2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.1第2课时排列的综合应用课时分层作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(四)排列的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有()A．6种 B．9种C．18种 D．24种C[先排体育有Aeq\o\al(1,3)种，再排其他的三科有Aeq\o\al(3,3)种，共有3×6＝18(种)．]2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必需在一起的不同排法共有()A．720 B．360C．240 D．120C[因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有Aeq\o\al(5,5)种排法，但甲、乙两人之间有Aeq\o\al(2,2)种排法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝240种不同的排法．]3．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36 B．30C．40 D．60A[奇数的个位数字为1,3或5，所以个位数字的排法有Aeq\o\al(1,3)种，十位数字和百位数字的排法种数有Aeq\o\al(2,4)种，故奇数有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,4)＝3×4×3＝36个．]4．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为()A．6 B．84C．24 D．48B[5人全排列有Aeq\o\al(5,5)种，甲，乙都不在两端的排法有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)种，共有Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝84种不同的排法．]5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．20C[从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为Aeq\o\al(2,5)＝20，但lg1－lg3＝lg3－lg9，lg3－lg1＝lg9－lg3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.]二、填空题6．从班委会5名成员中选出3名，分别担当班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担当文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)36[分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员，共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)＝36种选法．]7．六个停车位置，有3辆汽车须要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．24[把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24种．]8．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．Aeq\o\al(3,7)－Aeq\o\al(3,4)＝186(种)．]三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在起先和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400种．(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的状况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440种．10．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数；(3)能组成多少个比1325大的四位数．[解](1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有Aeq\o\al(3,5)个；其次类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有Aeq\o\al(1,4)种，十位和百位从余下的数字中选，有Aeq\o\al(2,4)种，于是有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)个；第三类：4在个位时，与其次类同理，也有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝156(个)．(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有Aeq\o\al(4,5)个；个位数上的数字是5的五位数有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)个．故满意条件的五位数的个数共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2eq\x()eq\x()eq\x()，3eq\x()eq\x()eq\x()，4eq\x()eq\x()eq\x()，5eq\x()eq\x()eq\x()的数，共Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)个；其次类：形如14eq\x()eq\x()，15eq\x()eq\x()，共Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)个；第三类：形如134eq\x()，135eq\x()，共Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)个．由分类加法计数原理知，比1325大的四位数共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(个)．1．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为()A．30 B．48C．60 D．96B[“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列Aeq\o\al(3,3)；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．依据分步乘法计数原理，可以得到Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48个不同的三位数．]2．支配6名歌手演出的依次时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A．180 B．240C．360 D．480D[不同的排法种数先全排列有Aeq\o\al(6,6)，甲、乙、丙的依次有Aeq\o\al(3,3)，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的依次有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种依次，所以不同排法的种数共有4×eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(3,3))＝480种．]3．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是________．36[将3,4两个数全排列，有Aeq\o\al(2,2)种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有Aeq\o\al(3,3)种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)种方法，故满意题意的数的个数为Aeq\o\al(2,2)(Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3))＝36.]4．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．36[先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有Aeq\o\al(4,4)种摆法，而A，B可交换位置，所以有2Aeq\o\al(4,4)＝48种摆法，又当A，B相邻又满意A，C相邻，有2Aeq\o\al(3,3)＝12种摆法，故满意条件的摆法有48－12＝36种．]5．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序肯定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边(不肯定相邻)有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必需在前排，乙必需在后排，有多少种不同的排法？[解](1)法一：7人的全部排列方法有Aeq\o\al(7,7)种，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(3,3)种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序肯定的排法共有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(种)．法二：(填空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的依次去站，只有一种站法，故Aeq\o\al(4,7)＝7×6×5×4＝840(种)．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满意条件的有eq\f(1,2)Aeq\o\al(7,7)＝2520(种)．(3)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有Aeq\o\al(1,5)种方法．其次步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有Aeq\o\al(5,5)种方法．第三步：甲、乙及中间1人的排列为Aeq\o\al(2,2).依据乘法原理得Aeq\o\al(1,