2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集学案含解析新人教B版必修第一册1

PAGE2.2.2不等式的解集素养目标·定方向课程标准学法解读1．会求二元一次不等式组的解集．2．理解肯定值的几何意义，并会解肯定值不等式．3．驾驭数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式，并会简洁应用.在本节学习中，能借助数轴求出不等式的解集，在解含肯定值不等式时可用分类探讨思想去肯定值号，也可用肯定值的几何意义脱去肯定值号，通过对本节的学习可提升自己的直观想象、数学运算及逻辑推理.必备学问·探新知基础学问1．不等式的解集与不等式组的解集不等式的全部解组成的集合称为不等式的解集．构成不等式组的各个不等式的解集的交集称为不等式组的解集．思索1：不等式的解与解集的区分和联系是什么？提示：(1)不等式的解是指满意这个不等式的未知数的一个值，而不等式的解集是指满意这个不等式的未知数的全部值．不等式的解是不等式的解集中的一个．(2)不等式的解集必需满意两个条件：一是解集内的数都是不等式的解；二是解集外的数都不是不等式的解．2．简洁的肯定值不等式的解法(1)肯定值不等式的定义：含有肯定值的不等式．(2)肯定值不等式的解集.不等式(m>0)不等式的解集|x|<m{x|－m<x<m}|x|>m{x|x>m或x<－m}(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.思索2：若m＝0或m<0时，不等式的解集是怎样的？提示：不等式m＝0m<0|x|<m∅∅|x|>m{x∈R|x≠0}R3．肯定值不等式的几何意义(1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a)，B(b)之间的距离__AB＝|a－b|__.(2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a)，B(b)的中点坐标x＝eq\f(a＋b,2).(3)肯定值不等式的几何意义．不等式(m>0)解集的几何意义|x|<m数轴上与原点的距离小于m的全部数的集合|x|>m数轴上与原点的距离大于m的全部数的集合|x－b|<m数轴上与表示b的点的距离小于m的全部数的集合|x－b|>m数轴上与表示b的点的距离大于m的全部数的集合思索3：不等式|x＋1|≤3的解集的几何意义是什么？提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的全部数组成的集合．基础自测1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(A)A．(－∞，3] B．(－∞，－3]C．[3，＋∞) D．[－3，＋∞)解析：原不等式可化为2x＋9≥3x＋6，即x≤3.2．已知集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z)，则M∩N＝(D)A．{x|0<x≤2，x∈R} B．{x|0<x≤2，x∈Z}C．{－1，－2,1,2} D．{1,2,3}解析：由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3.所以N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．3．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2>0，,2x＋1>0))的解集为__(－eq\f(1,2)，2)__.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2>0,2x＋1>0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2,x>－\f(1,2)))，∴不等式组的解集为(－eq\f(1,2)，2)．4．不等式|x－3|<2的解集为__(1,5)__.解析：∵|x－3|<2，∴－2<x－3<2，∴1<x<5，∴解集为(1,5)．5．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则|AB|＝__6__，线段AB的中点M的坐标为__M(－1)__.解析：|AB|＝|xB－xA|＝|－4－2|＝6，xM＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(2－4,2)＝－1.关键实力·攻重难类型不等式组的解集┃┃典例剖析__■典例1解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3>1，,x－2<0；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(x＋1,2)>\f(1,2)，,x＋8<4x－1.))思路探究：分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可．解析：(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，解不等式x－2<0，得x<2，则不等式组的解集为{x|－1<x<2}．将解集表示在数轴上如下：(2)解不等式x－eq\f(x＋1,2)>eq\f(1,2)，得x>2，解不等式x＋8<4x－1，得x>3，则不等式组的解集为{x|x>3}，将不等式组的解集表示在数轴上如下：归纳提升：解不等式(组)的留意点(1)移项要变更项的符号．(2)利用性质3时要变更不等号的方向．(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．┃┃对点训练__■1．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,2x<5))的整数解的个数是(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：分别解两个不等式可得不等式组的解集为{x|－eq\f(1,3)<x<eq\f(5,2)}，故满意题意的整数解为0,1,2，共3个．类型解肯定值不等式┃┃典例剖析__■典例2解不等式3≤|x－2|<4.思路探究：此题的不等式属于肯定值的连不等式，求解时可将其化为肯定值的不等式组再求解．解析：原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≥3，①,|x－2|<4.②))由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，∴x≤－1，或x≥5.由②，得－4<x－2<4，∴－2<x<6.如图所示，原不等式的解集为{x|－2<x≤－1，或5≤x<6}．归纳提升：肯定值不等式的解题策略：等价转化法(1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式：|x|<a⇔－a<x<a.|x|>a⇔x>a或x<－a.(2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式：a<|x|<b(0<a<b)⇔a<x<b或－b<x<－a.┃┃对点训练__■2．不等式|2x＋1|>3的解集是__{x|x<－2或x>1}__.解析：由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．类型数轴上的基本公式及应用┃┃典例剖析__■典例3已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．思路探究：依据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解．解析：(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x＋1|＝2，,|x－3|＝2，))可以化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,x－3＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,x－3＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2，,x－3＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2，,x－3＝2.))解得x＝1.∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．(2)不存在这样的P(x)，理由如下：∵AB＝|1＋3|＝4<6，∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不行能的．归纳提升：数轴上基本公式的应用(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．┃┃对点训练__■3．已知数轴上，A(－2)，B(x)，C(6)．(1)若A与C关于点B对称，求x的值；(2)若线段AB的中点到C的距离大于5，求x的取值范围．解析：(1)由题意得B点为A、C的中点，∴x＝eq\f(－2＋6,2)＝2.(2)线段AB的中点为eq\f(－2＋x,2)，由题意得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)－6))>5，解得x>24或x<4.易混易错警示求解肯定值不等式时不理解肯定值的代数意义致错┃┃典例剖析__■典例4求不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集．错因探究：利用肯定值的代数意义去肯定值时，肯定要弄清各式值的正负，否则就会出错．解析：令x－1＝0，x－2＝0，解得x＝1，x＝2.当x<1时，原不等式可化为1－x＋2－x≥3，解得x≤0.∴原不等式的解集为{x|x≤0}．当1≤x≤2时，原不等式可化为x－1＋2－x≥3,1≥3明显不成立．∴原不等式的解集为∅.当x>2时，原不等式可化为x－1＋x－2≥3，解得x≥3.∴原不等式的解集为{x|x≥3}．综上可知原不等式的解集为{x|x≤0或x≥3}．误区警示：解肯定值不等式时留意：①利用肯定值的代数意义去掉肯定值符号时，各式值的正负必需弄清；②在利用零点分段法对肯定值进行化简时，留意x的取值范围，同时留意不要遗忘解集的确定．学科核心素养由不等式(组)的解集求参数的取值范围┃┃典例剖析__■解这类题一般借助数轴，将不等式组的解集在数轴上表示出来，然后将求得的不等式解集分三种状况在数轴上表示出来，看哪些状况符合题意．利用解集比照法求参数的取值范围：解集比照法中，最关键的在于“对”，即在含参数的代数式与给出的解集之间建立对应关系，从而确定参数的值或取值范围．典例5关于x的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4＋x,3)>\f(x＋2,2)，,\f(x＋a,2)<0))的解集为{x|x<2}，则实数a的取值范围是__(－∞，－2]__.思路探究：先分别求出两个不等式的解集，然后分状况确定不等式组的解集，再与已知解集比照可得实数a的取值范围．解析：解eq\f(4＋x,3)>eq\f(x＋2,2)得x<2；解eq\f(x＋a,2)<0得x<－a.当－a>2，即a<－2时，原不等式组的解集为{x|x<2}．当－a＝2，即a＝－2时，原不等式组的解集为{x|x<2}．当－a<2，即a>－2时，原不等式组的解集为{x|x<－a}．所以当不等式组的解集为x<2时，实数a的取值范围是(－∞，－2]．课堂检测·固双基1．不等式3x＋6≤2x的解集为(B)A．[－6，＋∞) B．(－∞，－6]C．[6，＋∞) D．(－∞，6]解析：移项得3x－2x≤－6，即x≤－6，故原不等式的解集为(－∞，－6]．2．不等式|x＋1|>3的解集是(A)A．{x|x<－4或x>2} B．{x|－4<x<2}C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}解析：由|x＋1|>3，得x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.3．数轴上，已知点M(－2