第03讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅱ卷，第10题,6分圆中切线问题切线长根据抛物线方程求焦点或准线直线与抛物线交点相关问题2023年新I卷，第6题,5分圆中切线问题给值求值型问题余弦定理解三角形2022年新I卷，第14题,5分圆的公切线方程判断圆与圆的位置关系2021年新I卷，第11题,5分切线长直线与圆的位置关系求距离的最值2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解2.熟练掌握圆系方程的快速求解【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习知识讲解一、圆中切线问题已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;已知圆方程为圆:.(1)过圆上的点的切线方程为.(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.4.过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度一般方程(标准方程)二、常见的圆系方程1、同心圆圆系(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;(2)与圆同心圆的圆系方程为:;2、过线圆交点的圆系过直线与圆交点的圆系方程为:;3、过两圆交点的圆系过两圆交点的圆系方程为,此圆系不含)(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:考点一、过圆上一点的切线问题1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程【答案】【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，不成立；当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，圆心到直线的距离等于半径为：，解得，所以直线方程为：，即.故答案为：.2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．故选：B．1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为.【答案】【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解.【详解】点在圆上,圆心为，，所以切线的斜率，则过点的圆的切线方程为,即.故答案为：.2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解.【详解】将圆的方程化为标准方程得，∵点在圆上，∴点P为切点．从而圆心与点P的连线应与切线垂直．又∵圆心为，设切线斜率为k，∴，解得．∴切线方程为．故选：D.考点二、过圆外一点的切线问题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为【答案】或【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.【详解】圆：即，圆心为，半径，当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，解得，所求切线方程为，综上可得过点与圆相切的直线方程为或.故答案为：或2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即；斜率不存在时，，显然与圆相切，综上，切线方程为或．故选：D．3．（2023·全国·模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出切线方程，然后根据圆心到直线的距离等于半径求出斜率，然后根据几何图形的性质得答案.【详解】由题可得，圆的圆心为，半径．易知切线的斜率都存在，设切线的方程为，即，圆心到切线的距离，解得或，如图，设点在点下方，，（提示：由圆的性质可知）．

另法：由题可得，圆的圆心为，半径．易知直线是圆的一条切线，不妨设切点为，则．又（提示：圆的切线的性质），．故选：A．1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外，，即，则其圆心为，半径为1，当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去，则设切线方程为：，即，则有，解得，此时切线方程为.故选：C.2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过向圆作切线，切线方程为（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，由到切线距离为得，此时切线方程为即.故选：C3．（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出，进而求出即可.【详解】解法1：如图，圆，即，则圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，连接.因为，则，得，则，即为钝角，且为锐角，所以.故选：A.解法2：如图，圆，即，则圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，连接.因为，则，因为，且，则，即，解得，即为钝角，且为锐角，则.故选：A.解法3：圆，即，则圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到切线的距离，解得，所以，又为锐角，由解得.故选：A.考点三、切点弦方程1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为.【答案】【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程.【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为:，化简得：.故答案为：.2．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离.【详解】由图可知，，，则四点共圆，圆的直径是，点，，，的中点坐标为，所以四边形的外接圆的方程为，即，圆，两式相减得直线的方程，则原点到直线的距离.故选：A1．（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：利用直线，得出，在中，利用几何关系求出及，进而可求出点到直线MN的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出结果；方法二：利用直线为圆和以AC为直径的圆的公共弦，求出以AC为直径的圆，即可求出结果.【详解】由题意得直线垂直平分线段，又圆：，所以圆心，，又由，得直线AC的斜率，所以直线MN的斜率，可设直线的方程为，又，在中，，，得到，则点到直线MN的距离，即，解得或，当时，直线MN与圆C相离，不符合题意，所以直线MN的方程为．

一题多解

因为分别是圆C的切线，所以，所以点在以AC为直径的圆上．因为，所以以为直径的圆的圆心为，半径为故以为直径的圆的方程为，又因为圆C：，所以直线MN的方程为，化简得，故选：B．2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为.【答案】【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为：，化简得：.故答案为：.考点四、切线长1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，PQ取得最小值，由此即可求解.【详解】由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为，设点到圆心的距离为，则有，所以，所以取最小值时，PQ取得最小值，因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，所以，故PQ的最小值为.故选：B2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.【详解】连接，则，而PC的最小值为点C到直线l的距离，所以.故选：A.1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.【详解】由圆的方程，得圆心，半径，如图，切线长，当最小时，最小，最小值为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值.故选：C.

2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．3【答案】C【分析】求出切线长，得出PC最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得.【详解】连接，则，当PC最小时，最小，又圆的圆心为1,0，半径为，则，故的最小值为.故选：C.考点五、圆中的公切线问题（含根轴）1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.【详解】解：，圆心，半径，，圆心，半径，因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，由方程组解得，故圆与圆的切点坐标为，故公切线方程为，即．故选：A.2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.【详解】由题知，两圆半径，所以，故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，当直线过的中点，且与垂直时，因为，所以直线的方程为，即；当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，所以，解得或，所以直线的方程为或．故选：ABC．1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为．【答案】【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得.【详解】圆的圆心为1,0，半径为1，圆的圆心为，半径为6，因为，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆化为一般式得：，，两式相减得，即，所以圆的公切线的方程为.故答案为：2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是．【答案】【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程.【详解】设圆的圆心为，半径为，则，，设圆的院系为，半径为，则，，所以，所以两圆内切.联立方程，解得，所以两圆的公切线方程为.故答案为：.考点六、圆系方程1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为.【答案】【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线.【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上，设圆的切线为，即，所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为.故答案为:.2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为．【答案】【分析】由题意可设经过点，的圆的方程，化简整理可得圆心为，圆和圆方程相减，求出直线的方程，再把圆心代入直线的方程求出的值即可．【详解】由题意可设经过点的圆的方程为，整理得，则圆心为．圆①，圆②，由①-②得，，即直线的方程为．因为为直径，圆心在直线上，所以，解得，故以为直径的圆的方程为．故答案为：．1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（

）A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，）B．直线的方程为C．线段的长为D．两圆有两条公切线与【答案】CD【分析】根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到为两圆的公切线，得到关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确.【详解】对于A中，圆系方程（其中，）此时不含圆M，所以A错误．对于B选项，联立方程组，两式相减得到直线AB的方程为，所以B错误．对于C中，原点O到直线AB的距离为，根据勾股定理得，所以C正确．对于D中，由圆，可得，可得圆的圆心坐标为，半径为，又由圆，可得圆心，半径为，可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，由和，可得两圆心所在直线为，即，联立方程组，解得，即交点坐标为，在直线上任取一点，设点关于直线对称点为，可得，解得，即对称点的坐标为，所求的另一条切线过点，，可得其方程为，故所求切线方程为或，所以D正确.故选：CD.

一、单选题1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可.【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程，易知圆心，半径，所以到的距离为，解之得，即切线.故选：A2．（2023高三·全国·专题练习）过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据圆的切线的特点求出的长，然后得出以为圆心，长为半径的圆的方程，两圆的交点就是、，再把两圆的方程作差即可求出直线的方程.【详解】把（1）转化为，圆心，半径，则，，圆的方程为（2），（1）（2），得．故选：B.二、填空题3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为．【答案】【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.【详解】由题知，，则切线斜率，所以切线方程为，整理为．故答案为：4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则．【答案】【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，即可得解.【详解】如图所示，设圆心为点，则，，则点在圆上，且，由与圆相切可得，所以切线方程为，令，解得，故，所以故答案为：.5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为.【答案】【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解.【详解】由圆，可得圆心，半径，设切点为，因为，可得，所以切线长为.故答案为：.6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为．【答案】（或写为）【分析】分析可知，点在圆上，根据圆的几何性质可知，求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角.【详解】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为，由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，则，故.即直线的倾斜角为（或）.故答案为：（或写为）.7．（2023·江西·二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程：.【答案】或【分析】由题可知两圆相交，两圆有2条公切线，求出切线与两圆圆心连线的交点，点斜式设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径，计算即可.【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为，如图所示，则，即，所以，解得，所以，设公切线l︰，所以圆心到切线l的距离，解得，所以公切线方程为，即或.故答案为：或8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.【答案】（或或，写出一个即可）【分析】根据题意，得到圆与圆相外切，将两圆的方程相减，求得其中一条公切线的方程，再由圆与圆的半径相等，得到外公切线与平行，求得，设，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可得到公切线的方程.【详解】由题意得，圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，因为，可得，所以圆与圆相外切，将两圆的方程相减，可得，此方程为圆与圆的公切线，又由圆与圆的半径相等，故外公切线与直线平行，因为，所以圆C与圆D的外公切线的方程可设为，即，则，解得或，所以两条外公切线的方程为或，综上所述，圆C与圆D公切线的方程为或或.故答案为：或或.

9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为.【答案】或【分析】若直线斜率存在，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解,若直线斜率不存在，直接验证可得答案.【详解】圆的方程为，即.因为，所以点P在圆外，若直线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为，即所以，解得.所以切线方程为，若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意.综上过点的圆的切线方程为或故答案为：或三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程．【答案】【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案.【详解】圆，圆心，半径，圆，其圆心，半径，，∴这两圆外切，∴，可得，∴所求的两圆内公切线的方程为：．一、单选题1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.【详解】由两圆方程得：圆心，，半径，两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，，解得：或，即公切线方程为：或；，与平行的公切线方程为，即，，解得：，即公切线方程为或；综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.故选：C.2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式、四边形的性质进行求解即可.【详解】化为标准方程为，所以，圆的半径为，设：，由直线与圆相切得，解得，：，令得，若，交于点，且，设原点为，因为，，所以四边形对角互补，点，，，都在圆上，点为线段的中点，，直线的方程为，到直线的距离为；若，设与轴交于点，四边形是等腰梯形，对角互补，点，，，都在圆上，此时点既在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以，此时直线的方程为，到直线的距离为，故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的切线性质、四点共圆的性质.3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.【详解】设点P的坐标为，如图所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得.故选：D4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（

）A．2 B． C．2 D．【答案】B【分析】把四边形面积转化为和的面积的和，而和均为直角三角形且面积相等，进而面积的最小值转化为求最小，由此求得答案.【详解】圆M的方程可化为，所以x轴与圆M相离.又，且和均为直角三角形，，为圆的半径，且，所以面积的最小值转化为求最小，当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值，此时，所以四边形面积最小值为.故选：B.

5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由题意确定当三点线时，最大，进而得到即可得解.【详解】，当最大时，也即取最大，因为，在直角三角形中，当最短时，最大，又，当且仅当三点线时最小，此时，，所以直线的斜率为.故选：.二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C：，P是直线l:上的一个动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（

）A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1C．的最小值为 D．直线AB恒过定点【答案】BCD【分析】用点到直线的距离可判断A，由圆的切线长可判断B，用面积法可判断C，两圆联立得直线方程，可判断D.【详解】如图，由圆C：，可知圆心，半径．对于A，圆心到直线l：的距离为，则圆上任意一点到直线l的距离的取值范围为．而，所以圆C上有两个点到直线l的距离为．故A错误．对于B，由圆的性质可得切线长，所以当最小时，最小．故B正确．对于C，四边形ACBP的面积，，而，故．故C正确．对于D，设，因为PA，PB为过点P的圆C的切线，所以点A，B在以PC为直径的圆D上．圆D上任意一点满足，则以PC为直径的圆为，即，与圆C：联立，两式相减得直线AB的方程为．由得即直线AB恒过定点．故D正确．故选：BCD.

7．（2023·广西·模拟预测）已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（

）A．直线与圆相离B．圆上有2个点到直线的距离等于1C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点【答案】ABD【分析】A、B应用点线距离公式求圆心到直线的距离，结合圆的半径，判断直线与圆的位置及点到直线的距离等于1的个数；C由圆切线性质求最小切线长；D设点Px0,y0，写出以为直径的圆，结合已知圆求公共弦的方程为，进而求定点即可判断.【详解】A：圆：的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．正确；B：圆心到直线的距离，所以，则圆上有2个点到直线的距离等于1，正确；C：由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，错误；D：设点Px0,y0，，，所以四点，，，共圆，以为直径，圆心为，半径，圆的方程为，又圆：，两圆相减得，所以直线的方程为，因为点Px0,y0所以，整理得，由，得，所以直线过定点，正确．故选：ABD

三、填空题8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.【答案】或或（答案不唯一）【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果.【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，即两圆外离，故共有4条公切线；又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线.设过原点的公切线为，则，即，解得或，所以公切线为或；设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1，则，即，所以公切线为.故答案为：或或9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为【答案】【分析】求出圆的圆心坐标及半径，再利用切线的性质结合已知求解即得.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设点，因为分别切圆，圆于点，且，于是，则，整理得，所以动点P的轨迹方程为.故答案为：10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为．【答案】【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用PC的最小值，即可求解.【详解】如图，连结，，，和交于点，，因为，所以,设，易知其在0,+∞为增函数，则PC的最小值为圆心到直线的距离，所以的最小值为，那么的最小值为.故答案为：1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确；B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B选项正确；C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确.方法二：（设点直接求解）设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即