第09讲 拓展四：三角形中周长（定值最值取值范围）问题 高频精讲（解析版）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题

（精讲）

目录

第一部分：知识点必背................................................2

第二部分：高考真题回归..............................................2

第三部分：高频考点一遍过...........................................5

高频考点一：周长（边长）定值....................................5

角度L求周长.................................................5

角度2：求边的代数和..........................................10

高频考点二：周长（边长）最值....................................14

角度1：周长最值..............................................14

角度2：边的最值.............................................20

角度3：边的代数和最值.......................................27

高频考点三：周长（边长）取值范围...............................37

角度1：周长取值范围.........................................37

角度2：边的代数和取值范围...................................40

角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围.....................48

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第一部分：知识点必背

1、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式，石《生2,在结合余弦定理求周长取值范围；

2

2、利用正弦定理化角

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,匕=2RsinB,代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据

角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.

第二部分：高考真题回归

1.（2022•全国（新高考H卷）•统考高考真题）记./1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,

儿c为边长的三个正三角形的面积依次为5，邑,邑，已知E-S,+53=3,sin8=1.

23

（1）求一的面积；

⑵若sinAsinC=①，求b.

3

【答案】（1）第

（吗

【详解】（1）由题意得耳」./.3=更〃2s更从$走,2,则

,224-434

C一CG26屋£2G

-S’+S?=—a----bH----c=—»

1234442

22121

即储+廿一/二？，由余弦定理得cos8=巴上----，整理得accos4=l,贝ijcos3＞。，又sin5=q,

2ac3

则cos8J■丫=逑,"c=_!_=逑，则SABc=」acsin8=也；

丫⑶3cosB4ABC28

3&

（2）由正弦定理得：一sin勺3=一si、nA=一sin彳C，则sin必Bsin第Asi=nC-si.nA:scin.C「=嗥遥^=4.,则一si4n3=］2，

T

b=—sinB=—

22

2.（2022•全国（乙卷文）•统考高考真题）记“ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴若A=2B,求C；

(2)证明：2〃="+’2

【答案】⑴浮

o

(2)证明见解析.

【详解】(1)由A=28,sinCsin(A-5)=sin3sin(C—A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而。

所以sinBE(0,1),即有sinC=sin(C—A)>0,而0<C<7t,0<C-A<7r,显然CwC-A,所以，C+C-A=TI9

5兀

而A=28,A+B+C=n,所以C=『

o

(2)由sinCsin(A-B)=sin3sin(C-A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-bccosA=bccosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

22222222222

^a+c-Z?)-^(/?+c-cr)=^b+c-a^-^a+b-c^t化简得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

3.(2022•全国(乙卷理)・统考高考真题)记一ABC的内角的对边分别为兄仇。，已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)证明：2a2=&2+c2;

25

(2)若a=5,cosA=—,求一ABC的周长.

【答案】(1)见解析

⑵14

【详解】(1)证明：因为sinCsin(A-5)=sin4sin(C-A),

所以sinCsinAcos5-sinCsinBcosA=sinBsinCeosA—sinBsinAcosC,

所以ac•江从+/-YMS-c2

-2bc-=-ab-

2hc2ab

a2+c2-b2/2\a2+b2-c2

0n―2--------(b-2+c22-a-)=-----------•

所以2a2=/+，2；

(2)解：因为。=5,cosA=w，

由(1)得/+。2=50,

由余弦定理可得a2=b2+c2-2/?ccosA,

贝IJ50——bc=25,

31

所以秘=三31，

2

故0+02=/+/+2反=50+31=81,

所以匕+c=9,

所以ABC的周长为a+b+c=14.

4.(2022•北京•统考高考真题)在_ABC中，sin2c=百sinC.

⑴求NC；

(2)若b=6,且一ABC的面积为66,求一ABC的周长.

【答案】⑴g

6

(2)6+6>/3

【详解】(1)解：因为Ce(O4),则sinC>0,由己知可得GsinC=2sinCcosC,

可得cosC=且，因此，C=£.

(2)解：由三角形的面积公式可得5Azic=gaAinC=ma=66,解得a=4#.

由余弦定理可得c?=/+/-2a6cosC=48+36-2x4石x6x走=12,:.c=2后,

2

所以，_ABC的周长为〃+b+c=6>/3+6.

5.(2022・全国(新高考I卷)・统考高考真题)记JWC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

cosA_sin2B

I+sinA1+cos28

⑴若C中,求B；

⑵求匚2的最小值.

c

【答案】⑴三

0

(2)472-5.

【详解】(1)因为留々sin2B_2sinBcosBsinB

即

1+sinA1+cos232cos2BcosB

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=—

2

而0<83，所以5=小

TT兀

(2)由(1)知，sinB=—cosC>0,所以一<C<兀,0<3<一,

22

而sin5=_cosC=sin(c一,

所以C=]+B,即有A=：_28,所以

r「、ia?+b?sin2A+sin2Bcos22B-f-l-cos2B

所以——=-----------=----------------

c2sins2Ccos2B

(2cos2B-1V4-1-cos2Bc2r-r-

--------------\---------------=4COS2B+--——5>2^-5=4V2-5•

cosB-----------------cosB

当且仅当cos?B=孝时取等号，所以色兰的最小值为4尤-5.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：周长（边长）定值

角度1：求周长

典型例题

例题1.（2023春•云南玉溪•高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）己知c分别为，ABC三个内角

的对边，且〃cosC+J^asinC=b+c.

⑴求A;

（2）已知A?C的面积为量1,设M为BC的中点，且AM=B，求ABC的周长.

4

【答案】⑴女冗

（2）V15+5/6

【详解】（1）由题意知“ABC中，acosC+y/3asinC=h+c,

由正弦定理边角关系得：sinAcosC+bsinAsinC

=sinB+sinC=sin（4+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

\Z3sinAsinC=cosAsinC+sinC，

Ce（0,7i）,/.sinCw0,/.y/3sinA-cosA=1,

所以AW，即A=；

663

(2)在ABC中，AM为中线，.•.2AM=A8+AC，

4|AM|2=(AB+AC)2=|/1B|2+2AB-AC+\AC^=|AB|2+2|/1B||AC|COSZBAC+|>1C|2=c2+b2+bc,

b~+c?+be=12.

c3731..n73,373..

b=-----,—pcsin—=——be=------,..Oc=3，

"ACRr42344

：.b+c-yjb2+2bc+c2=>/15，

a2=b2+c2-2bccos-^=(/>+c)2-36c=6,

ABC的周长为后+卡.

例题2.(2023春•宁夏•高一六盘山高级中学校考阶段练习)在一。钻中，延长S4到C,使AC=fi4,

在。8上取点O,使DB=；OB,

(1)设OA=a,O8=匕，用a,b表示向量OC及向量DC.

⑵若=且的面积为W,求。口的周长.

【答案】⑴OC=2a-6,£>C=2a-；6

(2)8

【详解】(1)A是8c的中点，贝iJOC=OB+BC=OB+2BA=OB+2(OA-OB)=2OA-O8=2a-〃，

2?5

故OC=2a-b,DC=OC-OD=OC——OB=2a-b——b=2a——b,

333

(2)由余弦定理得OB。=OC2+8C2—2.OC-8C.COSNOC8

而S=-OCBCsinZOCB=^-,

OK23

得OCBC若，故9=(OC+BC)2-3x果得OC+BC=5,

OCB的周长为5+3=8.

例题3.(2023•全国•模拟预测)在一4?C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,a=9,。为边

BC上一点，DB=DA^3.

(1)若x/^sinC+ccosB=9,求.A6C的面积；

(2)若AD为NB4C的平分线，求一ABC的周长.

【答案】⑴生叵

4

(2)9+辿

2

【详解】(1);V3/?sinC+cosB=9,a=9,

•'­\fihsinC+ccosB=a

由正弦定理可得,Gsin3sinC+sinCcosB=sinZ.BAC,

/.Gsin8sinC+sinCcos8=sin(8+C)=sin8cosC+cos8sinC,

即\/3sinBsinC=sin8cosc,

结合sinBwO,得tanC=立，

3

Ce(O,n),/.0=已，

在ZW)。中，DC=a—DB=6,

由余弦定理可得，8SC=变装过

nnx/362+3b2-32

-=----------解得。=3>/5,

22x6b

S&ABC=l^sinC=ix9x3^xi=2L2

(2)由A0为254c的平分线知，ABAD=ACAD,

在八4£)。与&AD3中，由正弦定理可得，

6='①

sinZCADsinZADC'

3_0①

sinABADsinZAQB，'

ZADC+ZADB=n,sinZADC=sinZADB,

结合①②，可得力=2c，

在△AOC与/AD3中，由余弦定理可得，

AD2+DC2-AC2A6+DB?-6

cosZ.ADC=cosZADB=

2ADDC2ADDB

又cosZADC+cosZADB=0,

.9+36"+2^=o,解得c=亚,

36182

:.b=3瓜，：..45C的周长为9+姓.

2

练透核心考点

1.（2023春•广东韶关•高二校考阶段练习）在_"。中，角A8,C对应的边分别是“，"c,且

asinB=-6bcosA.

⑴求角A的大小；

（2）若〃=4,JU3C的面积S=2g,求,ABC的周长.

【答案】⑴与

（2）6+277

【详解】（1）在J1BC中，由正弦定理二=3=号=2/?得：

sinAsinBsinC

a=2/?sinA,b=2RsinB代入式子asin3=-A/3Z?COSA,

化简得，sinAsinB=-\/3sin3cosA,

sin8w0,

sinA=-y/3cosA,BPtanA=一百，

元

因为46（0,兀），所以A=^2.

（2）S=—fecsinA=—x4csin—=\/3c=2\f3,

223

c=2

由余弦定理得="+/-2bccosA=42+22-2x4x2x（一g）=28,

a=2V7

a+b+c=2v7+4+2=6+2>/7

：.ABC的周长为6+24.

2.（2023春•天津和平•高一校考阶段练习）在.ABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,c.已知

2cosC（acosB+bcosA）=c.

⑴求角c；

（2）若cosA=—g，求cos（2A+C）的值；

4

⑶若c=的面积为毡，求..A5C的周长.

2

【答案】(1)。

(2广1-3/

8

(3)5+>/7

【详解】(1)由正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=2cosCsin(A+B)=sinC,即

2cosCsin(7r-C)=2cosCsinC=sinC,

]7T

Ce(0,7t),sinCVO,,cosC=-,C=-

(2)A、CI..sinCsinAsin224-2sin/IcosACOS2T4=COS2/I-sin2A-

A''2444

11/力-l-3>/5

.*•cos(2A+C)=cos2AcosC-sin2AsinC=----X-----------X----=------------；

42428

a2+b2-ab»由面积公式得工"sin。=之叵？ab6,

（3）由余弦定理得才=/+/一2abcosC?7

22

则(a+与2=/+〃-"+3"=7+3?625?a〃=5,「•-ABC的周长为a+/?+c=5+V7.

3.（2023•安徽・高二马鞍山二中校考学业考试）记AA5C内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,且

(b4-c)(sinB-sinC)=(sinA-sinC)a.

⑴求3的值;

⑵若aABC的面积为石，b=2,求△ABC周长.

【答案】（l）B=g

(2)6

【详解】(1)由S+c)(sin8-sinC)=(sinA-sinC)a及正弦定理得s+c)(b-c)=(a-c)a,

所以〃+c-2-/=ac，由余弦定理可得cosB="IC--"=

2ac2

又Be（O㈤，所以

1/o

(2)因为S.=ysinB=+c=5所以公=4,

由余弦定理可得:

=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-12=4

所以a+c=4,

所以△ABC的周长为a+/?+c、=6.

角度2：求边的代数和

典型例题

例题1.(2023春•云南丽江•高一丽江第一高级中学校考阶段练习)在一ABC中，角A,B,C的对边

2兀

分另U为",b9c,且=〃=6.

⑴若c=14,求sinA的值；

(2)若MC的面积为3百，求。的值.

【答案】⑴侦

14

(2)2713

271

【详解】(1)由题意在八ABC中，/.C=—,。=6,c=14,

人右

由正弦定理，7=三;可得..asinC6X3G.

sinAsinCsinA=------=——T=——

c1414

(2)由NC=0,a=6,SAliC=-absinC.BP-x6xZ?sin—=3x/3,

3223

解得。=2,

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,

可得c=yJa2+b2-2abcosC=,6?+2?-2x6x2x„=2713.

例题2.(2023春•山东济宁•高三校考阶段练习)在①tanA+tanB+石=6tanAtanB；②

(c4-i7-Z?)(sinC-sinA+sinB)=asinB.

③gcsinB=b(cosC+l)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC中,

内角A,3,C的对边分别为a，b,C,且_______.

(1)求角c；

⑵若一ABC的内切圆半径为W，b=4,求"C.

2

【答案】⑴T

⑵T

【详解】(1)选择①：由己知得tanA+tan5=G(tanAtanB-1),

tanA+tan3

所以tanC=-tan(A+B)=-=6»

1-tanAtanB

7T

在一AfiC中，Ce(Om),所以C=2.

3

选择②：由已知及正弦定理得(c+0-b)(c-a+毋=",

所以/+〃2一。2=出,，所以COSC=£24=L,

2ab2

IT

因为0<C<7T,所以C=§.

选择③：由正弦定理可得GsinBsinC=sin8(cosC+l),

又Bw(O,7t),所以sinB>0,则GsinC-cosC=l，

贝lJ2sin(c-m)=l，故sin(c-2]=!.

乂因为-?<C-¥<2,所以C-2=2,

66666

解得C=7^T.

(2)由余弦定理得c?=4+)2-c由=]6+/一曲，①

由等面积公式得:S+人+c)r=[aAinC.

22

即—(6Z+/?4-c)x—=1XX-.

2222

整理得3a=4+c,②

联立①②，解得。=|"=(

所以.

例题3.(2023春•湖南长沙•高一雅礼中学校考阶段练习)已知。分别为ABC三个内角A3,。的对

边,且acosC+石asinC-b-c=O.

⑴求A；

⑵若。=2,且一ABC的面积为6,求。的值.

【答案】⑴4=]

(2)h+c=4

【详解】(1)由〃cosC+GasinC-h-c=0又及正弦定理，Msin/lcosC+\Z3sinAsinC-sinB-sinC=0,

因为ABC中8=TC_(A+C),

所以sinAcosC+gsinAsinC-sin(A+C)-sinC=\/5sinAsinC-sinCeosA-sinC=0,

由于sinCVO,所以GsinA-cosA=2sin(A—看)=1,即sin(Ajj=；,

又OvAv兀，故A=g.

(2)由题意可知S=gbcsinA=0,解得儿'=4,

根据余弦定理可得/=b2+C2-2/?ccosA»

即4=(〃+c)~-3历，解得b+c=4.

练透核心考点

1.(2023・全国•高三专题练习)记一AfiC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知acosC+G“sinC-匕-c=0.

⑴求A；

(2)若6=2,c=5,角A的平分线交BC于点。，求AD

【答案】(l)A=g

(2)40=12^1

7

【详解】(1)由已知及正弦定理得sinAcosC+6sinAsinC-sinB-sinC=0,

因为8=兀一(A+C),则sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以GsinAsinC-cosAsinC-sinC=0,即(GsinA-cosA—1jsinC=0.

又sinC>0,所以GsinA-cosA-1=0,即，

因为A«(),兀),所以，

所以A-/=?，得人=々.

OO3

(2)因为AD是角A的角平分线，

所以sABC=sABD+sACD,

11A1A

艮|]一besinA=—c•ADsin—+—/?•AD•sin—,

22222

结合(1)x2x5xsin—=—x5xADxsin—+—x2xADxsin—,

232626

解得4。=吆叵.

7

2.(2023春•广东江门•高二校考阶段练习)在043C中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,h=a+\,

c=a+2,2sinC=3sinA.

(1)求cos2。的值；

（2）若点。在边BC上且一ACD的面积为丝也，求黑.

8DC

31

【答案】⑴一记

⑵1

【详解】（1）因为2sinC=3sin4,由正弦定理得：2c=2（々+2）=3。，

则a=4,故人=5,c=6,

由余弦定理得：cosC=±*E=L,所以cos2c=2cos2C-l=-?；

2ab832

（2）由（1）知cosC=—，又0vC<7t,

8

2

所以sinC=V1—cosC=,SACD=—y/l

8o

14.1.LLc3y/1_15\[1_°c

因此，SABC=-ahsmC=-x4x5x—^-==2SACD9

所以。是8c的中点，故器=L

3.（2023秋•甘肃天水•高二天水市第一中学校考期末）设一MC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、

Gc=26sinC

⑴确定角B的大小；

⑵若一ABC为锐角三角形，b=屈,_45C的面积为G，求a+c的值.

【答案】（1）8=方TT或2

（2）〃+c=3后

【详解】（1）因为6c=2〃sinC，山正弦定理，^=-7；得：>/3sinC=2sinBsinC,

sinBsmC

因为Cw（0,7t）,所以sinCVO,PPJsinB=—,

2

因为3£（0,兀），所以8=三或弓.

（2）若一ABC为锐角三角形，由（1）得8=（

因为ABC的面积为1。csin8=6,所以ac=4,

2

由余弦定理得b?=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB,

所以6=（Q+C）2-2X4-2X4XL

2

解得(〃+C)2=18,所以〃+c=3后.

高频考点二：周长（边长）最值

角度1:周长最值

典型例题

例题1.(2023•四川南充•统考二模)在AA3C中，内角A,6,C的对应边分别为4，b,。，己知

A-L-C

Ain(8+C)=“sin©5上,且AABC的面积为白，则AABC周长的最小值为()

A.272B.6C.6点D.6+2拒

【答案】B

TT-R

【详解】由题设及二角形内角和性质：AinA=asin=,

D

根据正弦定理及诱导公式得sinB-sinA=sinA-cos^,

2

BBBB

71G(O,7T),「.sinAwO,sinB=cosy,即2sin—cosy=cos—,

Se(0,7i),则《《。e}K'Jcosj^O,解得呜=；,则

所以S=』acsinB==6，则ac=4,

24

又a+cN2-Jac=4仅当a=c=2时等号成立，

根据余弦定理得b-yja2+c2-2accosB，即b=\ja2+c2-ac，

设“ABC的周长为C,则C.=a+。+J(a+c)2-3ac=5+c)+^(a+c)2-1?，

设a+c=f",则=t+

根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：.f（。在［4,+8）匕为单调增函数，

故〃%,="4）=6,故（C"°L=6,当且仅当n=b=c=2时取等.

故选：B

例题2.（2023春•山东烟台•高一山东省招远第一中学校考期中）在ABC中，内角A,B,C所对的

边分别为a,b,c,角B的平分线交AC于点。，1且。=2,则一ABC周长的最小值为.

【答案】2+20##20+2

【详解】由题可得，S△瓯=S&AKD+S△阮〃，即gacsinZABC=；BZXcsin4^S+gB»asin^C,

ZABCZABC则2gin学8s学=(c+小in卷j

又BD=T,所以acsinZABC=csin+asin

22

因为。＜“*兀，所以。〈华吟则sin竿S

所以2QCCOS^^=C+〃，即=

222ac

又因为cosZABC=「+'「-4cosZABC=2cos2-1,

lac2

\222A

所以2£1£]-1c-曹一-4,整理得(c+a)2=ac[(c+a)2-4],

lac)

所以(c+a)2=[(c+tz)2-4]<--[(C+a)2-4],

解得(c+a)2N8或(c+a)240(舍去)，

所以“+C22应，当且仅当a=c=应时，等号成立,

则/?+a+c22+2及>

故一A3C周长的最小值为2+20.

故答案为：2+26.

4兀、.乂、E

例题3.(2023•河北邯郸•统考一模)已知函数/(x)=6sin2s-2cos20x+2(0eNj在兀上单调.

(1)求f(x)的单调递增区间

A

(2)若AABC的内角A,B，C的对边分别是。，b,c,且〃=3,f2,求AABC周长的最大值.

JTJT

[答案](1)kn--,kK+-仕eZ)

OJ

(2)9

【详解】(1)由题意可得f(x)=6sin2@c-cos2s+1=2sin2cox~~+1,

I6

吟)上单调,

因为f(x)在

12兀、4兀33

所以丁国汩一兀，解得一广。用，

因为oeN,,

所以<v=1,即5/3sin2a)x-cos2(ax+\=2sin[2x-^+1,

令2E—工K2x—二422兀+二（左GZ）,

262

解得E—巴工工4%兀+巴（ZEZ）,

63

717T

即“X）的单调递增区间是far--,far+-（AeZ）；

_o3J

（2）因为K）=2,

所以2sin（A=）+l=2,

所以sin（A图=；,

因为0<A<兀，

TTTT57r

所以

666

所以A=1,

由余弦定理可得。2=从+c2-2hccosA，

B|Jb1+c2-bc=9)即36c=(力+c)'-9,

因为儿v(d，当且仅当/,=。时，等号成立,

所以3(“；c)i》(b+c)2_9,解得b+cW6,

则a+A+cW9,即△A8C周氏的最大值为9.

例题4.(2023•福建漳州•统考三模)如图，平面四边形ABC。内接于圆。，内角B〉D,对角线AC的

长为7,圆。的半径为拽.

3

(1)若5c=5,AD=CD,求四边形ABC。的面积;

(2)求ABC周长的最大值.

【答案】(1)166

⑵哈7

【详解】（1）如图所示，连结OAOC,

在/AOC中，OA=OC=拽，AC=7,

3

494971c

Q1+OC-C?：+可491

所以cos/AOC==——

2OAOC2x丝2

3

因为0<ZAOC〈7t,所以N40C=生，则NAOC=工，

33

因为40=8,所以一ACO为等边三角形,

2M.sin」x49x旦遮,

一0ACD

23224

ZABC+ZADC=7T,/.ZABC=—

3

在.。中，AC2=BC2+AB2-2BC-ABcosy,即49=25+A8?+5AB,

又.A3>0,・,.AB=3,

、与凶

/.S惭=gA氏BC-sin/ABC=3x5x

224

**•SABCD=SABC+SACD=16>/3.

(2)设3C=a,A8=c,

则在一ABC中，ZABC=y,AC=7,则告e=4'即/+/+4=49,故(a+c)2=49+ac,

等），当且仅当"=时，等号成立,

因为〃>0,c>0,所以c

2

a+c

所以(Q+c)2=49+acW49+|,当且仅当”=c时，等号成立,

~2~

3、.4x4。

：.—(a+c)~<49,则(Q+C)<--------

43

«+c>0,故”+c4也叵，当且仅当"c时，等号成立，

3

所以a+c+4C4M+7,即JWC周长的最大值为M+7.

33

练透核心考点

1.（2023•全国•高一专题练习）在一AfiC中，内角A,8,C的对应边分别为mb,c,已知6sin（8+C）=asin—^―,

且.ABC的面积为26，则一ABC周长的最小值为（）

A.2&B.2+C.6&D.6+26

【答案】C

【详解】因为8sinA=asinyX,

R

根据正弦定理及诱导公式得sin⑶sinA=sin4cos],

D

AG（O,TT）,「.sinAHO,/.sinB=cos—,

H[J2sinycos-^=cosy,BG（0,7T）,IJIiJy,则cos?工0

解得sing=：,所以名=g=8=g,

222o3

所以S=—BresinB="，"=2A/3,

24

所以〃c=8,a+cN2疝=4夜，当旦仅当a=c=2正时等号成立，

根据余弦定理得力=a2+c2—2accosB，卬/?=\ja2+c2—ac，

设一ABC的周长为C,

所以CABC=Q+c+J（a+c）'-3cle—（a+c）+J（a+c）~-24,

设〃+c=f/N40,则=l+"-24,

根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：

/⑺在卜立收）上为单调增函数，故〃入n=八4夜）=6近,

故（Cmc）min=乱反，

当且仅当a=h=c=2五时取等.

故选：C.

2.（2023•四川广安•统考二模）/BC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c.若（2a-c）cos8=bcosC,

且匕=6，贝I周长的最大值为.

【答案】3百

[详解】因为(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理可得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

所以，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,

因为A、BG(0,7C),则sinA>0,所以，cosZ?=-,故8=

由余弦定理可得3=Z?2=6?24-c2-2accosB=cr+c2-ac=^a-\-cf-3ac

/、23(a+cY(a+c]~

>[a+c]------------—-------

V744

所以，(a+c)~W12,即a+cW2\/5,i^Ca+b+c<3\/3»

当且仅当。=c=G时，等号成立，故ABC周长的最大值为36.

故答案为：3-73-

3.(2023春•四川成都•高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)在中，csin8=60cosc.

⑴求/C;

(2)若。+b=6,求..ABC周长的最小值.

【答案】⑴c=]

(2)9

【详解】(1)因为csin3=\/^〃cosC,所以由正弦定理得$由。§皿8=6§38以)$。，

又因为8«0,兀)，sinBwO,所以sinC=J5cosC,即有tanC=6，

又因为Ce(O,7t),所以C=£

TT

(2)因为C=],a+/?=6,

所以由余弦定理可得/=a2+〃-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=36-3ab>36-3x^-^^j=9,

当〃=匕=3时，等号成立，所以c之3,

故.ABC周长的最小值9.

27r

4.(2023•甘肃兰州•兰州五十九中校考模拟预测)已知AABC中，C=y,角4,B,C的对边分别为a,b,

⑴若a,h,。依次成等差数列，且公差为2,求c的值;

⑵若ZiABC的外接圆面积为乃，求AABC周长的最大值.

【答案】⑴7

(2)2+73.

【详解】(1)=小C依次成等差数列，且公差为2,

「•h—a=c—h=2,b=c—2,〃=c—4,

271

•••C=y,由余弦定理得

2兀a2+b2-c2(C-4)2+(C-2)2-C2I

cos—=---------------=------------------------------,

32ab2(c-2)(c-4)2

整理得c2—9c+14=0,解得c=7或c=2,

又a=c—4>0,则c>4,c=7.

(2)设8=仇外接圆的半径为凡则乃尺2=万，

解得R=L由正弦定理可得

abc

-------=--------=--------=2Rn=2,

sinAsmBsinC

----=./兀〃、=.2兀=2,

sin。sin(--i9)sm

可得〃=2sin。，a=2sin(二-6),c=G,

3

△ABC的周长=2sin9+2sin(1-。)+G

兀兀

=2sinJ+2sin—cos2cos—sin0+>/3

33

兀

=sin。+geos。+石=2sin（。+§）+6，

又6W（呜）,,+1〈年，

二当6+3=