2024-2025学年山东省日照市校际联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省日照市校际联考高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(k,1,2)，b=(k,0,−2)，且a⊥b，则kA.−2 B.2 C.±2 D.±42.直线x+3y−1=0的倾斜角为A.π3 B.π6 C.2π33.直线l：bx+2y+3=0过椭圆C：x210+y2A.−1 B.12 C.−1或1 D.−14.复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,2)，(−1,3)，则|zA.22 B.12 C.15.已知直线l的一个方向向量为m=(−1,−4,2)，平面α的一个法向量为n=(x,−2,1)，若直线l⊥平面α，则x=(

)A.12 B.10 C.−126.已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0及直线l：y=kx−k+2(k∈R)，当直线l与圆C相交所得弦长最短时，直线A.x+y−3=0 B.x−y+3=0 C.x+y−1=0 D.x−y+1=07.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过A.3 B.5 C.78.如图，二面角α−l−β的大小为π3，棱l上有A，B两点，线段AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l.若AC=3，BD=4，CD=7，则线段AB的长为(

)A.5 B.6 C.7 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C：mx2+nA.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n

C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±−mnx

D.若10.下列四个命题中正确的是(

)A.过点(−10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为x+2y−10=0

B.向量a=(4,3)是直线3x−4y−3=0的一个方向向量

C.直线x+y−1=0与直线2x+2y+1=0之间的距离是2

D.圆C111.已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，平面α与对角线AC′垂直，则(

)A.正方体的每条棱所在直线与平面α所成角均相等

B.平面α截正方体所得截面面积的最大值为324

C.当平面α与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值32

D.直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若zz−1=1+i，则z=______．13.已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为______．14.已知双曲线C：y2a2−x24=1(a>0)的上、下焦点分别为F2，F1，点P在C上，且PF2⊥y轴，过点F2作∠四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C过点O(0,0)，A(3,3)，圆心C在直线2x+y−5=0上．

(1)求圆C的方程；

(2)过点B(0,−2)的直线l交圆C于M，N两点，且|MN|=32，求直线l的方程．16.(本小题15分)

如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P为棱DF的中点．

(1)求直线DF与平面APC所成角的正弦值；

(2)求点E到平面BCF的距离．17.(本小题15分)

已知等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，AC与DP交于点O(如图1).将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得二面角D′−AC−P为直角(如图2)．

(1)求平面ABD′与平面BD′C所成角的余弦值；

(2)设点Q为线段PD′上的动点(包含端点)，直线CQ与平面ABD′所成角为θ，求sinθ的取值范围．18.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若以x轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面(如图所示)，则称此时点P，Q在空间中的距离为“点P，Q关于x轴的折叠空间距离”，记为Z(PQ)．

(1)若点A，B，C在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为A(1,2)，B(−2,3)，C(3,−4)，求Z(AB)，Z(AC)的值；

(2)若点D，P在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为D(0,−1)，P(x,y)，已知点P满足Z(DP)=2，求点P在平面直角坐标系xOy中的轨迹方程；

(3)若在平面直角坐标系xOy中，点E(−1,3)是椭圆y212+x219.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，A(0,2)、B(0,−2)、C(6,2)、D(6,0)，若动点R、S满足OR=λOD，CS=λCD(λ∈R)，直线BR与直线AS相交于点P．

(1)求P点的轨迹方程；

(2)已知过点E(−2,0)的直线m(与x轴不重合)和点P轨迹交于M、参考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.1−i

13.1314.215.解：(1)设圆C的标准方程为：(x−a)2+(y−b)2=r2，

由题意可得(0−a)2+(0−b)2=r2(3−a)2+(3−b)2=r22a+b−5=0，解得a=2，b=1，r=5，

所以圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=5；

(2)圆心C(2,1)到直线l的距离为d=r2−(12|MN|)2=16.解：(1)以A为坐标原点，AB,AD,AF方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系，

则D(0,2,0)，F(0,0,1)，A(0,0,0)，P(0,1,12)，C(1,2,0)，

∴DF=(0,−2,1)，AC=(1,2,0)，AP=(0,1,12)，

设平面APC的法向量n=(x,y,z)，

则AC⊥nAP⊥n，则AC⋅n=x+2y=0AP⋅n=y+12z=0，令z=2，解得：x=2，y=−1，n=(2,−1,2)，

∴|cos〈DF,n〉|=|DF⋅n||DF|⋅|n|=45×3=4515，

17.解：(1)等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2AD=2CD=4，

P为AB的中点，AC与DP交于点O(如图1)，

将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得二面角D′−AC−P为直角(如图2)，

如图1，连接PC，∵AP//CD且AP=CD，∴APCD是平行四边形，

而AD=CD，从而APCD是菱形，∴AC⊥DP，

同理DPBC是平行四边形，∴DP=BC=AD=AP，△APD是等边三角形，

DO=OP=1,AO=3=OC，

图2中，D′O⊥AC，PO⊥AC，

∵平面D′AC⊥平面PAC，平面D′AC∩平面PAC=AC，D′O⊂平面D′AC，

∴D′O⊥平面PAC，

以O为原点，OA，OP，OD′为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(3,0,0),P(0,1,0),C(−3,0,0),B(−3,2,0),D′(0,0,1)，

AP=(−3,1,0)，PD′=(0,−1,1)，BD′=(3,−2,1)，BC=(0,−2,0)，

设平面ABD′的一个法向量是m=(x1,y1,z1)，

则m⋅AP=−3x1+y1=0m⋅PD′=−y1+z1=0，取x1=1，则m=(1,3,3)，

设平面BCD′的一个法向量是n=(x2,y2,18.解：(1)若点A，B，C在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为

A(1,2)，B(−2,3)，C(3,−4)，

如图建立空间直角坐标系，

则点A，B，C在空间中的坐标分别为A′(0,1,2)，B′(0,−2,3)，C′(4,3,0)，

∴Z(AB)=(0−0)2+(−2−1)2+(3−2)2=10；

Z(AC)=(4−0)2+(3−1)2+(0−2)2=26．

(2)证明：由题意可知，点D在空间中的坐标为D′(1,0,0)，对P点分类讨论，

①当点P在x轴的上半平面，即y≥0时，点P在空间中的坐标为P′(0,x,y)，

∴Z(DP)=(0−1)2+(x−0)2+(y−0)2=2，化简得：x2+y2=1，(y≥0)，

因此，在平面直角坐标中，点P在x轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆．

②点P在x轴的下半平面，即y<0时，点P在空间中的坐标为P′(−y,x,0)，

Z(DP)=(−y−1)2+(x−0)2+(0−0)2=2化简得：x2+(y+1)2=2，(y<0)，

∴点P的轨迹方程为：x2+y2=1，(y≥0)或x2+(y+1)2=2，(y<0)

(3)①当直线MN不与y轴垂直时，设直线MN的方程为：x=my+t，

M(x1,y1)，N(x2,y2)，kEM=y1−3x1+1,kEN=y2−3x2+1，

联立方程x=my+ty212+x24=1⇒(3m2+1)y19.解：(1)依题意，A(0,2)、B(0,−2)、C(6,2)、D(6,0)，

若动点R、S满足OR=λOD，CS=λCD(λ∈R)，直线BR与直线AS相交于点P，

设点P(x,y)，R(xR,0)、S(6,yS)，

可得点R(6λ,0)，点S(