2024-2025学年河北省石家庄九中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年河北省石家庄九中九年级（上）期中数学试卷一.选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x+2＝0 B．2x2+y﹣1＝0 C．2x﹣3y+1＝0 D．x2﹣x﹣3＝02．（3分）现有50个苹果重量如下：则这些苹果重量的众数和中位数分别是（）重量（g）100120140160数量（个）1015178A．140，120 B．140，130 C．17，16 D．17，1303．（3分）如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1：6的斜坡铺设管道．下列等式成立的是（）A．sinα＝ B．cosα＝ C．tanα＝ D．tanα＝24．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣35．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点△DOE：S△BOA＝4：9，则CE：AD等于（）A．4：9 B．1：3 C．2：3 D．3：26．（3分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（3分）下列命题正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）直径所对的圆周角是直角；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．（3分）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学（）A．x（x﹣1）＝812 B．x（x+1）＝812 C．2x（x﹣1）＝812 D．9．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y210．（3分）已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（）A．（2，0） B．（2，1） C．（3，0） D．（3，1）11．（2分）如图，已知△ABC是半径为1的⊙O的内接三角形，其中∠A＝60°，则AB的长度为（）A． B． C． D．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，BP＝6，∠APC＝30°（）A． B．2 C．2 D．813．（2分）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上（）A． B． C． D．14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）15．（2分）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为（）A． B．2 C． D．16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB为直径作半圆，BP与半圆交于点Q，连结DQ；②；③S△PDQ＝；④，下列结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）17．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，则k的值是．18．（3分）一组数据2、3、5、6、x的平均数正好也是这组数据的中位数，那么x＝．19．（3分）如图，在直角坐标系中，A（3，0），B（0，），则：（1）∠ABO＝°；（2）若D（m，）（m＞0），把Rt△AOB沿着AB翻折得到Rt△AEB，若tan∠AED＝．三、解答题20．（12分）解下列方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）（x+3）2＝2x+6；（3）计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°22．（8分）王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图：（1）根据图中提供的数据列出如下统计表：平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差（S2）王华80b80d张伟a85c260则a＝，b＝，c＝，d＝，（2）将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是．（3）现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？23．（11分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数为交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当y1＜y2时，x的取值范围；（3）在坐标轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．24．（8分）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转180°，CD处可摆放平板或者手机．其中AB＝91mm，BC＝75mm，当手机（CD）与桌面的夹角为55°时，也是多数人操作手机最舒适的角度．（1）如图2，当AB和桌面垂直且BC⊥CD时，可将BC绕点B旋转一定的角度，求此时∠CBA的度数；（2）在（1）的条件下求点D到AB的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．）25．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中的售价26．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．（1）当sinB＝时，①求证：BE＝2CD；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明，请说明理由．（2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，请直接写出线段CD的长．

2024-2025学年河北省石家庄九中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x+2＝0 B．2x2+y﹣1＝0 C．2x﹣3y+1＝0 D．x2﹣x﹣3＝0【解答】解：A、不是整式方程；B、有两个未知数；C、有两个未知数；D、x2﹣x﹣5＝0符合要求．故选：D．2．（3分）现有50个苹果重量如下：则这些苹果重量的众数和中位数分别是（）重量（g）100120140160数量（个）1015178A．140，120 B．140，130 C．17，16 D．17，130【解答】解：∵总数为50，∴中位数为第25和26个数的平均值，∴中位数为（120+140）÷2＝130（g），∵140g的有17个，最多，∴众数为140g．故选：B．3．（3分）如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1：6的斜坡铺设管道．下列等式成立的是（）A．sinα＝ B．cosα＝ C．tanα＝ D．tanα＝2【解答】解：根据坡度的定义可知tanα＝＝．故选：C．4．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x3+3x+m2﹣7＝0中，得m2﹣6＝0，解得m＝﹣3或7，当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝6，故选：B．5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点△DOE：S△BOA＝4：9，则CE：AD等于（）A．4：9 B．1：3 C．2：3 D．3：2【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝AD＝CD＝BC，∴∠EAB＝∠DEA，∠AOB＝∠EOD，∴△DOE∽△BOA，∵S△DOE：S△BOA＝4：9，∴DE：BA＝4：3，∴CE：AD＝1：4，故选：B．6．（3分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝8，x2﹣5x+1＝8+7，（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝±3解得：x3＝4，x2＝﹣8，由上可得，丁同学是错的，故选：D．7．（3分）下列命题正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）直径所对的圆周角是直角；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；（2）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）直径（或半圆）所对的圆周角是直角，故（3）正确；（4）圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线；所以正确的结论只有一个，故选D．8．（3分）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学（）A．x（x﹣1）＝812 B．x（x+1）＝812 C．2x（x﹣1）＝812 D．【解答】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，则可列方程为：x（x﹣1）＝812．故选：A．9．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝π＞0，∴此函数图象的两个分支在一、三象限，∵x1＜x4＜0＜x3，∴A、B在第三象限，∴y7＜0，y2＜7，y3＞0，∵在第三象限y随x的增大而减小，∴y6＞y2，∴y3＞y8＞y2．故选：D．10．（3分）已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（）A．（2，0） B．（2，1） C．（3，0） D．（3，1）【解答】解：如图，作线段AB，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，0）．故选：A．11．（2分）如图，已知△ABC是半径为1的⊙O的内接三角形，其中∠A＝60°，则AB的长度为（）A． B． C． D．【解答】解：连接AO，BO，∵∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，∵AO＝BO＝1，∴，故选：D．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，BP＝6，∠APC＝30°（）A． B．2 C．2 D．8【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝3，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝3，∴CH＝＝，∴CD＝3CH＝2．故选：C．13．（2分）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上（）A． B． C． D．【解答】解：由同弧所对的圆周角相等可得：∠ABC＝∠AED，在直角三角形ABC中，tan∠ABC＝＝，∴tan∠AED＝tan∠ABC＝，故选：C．14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）【解答】解：∵点E（﹣4，2），按7：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣2）或（﹣2．故选：C．15．（2分）如图，将矩形ABCO放在直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（10，8），将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，∴AD＝AB＝10，DE＝BE，∵AO＝8，AD＝10，∴OD＝，CD＝10﹣5＝4，设点E的坐标是（10，b），则CE＝b，DE＝8﹣b，∵CD5+CE2＝DE2，∴32+b2＝（2﹣b）2，解得b＝3，∴点E的坐标是（10，2），∴k＝10×3＝30，∴线段AF的长为：30．故选：A．16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB为直径作半圆，BP与半圆交于点Q，连结DQ；②；③S△PDQ＝；④，下列结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①连接OQ，OD．∵点P是CD中点，正方形ABCD，∴DP∥OB，DP＝OB，∴四边形DOBP是平行四边形，∴DO∥BP，∴∠BQO＝∠DOQ，∠QBO＝∠AOD，∵OQ＝OB，∴∠OBQ＝∠BQO，∴∠AOD＝∠QOD，∵OA＝OQ，OD＝OD，∴△AOD≌△QOD（SAS），则有DQ＝DA＝2．故①正确；②连接AQ．则有，．∵Rt△AQB∽Rt△BCP，∴，∴，∴．故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H．∵△PHQ∽△PCB，∴QH＝，∴S△DPQ＝DP•QH＝×＝．故③正确；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．∵DP∥NQ∥AB，，则有，解得：．由DQ＝1，得．故④正确．综上所述：正确结论是①②③④．故答案为：D．二、填空题（17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）17．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，则k的值是﹣6．【解答】解：连接OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝3，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故答案为：﹣4．18．（3分）一组数据2、3、5、6、x的平均数正好也是这组数据的中位数，那么x＝﹣1，4或9．【解答】解：∵数据2、3、4、6、x的平均数是＝，∴当x＝﹣1时，这组数据的平均数是5；当x＝4时，这组数据的平均数是4；当x＝6时，这组数据的平均数是5；∴x＝﹣1，7或9；故答案为：﹣1，7或9．19．（3分）如图，在直角坐标系中，A（3，0），B（0，），则：（1）∠ABO＝60°；（2）若D（m，）（m＞0），把Rt△AOB沿着AB翻折得到Rt△AEB，若tan∠AED＝．【解答】解：设BD交AE于点F，过点D作DG⊥AE于点G，∵∠AOB＝90°，，OA＝3，∴，AB＝，∴∠OAB＝30°，∠ABO＝60°，∵BF∥OA，∴∠DBA＝∠BAO＝30°，∵∠OBA＝∠EBA＝60°，∴∠EBD＝∠EBA﹣∠DBA＝30°，∵，∴EF＝1，，AF＝AE﹣EF＝2，∵，设，∴EG＝7x，∴，FG＝EF﹣EG＝1﹣2x，∵∠FAB＝∠OAB＝30°，BF∥OA，∴∠BFE＝∠OAF＝60°，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：60，．三、解答题20．（12分）解下列方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）（x+3）2＝2x+6；（3）计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．【解答】解：（1）∵2x2﹣5x+1＝0，∴（3x﹣1）（x﹣1）＝5，则2x﹣1＝2或x﹣1＝0，解得x7＝，x4＝1；（2）∵（x+3）8＝2x+6，∴（x+7）2﹣2（x+3）＝0，则（x+3）（x+2）＝0，∴x+3＝8或x+1＝0，解得x2＝﹣3，x2＝﹣5；（3）原式＝2×﹣4××）2＝1﹣3+3＝2．21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直径，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半径为6．22．（8分）王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图：（1）根据图中提供的数据列出如下统计表：平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差（S2）王华80b80d张伟a85c260则a＝80，b＝80，c＝90，d＝60，（2）将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是张伟．（3）现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？【解答】解：（1）王华10次成绩分别为：80，70，80，90，80，80；按大小顺序排列为：70，70，80，80，90，90；则中位数b＝80；方差d＝×[（80﹣80）2×8+（70﹣80）2×3+（90﹣80）3×3]＝60；张伟的平均成绩a＝＝80（分），90出现了3次，出现的次数最多；故答案为：80，80，60；（2）王华的优秀率为：×100%＝30%，张伟的优秀率为：×100%＝50%，则张伟的优秀率高．故答案为：张伟；（3）∵王华与张伟的平均成绩相同，而张伟的优秀率高于王华，∴可以选张伟参加竞赛．23．（11分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数为交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当y1＜y2时，x的取值范围；（3）在坐标轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b与反比例函数为交于点A（1，B（3．∴3×3＝3m，解得m＝5，∴反比例函数的解析式为，∴B（2，1），将A，B两点坐标代入y1＝kx+b，得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6，∴两个函数的解析式分别为y1＝﹣x+4，；（2）根据题意得，一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求；（3）当P在x轴上时，设P（s，0），∵△OAP的面积为8，∴，∴s＝±4，∴P点坐标为（4，0）或（﹣4，当P在y轴上时，设P（4，t），∵△OAP的面积为6，∴，∴t＝±12，∴P点坐标为（5，12）或（0，综上所述，P点的坐标为（4，6）或（0，﹣12）．24．（8分）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转180°，CD处可摆放平板或者手机．其中AB＝91mm，BC＝75mm，当手机（CD）与桌面的夹角为55°时，也是多数人操作手机最舒适的角度．（1）如图2，当AB和桌面垂直且BC⊥CD时，可将BC绕点B旋转一定的角度，求此时∠CBA的度数；（2）在（1）的条件下求点D到AB的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．）【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，由题意得：∠CDE＝55°，∠DEB＝90°，∵DC⊥BC，∴∠C＝90°，∴∠ABC＝360°﹣∠C﹣∠DEB﹣∠CDE＝125°，∴此时∠CBA的度数为125°；（2）过点C作CF⊥DE于F，过点B作BG⊥CF于G，∴∠DFC＝∠BGC＝90°，由题意得：BG＝EF，∵∠CDE＝55°，∴∠DCF＝90°﹣∠CDE＝35°，∵∠DCB＝90°，∴∠BCG＝∠DCB﹣∠DCF＝55°，∴∠CBG＝90°﹣∠BCG＝35°，在Rt△CDF中，CD＝80mm，∴DF＝DC•sin35°≈80×0.57＝45.6（mm），在Rt△BCG中，BC＝75mm，∴BG＝BCcos35°≈75×6.82＝61.5（mm），∴DE＝DF+EF＝DF+BG＝45.6+61.3≈107（mm），答：点D到AB的距离约为107mm．25．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中的售价【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元＝（140﹣2x）件，依题意，得：（x﹣40）（140﹣8x）＝（60﹣