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文档简介

函数的间断点知识回顾

间断点的定义

间断点的类型

函数的间断点按其单侧极限是否存在，分为第一类间断点与第二类间断点设

是函数

的间断点，定义2.8

如果单侧极限

及

中至少有一个不存在，则称

为第二类间断点。第一类间断点（1）分析：函数

处无定义，故

是间断点。由于

，可知

都存在，因此

是它的第一类间断点。

则函数在

处连续，因此把

称为该函数的可去间断点。第一类间断点（2）

但

，因此

是它的第一类间断点。

分析：第一类间断点（3）由于

，故

不存在，因此

是函数的第一类间断点。从图可知，该函数在

处产生跳跃现象，因此

为该函数的跳跃间断点。第一类间断点包含可去间断点和跳跃间断点两种第一类间断点oyx

若

称

为可去间断点可去型

若

称

为跳跃间断点第二类间断点（1）分析：由于函数在

处无定义，又

，知左、右极限都不存在，因此

是函数的第二类间断点。因为

，所以我们也称

为函数的无穷间断点。第二类间断点（2）

因此

是函数的第二类间断点。

由图可知，函数图像在

附近发生振荡现象，所以我们也称

为函数的振荡间断点。第二类间断点

闭区间上连续函数的性质定理2.14（最值定理）若函数

在闭区间

上连续，则函数

在

上有最大值和最小值。几何解释M

byx

m闭区间上连续函数的性质

若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断点，结论还成立吗？拓展思考

由此可得，非闭区间内的连续函数，或在闭区间上有间断点的函数，在这些区间内不一定有最值。

闭区间上连续函数的性质定理2.15（介值定理）

若函数

在闭区间

上连续，且

，若

为介于

与

之间的任何实数，则至少存在一点

，使得

。几何解释yxbMm

定理2.16（零点存在定理）闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质零点存在几何意义表明：

例题讲解

证明：（1）构造函数

设例2.34证明方程

在0与

之间有实根。（3）判断端点值异号

，

根据零点存在定理知，至少有一个

使得

。

因为

在

内连续，所以

在

上也连续（4）得出结论（2）验证闭区间连续所以方程

在0与

之间有实根。例题讲解

证明：（1）构造函数

设（3）判断端点值异号

，

根据零点存在定理知，至少有一个

使得

。

因为

在

内连续，所以

在

上也连续（4）得出结论（2）验证闭区间连续课后习题证明方程

在区间

内至少有一根。所以方程

在区间

内至少有一根。小结间断点第一类间断点第二类间断点及都存在及至少有一个不存在可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点

单侧极限有一个为振荡小结一、闭区间上连续函数的性质二、利用零点存在定理判断根的存在性前提条件：闭区间、连续函数最值定理、介值定理和零点存在定理步骤：构造函数1验证闭区间上连续2判断端点值异号3得出结论4学有所思

讨论函数

的连续性，并画出图形，若有间断点，指出间断点的类型。学有所思证明：方程

（其中

，

）至少有一个根，且不大于

。升学直通车

1.，则

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