（详解详析）2024年河南南阳二模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南南阳二模·数学详解详析一、选择题1.A【解析】∵|−50|＝50，|−60|＝60，|−70|＝70，|−80|＝80，50＜60＜70＜80，∴信号最强的是−50.2.D【解析】如图题所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，将它在水平面内逆时针旋转90°后，旋转后模型的主视图是.3.B【解析】296299亿＝29629900000000有14个位数，根据科学记数法要求表示为2.96299×1013.4.C【解析】(a−b)(−a−b)＝b2﹣a2，故选项A错误；2a3+3a3＝5a3，故选项B错误；6x3y2÷3x＝2x2y2，故选项C正确；(−2x2)3＝−8x6，故选项D错误.5.B【解析】如图，∵a∥b，∠1＝135°，∴∠CDG＝180°

−∠1＝45°，∴∠FDH＝∠CDG＝45°，∵∠2＝23°，∴∠3＝∠FDH

−∠2＝22°．6.C【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠BEC＝35°，∴∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BEC＝35°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+35°＝125°．7.A【解析】根据定义新运算，得x2−x＝k，即x2−x−k＝0，∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(−1)2

−4×(−k)＞0，解得k＞8.B【解析】将4位数学家的画像分别记为A、B、C、D，列表如下：ABCDA—（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）—（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）—（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）—由表格可知共有12种等可能的结果，其中至少有一幅是中国数学家的结果有（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共10种，∴至少有一幅是中国数学家的概率是10129.D【解析】由题意，∵二次函数为y＝(x+h)2+k，∴其图象的顶点坐标为（﹣h，k），又∵由图象可知，顶点在第三象限，∴﹣h＜0，k＜0，∴h＞0，k＜0，∴点P（h，k）在第四象限．10.C【解析】∵四边形ABCD为边长为4的正方形，M是边BC的中点，∴BM＝CM＝12BC＝2，∴当点P运动到BM的中点时，BP＝PM＝1，∴CP＝3，此时AB+BP＝5，即x＝5，∴

S正方形ABCD＝4×4＝16，S△CDP=12×4×3＝6，∴y＝166二、填空题11.y＝x+1（答案不唯一）【解析】∵当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，且该函数图象经过点（0，1），∴该函数可以为一次函数，设该一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＞0，b＝1，取k＝1，此时一次函数的表达式为y＝x+1．（答案不唯一，合理即可）12.R【解析】∵1R＝1R1+1R2，即1R113.x【解析】每个甜果的价格＝119（文），每个苦果的价格＝47（文），设甜果买x个，苦果买y个，根据题意，得x+14.5【解析】∵DA，CD是⊙O的切线，∴AD＝CD=103，∠BCO＝∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝8，∴BD＝AB2+AD2＝82+(103)2＝263，∴BC＝BD+CD＝263+103＝363＝12，OB=OA+AB=OA+8.在Rt△OBC中，OC215.113或【解析】∵∠ABC＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，由折叠可得∠FDE＝∠ADE＝60°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴分两种情况：①如图①，当∠BFD＝90°时，点F在△ABC内，∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DF，由折叠的性质得DF＝AD，∴BD＝2AD，∴3AD＝12，∴AD＝4.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

ADAB=AEAC，即412=AE11，∴AE=113；②如图②，当∠DBF＝90°时，点F在△ABC外，同理可得AD＝DF＝2BD，∴3BD＝12，∴BD＝4，∴AD＝AB﹣BD＝12﹣4＝8.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AE

答案图①

答案图②三、解答题16.解：（1）原式＝1－4+4

＝1；

（2）由①得，x＞−1，由②得，x＜3，∴原不等式组的解集为−1＜x＜3，∴它的所有整数解为0，1，2．17.解：（1）30，3.6，3.5；【解法提示】d%＝310×100%＝30%，∴d＝30，平均数e＝1×1+2×1+3×3+4×2+5（2）∵投中次数所占百分比不低于20%的记为“最多投中数”，∴40名学生能达到“最多投中数”的人数为40×（20%+20%+30%）＝28（人），答：八年级（3）班共有40名学生，估计全班同学能达到“最多投中数”的有28名；（3）八（3）班同学的投篮水平更高一些.理由：∵两个班投中次数的平均数相同，但八（3）班投中次数的众数比八（6）班的高，且投中次数的方差小于八（6）班，水平比较稳定，∴八（3）班同学的投篮水平更高一些.18.（1）解：如图，直线AF即为所求（作法不唯一）；（2）∵AF∥BC，∴∠AFD＝∠BED，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，在△AFD和△BED中，∠A∴△AFD≌△BED（AAS），∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形AEBF是平行四边形，∴AE∥BF．19.解：（1）由题意得，CO＝3，OA＝4，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，则点D（−2，4），将点D的坐标代入反比例函数表达式得k＝−2×4＝

−8，∴该反比例函数表达式为y

＝−（2）由点A、B、C的坐标得，AC

＝CO2+OA2＝又∵有旋转的性质得，∠EAC=90°，∴

CE⏜

=∴阴影部分的周长为AE+AB+BC+

CE⏜

（3）如图，过点E作EH⊥y轴于点H，∵∠COA＝∠EHA＝∠CAE＝90°，∴∠CAO+∠AHE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠EAH，∵AC＝AE，∴△COA≌△AHE（AAS），∴OC＝AH，OA＝HE，∵CO＝3，OA＝4，则AH＝OC＝3，EH＝OA＝4，∴OH＝OA

−AH则点E（−4，1），设直线CE的函数表达式为y＝ax+b（a≠0），由点C、E的坐标得，

−4解得

a＝∴直线CE的函数表达式为y

＝−17x20.解：如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，由题意得CD＝EF＝10cm，DF＝CE，∵斜坡BC的坡度为1:∴

BE在Rt△BCE中，tan∠BCE

＝B∴∠BCE＝30°.∵BC＝100cm，∴BE

＝12BC＝50（cm），CE＝DF＝3BE＝503（在Rt△ADF中，∠ADF＝65°，∴AF＝DF•tan65°≈50

3×2.14＝1073（cm∴AB＝AF+EF

−BE＝107

3+10

−50＝107

×1.73+10−50≈145∴景观树AB的高度约为145cm．21.解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（15，700）、（25，500）代入上式，得

15k解得

k＝∴y关于x的函数表达式为y＝

−20x+1000（10≤x≤30）；（2）依题意有(x−10)(−20x+1000)＝6000，解得x1＝20，x2＝40，∵10≤x≤30，∴x＝20；答：该书的销售单价为20元；（3）销售该书每天的利润不能达到9000元．理由如下：根据题意得(x−10)(−20x+1000)＝9000，整理得x2

−60x+950＝0，∵

b2−4ac＝602−4×1×950＝∴该方程没有实数根，∴销售该书每天的利润不能达到9000元．22.解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，16），A（0，10），∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x−4）2+16（a

<0）．将点A（0，10）代入，得10＝a（0−4）2+16．解得a＝−∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为y＝−38(x

−4)（2）不能．理由如下：由题意得，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是由第一次抛物线向左平移2个单位得到的，∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为y

＝−38(x﹣4+2)2+16

＝−38(令x＝0，得y

＝−32+∵14.5＜15，∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B（0，15），∴水流不能到达B（0，15）处．23.解：（1）如解图①，过点M作MK⊥AD于点K，交BC于点L，∵△PCE和△BCM都是等边三角形，∴CE＝CP，CB＝CM，∠PCE＝∠MCB＝∠MBC＝60°，∴∠PCE+∠PCB＝∠MCB+∠PCB，即∠BCE＝∠MCP，在△BCE和△MCP中，

CE∴△BCE≅△MCP（SAS），∴BE＝MP，∴当MP最小时，BE最小.∵M为定点，∴当MP⊥AD时，即点P与点K重合时，

MP最∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，∴∠AKL＝∠A＝∠ABC＝90°，∴四边形ABLK是矩形，∴KL＝AB＝3，在Rt△MCL中，ML＝CM•sin∠MCB＝6sin60°＝3

3，∴MK＝ML+KL＝3

3+3∵此时BE＝MP＝MK，∴BE的最小值为3

3+3（2）62；【解法提示】如解图②，以BC为边向下作正方形BCKL，连接BK、CL交于点O，连接OP，CG，过点O作OP′⊥AD于点P′，交BC于点T，∵四边形CPGF、BCKL是正方形，BC=6，∴∠PCG＝∠BCO＝45°，CG

=2CP，OC＝OB

=22BC＝3

2，△BOC是等腰直角三角形，∴∠PCG+∠PCB＝∠BCO+∠PCB，即∠BCG＝∠OCP，∵

CGCP=BCOC=2，∴△BCG∽△OCP，∴

BGOP=CGCP=2，∴BG

=2OP，∴当OP取得最小值时，

BG最小=2OP最小，∵点O为定点，∴当OP⊥AD时，即点P与点P′重合时，

OP最小＝OP′.∵BC∥AD，∴OP′⊥BC，即∠CTO＝90°，∴OT＝OC•sin∠BCO＝3

2sin45°＝3.∵∠A＝∠ABC＝∠AP′O＝90°，∴四边形ABTP′是矩形，∴TP′＝AB＝3，（3）3+33.【解法提示】如解图③，连接CI、PH交于点O，在BC下方作射线BM、射线CN，使∠CBM＝∠BCN＝30°，射线BM、射线CN交于点Q，过点Q作QP′⊥AD于点P′，交BC于点K，连接PQ，∵四边形PCHI是菱形，∠CPI＝120°，∴PH⊥CI，PC＝PI，∠PCI＝∠PIC＝30°，CI＝2CO，在Rt△CPO中，CO＝PC•cos∠PCI＝PC•cos30°

=32PC，∴CI＝2CO

=3PC.∵∠CBQ＝∠BC