2024高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆第1课时椭圆及其几何性质学案含解析新人教B版

PAGE12-第五节椭圆最新考纲考情分析1.驾驭椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简洁应用．3．理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他学问综合应用是近几年高考命题的热点．2．常与直线、向量、三角等学问交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的实力．3．三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题，解答题为高档题.学问点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a(1)当2a>|F1F2|时，M(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1(3)当2a<|F1F2|时，学问点二椭圆的标准方程和几何性质离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝eq\r(a2－c2)越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝eq\r(a2－c2)越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．1．思索辨析推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)(5)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(6)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．(√)2．小题热身(1)已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)解析：由题意得椭圆的标准方程为eq\f(x2,\f(m,2))＋eq\f(y2,\f(m,3))＝1，所以a2＝eq\f(m,2)，b2＝eq\f(m,3)，所以c2＝a2－b2＝eq\f(m,6)，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，e＝eq\f(\r(3),3).(2)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则椭圆C的方程是(D)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝3，))故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(3)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(C)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2eq\r(2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(4)若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是(3,4)∪(4,5)．解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3.))解得3<k<5且k≠4.(5)已知点M(－2,0)，N(2,0)，点P是曲线C：eq\f(x2,4)＋y2＝1(y≠0)上的动点，直线PM与PN的斜率之积为－eq\f(1,4).解析：设P(x0，y0)，因为点P在曲线C上，所以eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1(y0≠0)，yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(x\o\al(2,0),4)，直线PM与PN的斜率之积为eq\f(y0－0,x0＋2)×eq\f(y0－0,x0－2)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝eq\f(1－\f(x\o\al(2,0),4),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(1,4).第1课时椭圆及其几何性质考点一椭圆的定义及应用【例1】(1)(2024·昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则eq\f(|AF1|,|AF2|)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．3(2)(2024·郑州市质量预料)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是()A.eq\f(16\r(3),3) B.eq\f(32\r(3),3)C．16eq\r(3) D．32eq\r(3)【解析】(1)如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，依据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝eq\f(a,2)，|AF2|＝eq\f(3a,2.).所以eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(1,3).故选A.(2)由椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2知，|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10，在△F1PF2中，由余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，得(2c)2＝m2＋n2－2m·ncos60°，即4c2＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，解得mn＝eq\f(64,3)，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)mnsin60°＝eq\f(16\r(3),3).故选A.【答案】(1)A(2)A方法技巧1椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长和面积、弦长、最值、离心率等.通常定义和余弦定理结合运用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.2椭圆的定义式|PF1|＋|PF2|＝2a中必需强调2a>|F11．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF1,\s\up16(→))⊥eq\o(PF2,\s\up16(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝3.解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，∴b＝3.2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是肯定点，则|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq\r(2)，最小值为6－eq\r(2).解析：椭圆方程化为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝eq\r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－eq\r(2)≤|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2).考点二椭圆的标准方程命题方向1定义法【例2】(2024·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】方法1：由题意设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2(eq\f(1,a))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B.方法2：设|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1②由①②得x＝eq\f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B.【答案】B命题方向2待定系数法【例3】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为________．(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．【解析】(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴椭圆方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,2a＝4c，))又a2＝b2＋c2，∴a＝2eq\r(2)，b＝eq\r(6)，c＝eq\r(2)，∴椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.【答案】(1)eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1(2)eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1方法技巧(1)求椭圆的标准方程多采纳定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要留意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠1．(方向1)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为(A)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：由已知及椭圆的定义知4a＝4eq\r(3)，即a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以c＝1，b2＝2，所以C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.2．(方向2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.解析：设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋eq\f(y2,b2)＝1，∴F1(－eq\r(1－b2)，0)，F2(eq\r(1－b2)，0)．∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，∴A(eq\r(1－b2)，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴eq\o(AF1,\s\up16(→))＝3eq\o(F1B,\s\up16(→))，∴(－2eq\r(1－b2)，－b2)＝3(x0＋eq\r(1－b2)，y0)．∴x0＝－eq\f(5,3)eq\r(1－b2)，y0＝－eq\f(b2,3).∴点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3))).将Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3)))代入x2＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝eq\f(2,3).∴椭圆E的方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.考点三椭圆的几何性质命题方向1椭圆的长轴、短轴、焦距【例4】已知椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8 B．7C．6 D．5【解析】因为椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.【答案】A命题方向2椭圆的离心率【例5】(2024·福建质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋1【解析】不妨设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.故选A.【答案】A命题方向3最值或范围问题【例6】已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的eq\r(2)倍，且过点(2，eq\r(2))．(1)求椭圆的标准方程．(2)若△OAB的顶点A，B在椭圆上，OA所在的直线斜率为k1，OB所在的直线斜率为k2，若k1·k2＝－eq\f(b2,a2)，求eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))的最大值．【解】(1)由已知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2\r(2)b，,\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝2，))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1>0，x2>0.由k1k2＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,2)得k2＝－eq\f(1,2k1)(k1≠0)，直线OA，OB的方程分别为y＝k1x，y＝k2x，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))解得x1＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2k\o\al(2,1)))，同理，x2＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2k\o\al(2,2)))，所以x2＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2k1)))2))＝eq\f(4|k1|,\r(1＋2k\o\al(2,1))).因为eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(1,2)x1x2＝eq\f(4\r(2)|k1|,1＋2k\o\al(2,1))＝eq\f(4\r(2),\f(1,|k1|)＋2|k1|)≤eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2，当且仅当|k1|＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．所以eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))的最大值为2.方法技巧1.求椭圆离心率的方法1干脆求出a，c的值，利用离心率公式干脆求解.2列出含有a，b，c的齐次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程或不等式求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，常常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.1．(方向1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(D)A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以eq\f(1,2)×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2eq\r(b2＋c2)≥2eq\r(2bc)＝2eq\r(2)(当且仅当b＝c＝1时取等号)，即长轴长2a的最小值为2eq\r(2).2．(方向2)(2024·河北省衡水市高三大联考)已知椭圆O：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>eq\r(3))的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线l与椭圆的一个交点为M，右焦点F2关于直线l的对称点为P，若△F1MP为正三角形，且其面积为eq\r(3)，则该椭圆的离心率为(C)A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)解析：设正△F1MP的边长为m，则eq\f(\r(3),4)m2＝eq\r(3)，∴m＝2.又由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4，∴2a＝4，解得a＝2，又由题可知b＝eq\r(3)，∴c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故选C.3．(方向2)(2024·豫南九校联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,