高等数学（工科类）课件 第六章 向量与空间解析几何

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）情景与问题图6-1分析数控机床坐标系用右手笛卡儿坐标系作为标准确定.对于数控车床而言，通常把传递切削力的主轴定为Z轴，其中远离工件的装夹部件方向为Z轴的正方向，接近工件的装夹部件方向为Z轴的负方向.X轴一般平行于工件装夹面且垂直于Z轴.X轴在工件的径向上，且平行于横向滑座，刀具远离工件旋转中心的方向为X轴的正方向，刀具接近工件旋转中心的方向为X轴的负方向.最后根据右手定则确定Y轴的正方向，如图6-1所示.引例1数控机床是指采用数字控制技术对机床的加工过程进行自动控制的一类机床.由于数控机床的加工是由程序控制完成的，所以坐标系的确定与使用非常重要.试了解数控机床的坐标系确定标准.引例2学校新购置了一批投影仪，需要在教室内进行安装，教室长16m、宽8m、高3m.若综合各种因素，该批次投影仪的最佳投影距离（即投影仪与幕布中心的距离）为5m,且投影仪安装后支架与墙顶距离为20cm，试问投影仪吊装到屋顶墙面的什么位置最好？分析

假设幕布的中心就在教室墙面的正中心，投影仪安装应该在教室屋顶墙面的竖向中心线上.要达到最佳投影距离，就应满足安装后投影仪与幕布中心的距离恰好为5m.显然，教室是空间立体结构，需要考虑如何计算投影仪和幕布中心两者间的最佳距离，最终求解出投影仪的最佳安装位置.下面，我们就通过对空间直角坐标系的学习来解决如上类似问题.抽象推理6.1.1空间直角坐标系及点的坐标过空间定点

作三条互相垂直的数轴，它们都以

为原点且具有相同的长度单位，这三条互相垂直的数轴分别叫做

轴、

轴和

轴，统称为坐标轴，

称为坐标原点.坐标轴的正向符合右手规则(见图6-2)：即以右手拇指指向

轴正向，其余四指从

轴的正向旋转

角度正好转到

轴的正向.这样就构成了一个空间直角坐标系，称为右手直角坐标系，也称为

坐标系，记作图6-2在空间直角坐标系中，任意两条坐标轴可以确定一个平面，称作坐标面，即面、面、面.这三个坐标面将空间分割成八个部分，每一个部分称作一个卦限，如图6-3所示.设为空间任意一点，过分别作垂直于三个坐标轴的平面，与三个坐标轴分别相交于点、和，这三个点在三个坐标轴上的坐标分别为、和，则点唯一确定了有序数组、和，用表示.反过来，如果给定一有序数组，和它们分别对应轴、轴和轴上的点、和，过这三点分别作三个坐标轴的垂面，则这三个平面相交于唯一点.这样,空间的点与有序数组之间建立起了一一对应的关系.称为点的坐标，其中三个数、和分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．比如，原点的坐标为，轴、轴和

轴上点的坐标分别为、和.、和平面上的点的坐标分别为、和，如图6-4所示.图6-4图6-36.1.2空间两点间距离公式设和是空间两已知点，分别过和作平行于三个坐标面的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如图6-5所示.假设之间的距离为，则于是空间两点间的距离公式为：图6-5拓展：欧式距离也称欧几里得距离，以古希腊数学家欧几里得命名，是最常见的距离度量，衡量的是多维空间中两个点之间的绝对距离，也是我们直观的“两点之间直线最短”的直线距离。二维空间中的欧式距离就是平面两点之间的距离，公式为：

三维空间中的欧式距离的就是空间两点之间的距离，公式为：

推广到维空间，若两点间坐标为和，则欧式距离公式就是：

例1

求两点

，

之间的距离.解例2设点在轴上，它到的距离为到点距离的倍，求点的坐标.解因为点在轴上，设点坐标为，由题意有以，，于是

故所求点为或探究：北斗卫星导航系统北斗卫星导航系统是国家重大科技工程，工程自1994年启动，2000年完成北斗一号建设，2012年完成北斗二号建设，2020年北斗三号建成并开通服务.至此，我国成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家.随着北斗系统建设和服务能力的发展，相关产品逐步渗透到人类社会生产和人们生活的方方面面，为全球经济和社会发展注入新的活力.目前，全球已有120余个国家使用北斗系统.2022年上半年，仅手机地图导航中，北斗定位服务日均使用量已突破1000亿次.那么，你知道卫星定位导航系统是如何实现精准定位的么？图6-6卫星导航使用的是“三球交汇”原理（如图6-6所示）.用户接收机在某一时刻同时接收三颗以上卫星信号，测量出用户接收机至三颗卫星的距离，通过星历解算出卫星的空间坐标，利用距离交会法就能解算出用户接收机的位置.应用与实践案例1结晶体的基本单位称为晶胞(图6-7是食盐晶胞的示意图).其中×点代表钠原子，黑点代表氯原子.建立空间直角坐标系后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.解把图中的钠原子分成上、中、下三层来标示它们所在位置的坐标.下层的原子全部在面上，所以这五个钠原子所在位置为：，，，，；中层的原子所在的平面平行于面，与轴交点的竖坐标为，所以这四个钠原子所在位置的坐标分是，，，；上层的原子所在的平面平行于面，与轴交点的竖坐标为1，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是

，，

，，.图6-7案例2引例1的求解.解首先将教室置于空间直角坐标系中（如图6-8所示）.根据已知，设所求投影仪坐标为，幕布中心点坐标为.由空间两点间距，解得.因此，投影仪的最佳安装位置为空间坐标处.图6-8情景与问题引例1如果两个人共同提一个重物，为什么夹角越大越费力，你能从数学的角度解释这个现象么？分析如图6-9所示，同样大小的力作用于一个物体，显然，夹角越大其向上的分力越小，要想将物体提起就需要更大的力气.引例2一个物体在常力作用下，沿直线从移动到，求力所作的功.分析根据物理知识，假设物体的位移为，力和位移的夹角为，则力所做的功为.在实际应用中，常常会遇到类似这种形式的运算，在数学中把它称作两向量的数量积.图6-9引例3试分析运动电荷在磁场中受到洛伦兹力的作用.分析由中学的物理知识知道，如果一个运动的单位正电荷在磁场中所受的力为，则它的大是，其中是带点粒子的速度，是磁场强度，是指与之间的夹角.力的方向垂直于和所决定的平面，且、和三个向量的方向符合右手螺旋法则（即假定右手的大拇指垂直于食指和中指，当食指指向向量的方向，中指指向向量的方向，那么大拇指指向就是的方向）.这个力称为洛伦兹力.与洛伦兹力类似的例子在物理学及其他学科中还有不少，在数学上我们将它称为向量的向量积.抽象推理定义6.1既有大小，又有方向的量叫做向量.在数学上，向量通常用始点到终点的带有箭头的线段表示，如或黑体字母或等（如图6-10）.向量的模：指向量的大小，也称作向量的长度，通常用、表示向量的大小.单位向量：长度为的向量，称为单位向量，用

、 表示.零向量：长度为零的向量，记作或.此时向量的始点与终点重合，方向不定或方向为任意.6.2.1向量的概念图6-10向量的位置关系：(1)向量平行：两个非零向量的方向相同或相反，称为两向量平行，用

表示.由于零向量的方向是任意的，视作零向量与任意向量平行.(2)两向量共线:两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上.(3)向量共面:如果有个空间向量，起点重合时,起点和所有终点在同一平面上.定义6.2

当两个向量大小相等、方向相同时，称两个向量相等，记作

.注意：根据向量的定义，向量只与大小和方向有关而与始点的位置无关.因此，当两向量相等时，总可以将这两个向量通过平行移动的方式达到完全重合.6.2.2向量的线性运算定义6.3从同一始点出发的两向量和，作以

、为邻边的平行四边形，则由始点到对顶点的向量称为、之和，记为（如图6-11左）.这种定义法称为平行四边形法则，由于向量可以平行移动，可将平行移动至的终点与的始点重合，则由的始点到的终点的向量也称为、之和，而其首尾相连构成三角形，所以也称三角形法则（如图6-11右）.不难看出，三角形法则与平行四边形法则是等价的.图6-11向量的加法运算律：(1)交换律：(2)结合律：定义6.4如果向量加向量等于向量，则称向量为向量与向量之差，记作：，即（如图6-12）.图6-12从图像上不难看出，当两向量始点重合，它们的差所得到的向量总是从减向量的终点指向被减向量的终点.根据向量相等的定义平移

、向量至平行四边形的对边，同理可以得出：

定义6.5与向量的模相同但方向相反的向量，称为向量的负向量，记作，即.由此可规定两个向量的减法：

.特别地，当

时，有（其中指零向量）.向量与实数的乘积记作,规定:(1)是一个向量;(2)其模为:;(3)其方向为:当

时与同向，；

当时与方向相反，；当时,

为零向量.同时规定：若是零向量，则.数与向量乘积的运算规律（为实数）:(1)结合律:.(2)分配律:;.证明从略.由运算规律可知，非零向量同方向的单位向量为，因此任意非零向量都可以表示为.例1在中，是边的中点，设

，

，试用、表示向量

、

和（如图6-13）.解由，即，得

，又因为

.

所以图6-136.2.3向量的坐标表达式前面介绍了向量的运算，但还只能用图形表示.下面通过空间直角坐标系的引入，实现向量与空间中点的一一对应，从而建立向量与有序数组的对应关系，并最终实现向量几何运算的代数化. 设为空间一点，它的坐标为（如图6-14所示）.根据向量的运算法则，向量

可以分解为：

习惯上，我们把轴、轴和轴上沿正向的单位向量分别记为，和，称为坐标的单位向量.由数量与向量的乘积定义有

，

，从而有.图6-14上式称为向量的坐标表达式，也可记为

.其中，分别称为向量沿、、轴方向的分向量.特别地有，，.有了向量坐标后，可简化向量加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设，.则

而向量的长度为：.显然,;或例2已知向量

的始点为

，终点为

，求的坐标表示.解根据题意如图6-15所示，有图6-15注意：通过上例可以看出，空间任意两点间连线构成的向量，其坐标可以表示成向量的终点与始点的对应坐标之差.例3已知，求解

6.2.4向量的模与方向余弦定义6.6非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为向量的方向角.如图6-16所示，向量

与轴、轴和

轴正向的夹角分别为、、（

.方向角的余弦及称为向量的方向余弦.不妨设

，由立体几何知识得出：

，

得：

，其中为与同向的单位向量.图6-16例4设，.求向量的长度及方向余弦，并求的坐标表达式.解

,,

例5设向量的两个方向余弦为

，又

，求向量的坐标.解假设所求向量为，因，则所以，或例6已知作用于一质点的三个力，求其合力的大小和方向余弦.解合力，即

.所以，

，方向余弦6.2.5向量的数量积与向量积定义6.7两个向量的长度与它们之间的夹角余弦的乘积称作向量的数量积（也称点积），记作

，为两个向量正方向之间不超过的夹角.根据数量积的定义，可以得到：；若与均为非零向量，则.显然.而由，可知.(2)数量积满足下列规律：交换律:;分配律:;结合律:

（为实数）.证明从略.下面对两个向量数量积的计算公式进行推导：设

.则

.即

.利用数量积的坐标表达式，对任意向量还有如下性质：(1)如果

则由

可得

；(2)如果

均为非零向量，有

；(3).例7设

.求与之间的夹角余弦.解

；

例8已知三点

、

、

,求.

解从到的向量记为，从到的向量记为，则就是向量与的夹角.

所以

.从而，.例9求在坐标面上与向量

垂直的单位向量.解设所求向量为

.又因为是单位向量且与垂直，所以

.即有，解得

或

.探究：互联网时代，信息的采集、传播的速度和规模达到空前水平，实现了全球的信息共享与交互.互联网已经成为信息社会必不可少的基础设施.借助互联网技术的发展，每天在我们所生活的这个世界出现了海量的信息，我们称之为"信息爆炸".那么，我们如何利用计算机将这些海量数据实现自动分类呢？通过建立实词词库，并按某篇信息中实词出现的频率赋值为，从而将实词词库向量化，形成特征向量表达

.类似地，计算出另一篇信息的特征向量

，通过余弦公式判断两篇信息是否重复或相似（越相似，值越接近1），就可以进行信息判断和处理了.定义6.8设向量由两个向量满足下列条件所确定：(1)的模等于；

的方向规定为：，并且按顺序符合右手法则（见图6-17）.则称向量为向量的向量积（也称为叉积），记作

.图6-17引例3中，洛伦兹力可表示为.注意：两个向量向量积的模有直观几何解释，即是以（始点重合）为邻边的平行四边形的面积.由向量积的定义可得：（1）；（2）若

均为非零向量，则.例如.另外，由定义易得

而.对于任意向量

，满足如下向量积运算规律：反交换律：

；分配律：

；数乘结合率：(为实数）.证明从略.下面讨论向量积的坐标表示式.设.则利用二阶行列式，可将上式改写为（6.1）为了便于记忆，利用三阶行列式的计算规律把（6.1）式记为（6.2）进一步可得，两向量平行的充要条件为

，其中分母不同时为零.例10已知

，问

与平行吗？解

.显然有

，所以.例11已知的顶点分别是，，，求的面积.解由向量积的定义有，=.而，所以

=.例12求同时垂直于向量

和的单位向量.解由向量积的定义可知，若

，则同时垂直于

和.因此，

与平行的单位向量为：

6.2.6空间平面与空间直线的方程1.空间平面如果一个非零向量垂直于一平面．则称此向量为该平面的法线向量，简称法向量．易知，平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直，而一个平面的法向量有无穷多个.设平面通过一定点且其法向量为下面来建立该平面的方程.设点

为平面上任意一点（如图6-18），则点

在平面上的充要条件是即

由于图6-18故.（6.3）由点的任意性，平面上的任一点都满足方程（6.3）.反之，不在该平面上的点的坐标都不满足方程（6.3）.因此，方程（6.3）就是所求的平面的方程，称为平面的点法式方程.

方程（6.3）整理后可得到一个三元一次方程.（6.4）其中.反过来，可证明任何一个三元一次方程都代表了某一平面方程.于是，方程（6.4）便被称为平面的一般式方程，且为其法向量.特殊地，若，则平面过原点；若

或或，则平面分别平行于轴、轴、轴；若或

或，则平面分别过轴、轴、轴.例13求过点

且以为法向量的平面的方程.解根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为:

,即

.例14求与平面

平行且过点的平面的方程.解因所求平面与已知平面平行，因而所求平面的法向量便可取为已知平面的法向量：

.由点法式，可得所求的平面方程为：

即例15已知平面上三点

，求此平面方程.解

所求平面的法向量为.由点法式得平面方程:,即.例16平面过三定点

，且

，求该平面的方程.解根据题意可知，，.所以平面的法向量

可取为

.又根据已知点的坐标可求得所以,

取定点为，代入平面的点法式方程并化简便可得由于1，上式两边除以，得图6-19（6.5）注意：式(6.5)称为平面的截距式方程，分别称为平面在轴、轴和轴上的截距.设两平面

和的法向量分别为，称这两个平面法向量的夹角（锐角）为这两个平面的夹角（如图6-20），则：

易知，（1）（2）图6-20例17求两平面

和

的夹角.解两平面的法向量分别为：

，因此

所以，所求夹角为.2.空间直线空间直线可看作两平面的交线，于是直线方程可以通过这两个平面的方程联立获得.即

（6.7）其中，

与不成比例.（6.7）式称为直线的一般式.我们都清楚，过定点且与一条非零向量平行的直线可以被唯一确定下来.假设定点为

，非零向量为

，又设直线上任意一点为(如图6-21)，则

.显然向量与向量平行，满足

.（6.8）图6-21式（6.8）称为直线的点向式方程，又称为直线的对称式方程或标准方程，其中称为直线的方向向量.注意：我们约定当分母为时，其对应分子也为.显然，直线的点向式可以转化为一般式.其实，式(6.8)可以改写为两个平面方程的联立:

同时，设

，可得

（6.9）式(6.9)称为直线的参数方程，其中为参变量.例18已知直线的一般式为求此直线的对称式与参数方程.解法一：对一般式方程利用消元法，消去，得

,

即.同样的，对一般式方程利用消元法，消去，得.所以对称式方程为:

又令

，则可得直线的参数方程为例19求过点

且过直线

的平面方程.解由直线方程易知，点为已知直线上的点.同时，直线的方向向量为.设所求平面的法向量为，显然

，.所以所求平面方程为:

,即.称两条直线相交所形成的锐角为两直线的夹角.设两直线和的方向向量分别为，于是（6.10）易知：（1）（2）类似地，直线和平面的夹角可以由直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角（锐角）获得（如图6-22）.设直线的方向向量为

，平面的法向量为，则

易知：（1）（2）图6-22例20已知直线

和平面

.求

和的夹角.解由题意可知直线的方向向量为

，平面的法向量为，则即应用与实践案例1长方体中，

，

，，点在棱上，且，点在棱

上，且

，点，分别是

，的中点（如图6-23左），求证：.

图6-23解建立空间直角坐标系(如图6-23右)，则长方体顶点坐标为，

，

，

，，.由此，已知

，有

，所以同理可得：.因而

.显然，

.又因为

，所以案例2已知正方体

中，、

是棱、的中点，求直线

和所成角的余弦值（如图6-24左）．

解设正方体的棱长为，建立空间直角坐标系（如图6-24右），则，，

，

，.由此，设和成的角为，则所以，直线

和

所成角的余弦值是图6-24案例3如图6-25，质量为的小滑块，由静止开始从倾角为的固定光滑斜面顶端A滑至底端B，A点距离水平地面的高度为，求滑块滑到B点时重力的瞬时功率.解重力的功率也是向量的数量积，即

，其中速度

，为重力与速度之间的夹角，由图6-25可知

，因此滑块滑到B点时重力的瞬时功率.图6-25案例4刚体以等角速度

绕轴旋转，试表示刚体上一点的线速度.解

设点

到旋转轴

的距离为，再在轴上任取一点作向量，并以表示与的夹角，那么.设线速度为，那么由物理学可知

，垂直于与，且的指向是使、、符合右手法则，如图6-26，因此有.图6-26情景与问题引例1

双曲冷却塔(如图6-27)是火电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种构筑物.由于其具有占地面积小，布置紧凑，水量损失小、冷却效果不受风力影响、维护相对简便、节约能源等特点而得到广泛使用.试分析双曲冷却塔外表面的数学模型.分析双曲冷却塔的外表面是由空间中满足特定特征的点汇集而成.从侧平面观察，塔身呈双曲线型，可以看作是由双曲线绕竖轴旋转而成，数学上称作单叶旋转双曲面.它是如何旋转而成的呢？空间表达式如何表示呢？本节就来介绍一些典型空间曲面方程.图6-276.3.1球心在点、半径为的球面方程已知一个以点

为球心、为半径的空间球面，设点

是球面上任一点.由空间两点间距离公式，有方程即

（6.12）式（6.12）就是球面上点的坐标所满足的方程.反之，不在球面上的点的坐标就不能满足这个方程，故方程（6.12）即为球心在，半径为的球面的方程，并称此方程为球面标准方程.其特点是缺、

项，且平方项各系数相同.将上式整合简记为方程

该方程便被称作球面的一般方程.例1方程表示怎样的曲面？解原方程可以改写为因此，它表示一个球心在

，半径为的球面.6.3.2母线平行于坐标轴的柱面定义6.9设有一条曲线，过上每一点作与平行的直线，这些直线所形成的面称为柱面，称为柱面的准线，这些相互平行的直线称为柱面的母线.如图6-28左图所示.

图6-28我们仅讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面(如图6-28右图).例2分析方程表示什么曲面？分析：在坐标面上，方程表示圆心在原点，半径为的圆.在空间直角坐标系中，由于方程缺

，这意味着不论空间中点的坐标怎样，凡坐标和坐标满足这方程的点，都在方程所表示的曲面上；反之，凡是点的坐标和坐标不满足这个方程的，不论坐标怎样，这些点都不在曲面上，即点在曲面上的充要条件是点

在圆

上.而是在过点

且平行于轴的直线上，这就是说方程表示：由通过坐标面上的圆上每一点且平行于轴（即垂直于坐标面）的直线所组成，即方程表示柱面，该柱面称为圆柱面(如图6-29).图6-29注意：一般地，如果方程中缺，即

，表示准线在

坐标面上，母线平行于轴的柱面.类似地，方程表示母线平行于轴的柱面方程，表示母线平行于轴的柱面方程.例3作方程的图形.解因方程缺，所以它表示母线平行于轴，准线为坐标面上的抛物线的柱面.该柱面称为抛物柱面（如图6-30）.图6-30例4方程表示什么曲面？解由于方程中缺

，所以它表示母线平行于轴的柱面.它的准线是

坐标面上的椭圆.方程表示一个椭圆柱面（如图6-31）.

图6-316.3.3旋转曲面定义6.10一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，这条直线称为旋转轴.下面我们讨论旋转轴为坐标轴的旋转曲面方程.设在坐标面上曲线的方程为

.求曲线绕轴旋转得到的旋转曲面方程.