离散系统的极小值原理

极小值原理离散系统的极小值原理目录离散欧拉公式离散极小值原理随着数字计算机日益普及，计算机控制系统日益增多，因此，离散系统最优控制问题的研究显的十分重要，其原因是，一方面许多实际问题本身就是离散的，另一方面，即时实际系统是连续的，但为了对连续系统采用计算机控制，需要把时间整量化，从而得到一离散化系统。1离散欧拉方程当控制序列不受约束时，可以采用离散变分法求解离散系统的最优控制问题，得到离散极值的必要条件——离散欧拉方程。设描述离散系统的状态差分方程为：

（3-1）

式中是离散时刻的维状态；是的维控制向量；是维向量函数序列，对于等间隔采样，，为采样周期；为数据窗口长度。离散最优控制问题中，性能指标取为如下：（3-2）式中是第个采样周期内性能指标的增量。设式（3-1）和式（3-2）构成的离散最优控制问题存在极值解，记为和，则在极值解附近的容许轨线和容许控制可以表示为（3-3）式中、和分别是、和的变分。将式（3-3）代入式（3-2）得离散性能泛函：（3-4）当不考虑式（3-1）所示的等式约束时，为了求得上述离散拉格朗日问题的极值解，对式（3-4）取离散一次变分：（3-5）……可得离散泛函极值的必要条件：（3-6）以及（3-7）式（3-6）为向量差分方程，常称为离散欧拉方程。而式（3-7）则是相应的离散横截条件。[例]设一阶离散系统及其边界条件为：性能指标试求使性能指标为极小的最优控制序列和相应的最优状态序列。[解]应用拉格朗日乘子函数，构造广义离散泛函：则原泛函在状态差分方程等式约束下的条件极小问题化为广义泛函的无条件极小问题。这时：因为：所以由离散欧拉方程（3-6）可得：其中为待定的常数。将代入状态差分方程，有用迭代法求解上述差分方程，有：代入已知边界条件，解得：因此，该离散系统的最优控制与最优轨线分别为：总结应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。2离散极小值原理庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果是失败的。离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。离散极小值原理可以叙述如下：

[定理3-7]（关于离散系统末端状态受约束）

[定理3-8]（关于离散系统末端状态自由）[定理3-7]（关于离散系统末端状态受约束）设离散系统状态方程（3-8）性能指标（3-9）式中、和都是其自变量的连续可微函数，，。控制有不等式约束：，其中为容许控制域。末端状态受下列等式约束限制：（3-10）式中

若是使性能指标（3-9）为最小的最优控制序列，是相应的最优状态序列，则必存在维非零常向量和维向量函数，使得、和满足如下必要条件：①和满足下列差分方程（3-11）（3-12）式中离散哈密顿函数（3-13）②和满足边界条件（3-14）（3-15）（3-16）③离散哈密顿函数对最优控制取极小值（3-17）若控制变量不受约束，即可以在整个控制空间中取值，则极值条件为（3-18）[定理3-8]（关于离散系统末端状态自由）设离散系统状态方程性能指标式中、和都是其自变量的连续可微函数，，。控制有不等式约束：，其中为容许控制域。末端状态自由。若是使性能指标为最小的最优控制序列，是相应的最优状态序列，则必存在维向量函数，使得、和满足如下必要条件：①和满足下列差分方程式中离散哈密顿函数②和满足边界条件③离散哈密顿函数对最优控制取极小值若控制变量不受约束，即可以在整个控制空间中取值，则极值条件为例已知离散系统性能指标求使性能指标达到极小的最优控制序列。[解]本例，末态自由，可用定理3-8求解。令离散哈密顿函数因为所以即：因此：根据状态方程可得：根据已知的，最后求得最优轨线、最优控制和最优性能指标为：离散与连续极小值原理的比较离散系统最优