的规律1、简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。(3)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力。②方向：总是指向平衡位置。③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。2、简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆示意图简谐运动条件①弹簧质量要忽略②无摩擦等阻力③在弹簧弹性限度内①摆线为不可伸缩的轻细线②无空气阻力等③最大摆角小于等于5°回复力弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力平衡位置弹簧处于原长处最低点周期与振幅无关T＝2πeq\r(\f(L,g))能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒重点掌握知识清单02简谐运动的表达式及图象1、表达式(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相。2、图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图甲所示。(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图乙所示。重点掌握知识清单03单摆及其周期公式1、单摆的受力特征(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。(2)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。(3)两点说明①当摆球在最高点时，F向＝eq\f(mv2,l)＝0，FT＝mgcosθ。②当摆球在最低点时，F向＝eq\f(mv\o\al(

2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq\f(v\o\al(

2,max),l)。2、周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的两点说明(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。(2)g为当地重力加速度。重点掌握知识清单04受迫振动和共振1、简谐运动、受迫振动和共振的比较振动项目简谐运动受迫振动共振受力情况受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动系统的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等2、对共振的理解(1)共振曲线：如图，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。陷阱一：振动路程的计算分析模糊不清(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。③振动物体在eq\f(T,4)内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，eq\f(T,4)内通过的路程才等于振幅。(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。【例题1】如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20cm，从A到B运动时间是2s，则()A.从O→B→O振子做了一次全振动B.振动周期为2s，振幅是10cmC.从B开始经过6s，振子通过的路程是60cmD.从O开始经过3s，振子处在平衡位置【答案】C【解析】振子从O→B→O只完成半个全振动，选项A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2s，所以振动周期是4s，选项B错误；t＝6s＝1eq\f(1,2)T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60cm，选项C正确；从O开始经过3s，振子处在最大位移A或B处，选项D错误。【强化1】(2018·天津高考)(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1m，t＝1s时位移为0.1m，则()A．若振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(2,3)sB．若振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(4,5)sC．若振幅为0.2m，振子的周期可能为4sD．若振幅为0.2m，振子的周期可能为6s【答案】AD【解析】若振幅为0.1m，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))T＝1s，其中n＝0，1，2，…。当n＝0时，T＝2s；n＝1时，T＝eq\f(2,3)s；n＝2时，T＝eq\f(2,5)s。故A正确，B错误。若振幅为0.2m，振动分4种情况讨论：第①种情况，设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)，t＝0时，－eq\f(A,2)＝Asinφ，解得φ＝－eq\f(π,6)，所以由P点到O点用时至少为eq\f(T,12)，由简谐运动的对称性可知，由P点到Q点用时至少为eq\f(T,6)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,6)))T＝1s，其中n＝0，1，2，…，当n＝0时，T＝6s，n＝1时，T＝eq\f(6,7)s；第②③种情况，由P点到Q点用时至少为eq\f(T,2)，周期最大为2s；第④种情况，周期一定小于2s。故C错误，D正确。【强化2】(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3s，又经过0.2s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是()A.eq\f(1,3)sB.eq\f(8,15)sC．1.4sD．1.6s【答案】AC【解析】假设弹簧振子在B、C之间振动，如图甲，若振子开始先向左振动，振子的振动周期为T＝eq\f(0.3＋0.1,3)×4s＝eq\f(1.6,3)s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝eq\f(1.6,3)s－0.2s＝eq\f(1,3)s．如图乙，若振子开始先向右振动，振子的振动周期为T＝4×(0.3＋eq\f(0.2,2))s＝1.6s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6s－0.2s＝1.4s，A、C正确．陷阱二：不能用简谐运动的表达式解决振动问题应用简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)解决简谐运动问题，首先要明确表达式中物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝eq\f(2π,T)＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要画出其振动图像来解决有关问题。对于同一质点的振动，不同形式的简谐运动位移表达式初相位并不相同。【例题2】(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,2)))m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,6)))m。比较A、B的运动，有()A.振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB.周期是标量，A、B周期相等，为100sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fBD.A的相位始终超前B的相位eq\f(π,3)【答案】CD【解析】振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别为3m、5m，选项A错误；A、B振动的周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,100)s＝6.28×10－2s，选项B错误；因TA＝TB，故fA＝fB，选项C正确；Δφ＝(φA－φB)＝eq\f(π,3)为定值，选项D正确。【强化3】某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间变化的关系式为，如图所示，则（）A．弹簧在第1s末与第5s末的长度相同B．简谐运动的频率为HzC．第3s末，弹簧振子的位移大小为AD．第3s末至第5s末，弹簧振子的速度方向不变【答案】BCD【解析】A．弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x的正、负表示弹簧被拉伸或压缩，所以弹簧在第1s末与第5s末时虽然位移大小相同，但方向不同，弹簧长度不同，故A错误；B．由图像可知，周期为8s，故频率为Hz，故B正确；C．由于周期为8s，则,将t=3s代入，可得弹簧振子的位移大小为A，故C正确；D．第3s末至第5s末，弹簧振子向同一方向运动，速度方向不变，故D正确。故选BCD。【强化4】(多选)(2015·山东)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10m/s2。以下判断正确的是()A.h＝1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s内物块运动的路程是0.2mD.t＝0.4s时，物块与小球运动方向相反【答案】AB【解析】t＝0.6s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1m，则对小球有h＋|y|＝eq\f(1,2)gt2，解得h＝1.7m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，选项B正确；0.6s内物块运动的路程是3A＝0.3m，选项C错误；t＝0.4s＝eq\f(T,2)时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误.陷阱三：对简谐运动的图像理解不清对简谐运动图像(x－t图像)的认识(1)形状：正(余)弦曲线(2)物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。(3)获取信息①任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。②任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动。③任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图乙中b，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小，c从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。2.特别提醒振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹。比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线。【例题3】(多选)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是()A．t＝0.8s时，振子的速度方向向左B．t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处C．t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度完全相同D．t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐增大E．t＝0.8s到t＝1.2s的时间内，振子的加速度逐渐增大【答案】ADE【解析】由题图知，t＝0.8s时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向左，A正确；由题图乙可知，弹簧振子的振动方程为x＝Asinωt＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)πt))cm，当t＝0.2s时，x＝6eq\r(2)cm，即振子在O点右侧6eq\r(2)cm处，B错误；t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度大小相等，方向相反，C错误；t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，D正确；t＝0.8s到t＝1.2s的时间内，振子远离平衡位置运动，加速度增大，E正确。【例题4】(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知()A．甲速度为零时，乙加速度最大B．甲加速度为零时，乙速度最小C．1.25～1.5s时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力大小减小D．甲、乙的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2E．甲、乙的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1【答案】CDE【解析】由题图可知，甲运动到最大位移处(速度为零)时，乙刚好运动到平衡位置，加速度为零，速度最大，A错误；甲运动到平衡位置(加速度为零)时，乙也运动到平衡位置，速度最大，B错误；由|F|＝k|x|可知，C正确；甲做简谐运动的周期T甲＝2.0s，乙做简谐运动的周期T乙＝1.0s，甲、乙的振动周期之比T甲∶T乙＝2∶1，根据周期与频率成反比，可知甲、乙的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D正确；甲的振幅A甲＝10cm，乙的振幅A乙＝5cm，甲、乙的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1，E正确。【强化5】如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为x的正方向，由图可知下列说法中正确的是（）A．此振动的振幅为10cm，振动周期为0.8sB．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度减小的减速运动C．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，振子的动能都为零D．在t＝0.6s时，弹簧振子的弹性势能最小【答案】C【解析】A．此振动的振幅为5cm，振动周期为0.8s，选项A错误；B．从t=0到t=0.2s时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增加，速度减小，所以弹簧振子做加速度增大的减速运动。故B错误；C．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，振子的速度为零，则动能都为零，选项C正确；D．在t=0.6s时，弹簧振子的位移最大，速度最小，由机械能守恒知，弹簧振子有最大的弹性势能，故D错误。故选C。【强化6】（多选）如图所示为某一质点的振动图像，，由图可知，在和两个时刻，质点振动的速度、与加速度、的关系为（

）A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相反 D．，方向相反【答案】AD【解析】AB．振动图像的斜率为振动质点的速度、斜率正负表示方向；依题意可知，此时两时刻斜率均为负，即振动质点运动方向相同；又，即t1时刻振子距平衡位置较远，则，故A正确，B错误；CD．依题意，因，t1时刻振子受到的回复力较大，根据牛顿第二定律，则有；从题图可知，由于两时刻位移方向相反，其回复力方向相反，则其加速度方向相反，故C错误，D正确。故选AD。陷阱四：对单摆的摆长与重力加速度认识不够1.摆长l①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度：一般即l＝l′＋eq\f(D,2)，l′为摆线长，D为摆球直径。②等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长。其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。2.重力加速度g若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝eq\f(GM,R2)，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值。【例题5】(多选)图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图象如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法正确的是()A．t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T<4sB．t＝1s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＝4sC．t＝1s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＞4sD．t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A＝10cmE．t＝1s时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A＝10cm【答案】BDE【解析】因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用且摆长不变，则摆球仍在原范围内振动，振幅不变，周期不变，所以选项B、D、E正确。【例题6】(2019·全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq\f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的