高等数学（工科类）课件 第九章 概率论基础

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）理解随机变量的期望与方差的概念；掌握随机变量期望、方差的性质与计算；掌握常见分布的数学期望与方差.理解随机事件及样本空间的概念；了解概率的统计定义；掌握概率的基本性质,会计算古典概型问题的概率.理解条件概率的概念,掌握概率的乘法公式；会判断事件的独立性,会利用事件的独立性计算概率.理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及分布律的概念及性质,掌握常见的离散型随机变量的分布；了解连续型随机变量及概率密度；了解分布函数的概念及性质,掌握常见的连续型随机变量的分布；会利用分布列和概率密度以及分布函数计算事件的概率.知识目标第九章概率论基础第一节随机事件与概率情景与问题其可能结果为：

.取值的结果可以按从小到大依次排成一列.引例1

抛硬币两次,观察正、反面的情况.其可能的结果有：{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},抛一次的结果为引例2观察一小时中落在地球上某一区域的粒子数.落在区域上的粒子数为0，或者粒子数大于等于1都是可能发生也有可能不发生的事件.以上四种中的任意一种，且每种结果出现的可能性均相同.

{第一件是正品},

{第二件是正品},

{没有一件是次品},

{只有第一件是次品},

{恰有一件是次品},

{至少有一件是次品}.引例3从一批包含正品和次品的产品中,不放回地依次任意取出两件.若记

这几个事件之间存在什么样的关系呢?三个引例的结果虽然充满着不确定性,但人们仍然能够准确预知可能结果的范围.为了表述和讨论这类随机现象,接下来我们给出随机事件的定义并讨论其运算和概率.9.1.1随机事件的概念概率论和数理统计就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科,自然界中的许多现象,其结果是确定的,而且我们可以事先预测.电荷互相吸引；水从高处流向低处；按照现行的规则，被出示红牌的足球运动员一定会被罚下场.这种在一定条件下必然发生的现象,我们称为确定现象或必然现象.例如:太阳东升西落；正负除了必然现象外还有一类现象与必然现象是相对的,即结果具有不确定性,且事先不能断言会出现哪种结果.比如:掷硬币正面向上、玩骰子掷出点数3、路过十字路口时遇到红灯等等，我们称之为随机现象或偶然现象.外表,揭示内在的某种规律.目的是透过随机现象的前面引例是对随机现象进行一次观察或进行一次实验的过程,这样的过程称为随机试验,简称实验所有可能结果的集合称为这个试验的样本空间,记作

．(1)可重复性：试验可以在相同条件下重复进行；(2)不唯一性：每次试验有多个可能结果,且所有结果已知；(3)随机性：每次试验之前不能确定具体出现哪个结果.部分样本点组成的集合称为随机事件,简称事件，通常用大写字母A

,

B

,

C

,…

表示．不能再分解的随机事件称为基本事件.由于每次试验的结果都是

的一个样本点,所以

必然发生,即

为必然事件.不可能发生的事件称为不可能事件,常用

表示,试验,一般用字母

表示.随机试验具有以下三个特征：记作

.样本空间中的元素称为样本点,是样本点可列的数量型样本空间.引例1抛硬币两次,观察正、反面情况的实验中,

{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},是样本点个数有限的非数量型样本空间；“正面恰好出现一次”、“第二次为反面”等是随机事件,其中“两次均为正面”、“第一次正面,第二次反面”等事件是基本事件.

易知：引例2观察一小时中落在地球上某一区域的粒子数的实验中，易知：中的样本点虽然有无数个,但可以依次排成一列,这样的集合我们称为可列集或可数集.9.1.2随机事件的运算事件是一个集合,所以事件间的关系和运算都可以按照集合的关系和运算来定义.图9-1

定义9.1

若事件A

的发生必然导致事件

B发生,则称事件

B

包含事件

A

．记作

．特别地,若

且

,则称事件A与事件B

相等,记作A=B．定义9.2

事件A

与事件B

同时发生,这一事件称为事件A

与B

的积(交),记为AB或

．如图9-2所示.对任意事件A

,有

AA=A,A=A

,

．图9-2

图9-3

图9-4

定义9.3

两事件

A与B中至少有一件发生,这一事件称为事件A与B的和(并),记为A+B对任意事件A

,有A+A=A,,定义9.4

事件A

发生而事件B

不发生,这一事件称为事件A

与B

的差,记作

,如图9-4所示.或

．如图9-3所示.图9-5

图9-6

定义9.5若事件

A

与事件

B不能同时发生,即

,则称事件A

与

B为互斥事件（或不相容事件）,如图9-5所示.定义9.6

若事件

A与

B

满足

且

,则称事件

A与B

是互逆事件（或对立事件），显然，基本事件之间总是互斥的．记作

B=,如图9-6所示.解(1)

={没有一件是次品}表示成

(2)

{只有第一个零件是次品}表示成(3)

{恰有一个零件是次品}表示成(4)

{至少有一个零件是次品}表示成显然,互逆事件一定是互斥事件,但反之不真.(1)

；(2)

,

,；(3)德摩根律:

,

例1将引例3中的事件

用

表示.对任意事件A和

B

,不难证明以下结论成立:或例2A={甲种产品畅销,乙种产品滞销},则

表示什么事件?解设B={甲种产品畅销},C={乙种产品畅销},所以，则即={甲种产品滞销或乙种产品畅销}.9.1.3随机事件的概率用来表示随机事件

A发生可能性大小的数字度量称为事件

A的概率,记作

.如何才能获得

的数值呢?尽管事件的频率随试验的不同会有所改变,对于确定的事件,概率值是客观存在的.人们常利用事件发生的次数与试验次数的比值来获知概率值的大小,这样的值称为频率.频率总是逐渐稳定于但当试验的次数逐渐增加时,一个确定的常数.

抛硬币次数比较少的时候,正面出现的频率波动较大,试验者掷硬币次数n正面出现次数m正面出现频率德·摩根409220480.5001普丰404020480.5069威廉·费勒1000049790.4979皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998以下是有名的频率稳定性的例子,该实验不仅具有典型性，而且可以重复验证.事实上,随机事件频率的稳定性不断地被人类的实践所证明.随着试验次数n

增加,频率表现出稳定性,取值总在

附近摆动,并逐渐稳定于

.这个常数就是抛硬币试验中出现正面的概率.从表中可以看出：在对英文字母使用频率深入研究后发现,各个字母被使用的频率相当稳定.字母空格ETOANIRS频率0.20.1050.0720.06540.0630.0590.0550.0540.052字母HDLCFUMPY频率0.0470.0350.0290.0230.02250.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ频率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001实际上其他各种文字包括汉语也有类似的统计结果,这对于结合汉字输入方案的研制,实现汉字信息处理自动化具有重要意义.定义9.7

多次重复试验中,若事件

A

发生的频率稳定在常数

P附近摆动,随着试验次数增加,这种摆动的幅度是很微小的,则称确定常数

P为事件A

发生的概率,记作

.统计定义对应着概率论中的一类随机试验类型即古典概型.概率的统计定义(1)基本事件总数有限；当随机试验有两个特征：(2)每个基本事件发生的可能性相等．满足这两个特征的试验模型称为古典概型．古典概型定义结论:(一正面,一反面)这一事件出现的概率为

.则事件

A的概率为

.对于古典概型,概率的计算是非常直观的：事件A包含的基本事件数为

m,拉普拉斯在1812年将这个式子作为概率的一般定义.这个结论今天看显然是错误的,因为这三种结果出现的可能性并不相同.数学史曾有一个著名的例子.在掷两枚硬币观察正面和反面出现的试验中，法国著名数学家达朗贝尔论证总共有三种结果,即{(正面,正面),(反面,反面),(一正面,一反面)},由此他得出基本事件总共有四种,事实上该问题中的而一正一反在两种情况下出现,即(一正面,一反面)出现的概率应为

.若基本事件总数为

n,性质2(规范性)

图9-7性质1(非负性)

对于任何事件

A,有

一般地,若事件

彼此互斥,则推论2(逆事件概率)若

是

A

的逆事件,则推论3(单调性)若

,则

,且随机事件的统计概率有如下性质：性质3

(概率的加法公式)

对任意两个事件A

与B,有推论1(有限可加性)若事件A与B

互斥,则设

A={恰有1件次品},

从100件产品中任取2件的方式总共有n

=

种.

则事件A包含的事件数m

=

种.例3

100件产品中有90件合格品,10件次品.从中任取2件,求恰有1件次品的概率.解易知该试验模型是古典概型.由古典概率公式得对于不同n

值计算相应的概率见下表例4生日问题:已知有n

个人（

）,求至少有两个人生日在同一天的概率.从而则

表示“n个人的生日全不相同”.从而n

个人的生日共有

种安排方法,而“

n个人的生日全不相同”的安排方法总共有

种,因此

n10202330405060

0.120.410.510.710.890.970.99从表中可以看到,在人们的印象中,“一个班级中至少有两个人的生日在同一天”似乎并不常见.解设

A表示事件“n个人中至少有两人的生日在同一天”,每个人的生日有N=365种选择,从而实际的情况是,一个人数达到60的班级,这个事件发生的概率高达99%,这几乎是必然发生的事件.抽签不仅在体育比赛中经常出现,在日常生活中也很常见.但抽签的公平性往往被人质疑,结果会不会和抽签的顺序有关呢？例5设口袋中有a

只黑球,b

只白球.现在采取不放回的方式将球一只只的摸出来.求第

k(

)次摸出的是一只黑球的概率.解

a+b只球一只只依次抽取出来,总的抽取方式有

n=

种.故第

k次摸出的是一只黑球的抽取方式有种.第k次摸得黑球的方式总共有a

种,同时其余次摸球相当于对a+b-1只球进行全排列.由古典概率公式得例5中的摸球问题是为抽签随机性设计的一个数学模型,黑的数量a

与白球的数量b有关,其计算结果表明第k

次摸得黑球结果只与黑而与抽取的顺序

k无关,即抽签与顺序无关.即该班参加数学竞赛或外语竞赛的学生占90%．例6某班有80%的学生参加了数学竞赛,70%的学生参加了外语竞赛,60%的学生既参加了数学竞赛又参加了外语竞赛,问该班参加数学竞赛或外语竞赛的学生占百分之多少?解设A={参加数学竞赛的学生},B={参加外语竞赛的学生},则AB={既参加数学竞赛又参加外语竞赛的学生},A+B={参加数学竞赛或外语竞赛的学生}.由加法公式:

例8某城市有N辆卡车,车牌号从1到N.某人到该城市去将遇到的n

辆车的号牌抄下,这当中可能会重复抄到某些车牌号.求抄到的最大号码正好为

k的概率.例7在20件产品中,有15件一级品,5件二级品,从中任取3件,其中至少1件为二级品的概率是多少?

.解

设事件A={至少1件为二级品},事件

{恰有件二级品}

,其中

彼此互斥.由推论1有限可加性可得这种通过号牌估计卡车数量的方法在二战时期的战场上得到了很好的应用.当时的盟军从击毁战车上的出厂号码推测敌方的生产批量,估计其军火生产能力,得到了相当精准的情报.{抄到的最大号码为},事件

{抄到的最大号码不超过k

}

.显然

,且

,由性质3的推论3知,解设每辆卡车被遇到的机会相同.应用与实践案例1(赌徒的困惑)17世纪法国的某赌场内,著名赌徒梅尔和一位游客保罗赌钱,他们事先每人拿出6枚金币放在一起,并约定谁先胜3局谁就拿走全部的12枚金币.根据以往的经验,他们在每局中胜利的可能性相同.比赛开始,保罗先胜1局后,梅尔又连胜2局,这时由于意外事件他们不得不终止了赌博.于是两位赌徒开始商量如何合理分配这12枚金币.保罗对梅尔说:“我胜1局,你胜2局,因此金币应该三等分,你得到的金币为2份,总共8枚,而我得1份,即4枚金币.”他们谁也说服不了谁,最后决定由法国著名的数学家费马和帕斯卡来评判.精通赌博的梅尔对此提出异议:“这显然不公平!”梅尔说道:“我只需要再赢1局就能得到全部的金币,而你得到全部金币还需要连赢2局.我胜1局的可能性比你连赢2局的可能性大的多.金币的分配必须考虑这种可能性.”费马的解决办法是:如果再玩2局,会出现4种可能的结果:(梅尔胜,保罗胜)(梅尔胜,梅尔胜)(保罗胜,梅尔胜)(保罗胜,保罗胜）由于梅尔已经赢了2局,这4种结果中只有最后1种才能使保罗获胜.所以梅尔先胜3局的可能性是保罗先胜3局可能性的3倍.12枚金币中的

,即9枚应归梅尔,而保罗只能分得

,即3枚金币.帕斯卡用的是另一种分析方法,但分配的方案与费马完全一样.帕斯卡假设这两人接着再玩一局,那么会出现2种结果.如果梅尔胜了,此时梅尔已经先胜3局,可获得全部的金币,记为1.如果获胜的是保罗,梅尔和保罗均各胜两局,各得金币的一半,记为

.由于第四局两人获胜的可能性一样,同理,保罗获得金币的可能性为.

所以梅尔赢得金币的可能性是两种可能性大小的算术平均,即,

两位数学家并不热衷赌博,但他们仍对这个事件中的规律进行了深入的研究.案例2(蒲丰投针与

)1777年,法国博物学家蒲丰向世人宣布,他用投针实验得到了计算的近似公式.投针实验是,先在一张纸上画满距离为

d的等距平行线,然后将长度

的小针随机投往纸上,记下投掷次数

n

和小针与平行线的交点个数

m,蒲丰断言,投掷次数愈多,比值

愈接近

的值,即现在讨论铁丝长为

的情形．当投掷次数

n

增大时,铁丝跟平行线的交点总数m应当与长度

成正比,即

，

注意到当

时,有

．于是

,

,代入

得

,

.由于投掷的小针长度

,于是得到

,这就是蒲丰的著名结论.先试想一下,将一根铁丝弯成直径为

d的圆圈．将此圆圈随机地投往纸上,显然圆圈与平行线总有两个交点．因此,圆圈投下

n次,与平行线的交点总数就是2n．若把圆圈拉直,变成一条长为

的铁丝,这样的铁丝投在纸上与平行线的交点可能有4个、3个、2个、1个或0个,但由于圆圈和直铁丝的长度同为,根据机会均等原理,当投掷较多相同次数时,两者与平行线的交点总数大致相当．这就是说,当长为

的直铁丝投下n

次时,与平行线的交点总数应大致为2n．第九章概率论基础第二节条件概率与事件的独立性情景与问题引例1从

中任取一个数,A

表示:“抽取的数不大于7”,B表示:“抽取的数不小于5”.在事件

A已经发生的条件下,事件

B发生的概率是多少呢?在事件

B已经发生的条件下,事件A

发生的概率又如何呢?条件的概率即是接下来将要讨论的条件概率.引例1提出了事件A已经发生的条件下,事件

B发生的概率,记做

,引例2肝癌普查中发现,原发性肝癌患者往往伴随着甲胎蛋白含量高的情况出现.某地区的常住人口每10万人中,平均有40人患原发性肝癌,有34人的甲胎蛋白含量高,有32人既患原发性肝癌又出现甲胎蛋白含量高.可疑肝癌患病确诊的情况下，发现往往伴随着甲胎蛋白偏高，此时出现甲胎蛋白偏高的概率是多大呢？这种带有事件A

表示“抽取的数不大于7”,即，9.2.1条件概率从

中任取一个数,其样本空间为

,而事件B表示“抽取的数不小于5”,即

,这其中同时属于事件B的,即

共有3个数.计算

的问题等价于在样本空间缩小至A的前提下,事件

AB发生的求条件概率

.易知引例1是个古典概型.包含了10个基本事件.包含了7个基本事件.包含了6个基本事件.已知事件A发生,即在抽取的数字不大于7的条件下,所有可能的数限定在这7个数的范围内.求事件B

抽取的数不小于5的可能性,就是因此概率.同理当计算无条件概率

时,样本空间为“该地区的所有常住居民”,此时

,而在计算条件概率

时,

定义9.8

设A、B

为两个随机事件,且事件A的概率

,则在事件

A发生的条件下,事件B发生的概率称为条件概率,相应地把

称为无条件概率.条件概率的定义条件概率问题的实质是样本空间发生了缩减.在引例2中,若记A={某地区原发性肝癌患者},B={甲胎蛋白含量高}.样本空间已缩减为事件A

即“原发性肝癌患者”,此时事件AB发生的次数为32,因此条件概率具有与概率相同的性质:设A是一事件,且

,则(1)对于任一事件B

,

；(2)

；(3)若

互不相容,则

.条件概率的性质

例1某种电池可使用80小时以上的概率为0.9,可使用100小时以上的概率为0.65．一只电池已使用了80小时,求它还可以使用至少20小时的概率．解设事件A={使用80小时以上},B={使用100小时以上},由条件概率公式得例2一批同型号的产品由甲、乙两厂生产,产品合格情况如下表

数量

厂别甲厂乙厂合计

等级合格品4756441119次

品255681合

计5007001200从这批产品中随机地取一件,假设被告之取出的产品是甲厂生产的,那么这件产品为次品的概率是又是多少?如果发现该产品是次品,那么这件产品是甲厂生产的概率又是多少?解记“取出的产品为次品”这一事件为

A,“取出的产品是甲厂生产的”这一事件为

B

.由条件概率公式,取出的是甲厂生产的条件下,产品为次品的概率为

而取出的是次品的条件下,产品为甲厂生产的概率为9.2.2乘法公式由条件概率公式和变形可以得到上述两式称为概率的乘法公式,它可推广到多个事件的乘积:两事件的乘法公式多个事件的乘法公式

例3某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为

,若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为

,若前两次落下均未打破,第三次落下时打破的概率为

.求透镜落下三次未打破的概率.

解设

{透镜第次落下打破},

,

B=

{透镜落下三次未打破}.因为,故有(1）无放回地抽取时,在第一次取到白球的条件下,袋中剩下的球为4个黑球,3个白球,第二次取到黑球的概率为9.2.3事件的独立性注意到采用无放回的方式抽取时,第一次有没有取到白球对第二次取到黑球概率的计算是有影响的.在条件概率中我们注意到,一般来说

,即A是否发生对B

发生的概率是有影响的.但例外的情形大量存在.例如，袋中有5个黑球和3个白球，从袋中取球两次，设A={第一次取到白球},B={第二次取到黑球}，讨论第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率：（2）有放回地抽取时,无论第一次取到的情况如何,在第二次取球时,仍有5个黑球3个白球,故有但在采用有放回的方式时,事件B

发生的概率不受事件A是否发生的影响.实际上,事件

A发生的概率也与事件B无关.这就是事件的独立性．性质1事件

A与B

相互独立的充要条件是性质2若

,则事件A

与

B相互独立的充要条件是

.两事件的独立性相互独立的事件有如下性质：定义9.9

在两个事件

A,B

中,任一事件的发生与否不影响另一事件的发生,则称事件A

与B

是相互独立的．(时有类似的结论)

性质3若事件A与B相互独立,则A

与

,

与B

,

与

也都相互独立．下面我们来定义

n个事件的独立性.例如,n=3时,

相互独立,当且仅当以下4个等式同时成立:定义9.10

设

是n个事件,若其中任意两个事件间均相互独立,则称

两两独立.在实际中,我们一般不会借助公式

来判断事件间的独立性.n个事件的独立性可见

n个事件两两独立不能等同于n

个事件相互独立.

n个事件相互独立时必有事件两两独立,反之不真.而是根据独立的意义和事件的实际背景来进行判断.当事件具有独立性时,许多概率的计算就能大大简化.如果事件间没有关联或者关联非常弱,就可以认为它们之间是相互独立的.(2)设

C={恰有一人通过考试},则(1)两人都能通过考试概率为由性质2可知

A

与

,例4甲、乙二人去考驾照,如果甲通过考试的概率为0.8,乙通过考试的概率为0.6,求(1)两人都能通过考试的概率；(2)恰有一人通过考试的概率；（3）至少有一个人通过考试的概率．解设A={甲通过考试},B={乙通过考试}.在考试过程中,由于甲是否通过不会影响到乙的通过,于是A与B相互独立,与B

,

与

也相互独立．所以(3)设D={至少有一人通过考试},则D=A+B,所以例5设口袋里装有四张形状相同的卡片,在四张卡片上依次标有下列各组数字:110,101,011,000.从袋中任取一张卡片,记

{取到的卡片第位上的数字为1}.可见

成立,但,证明:

两两独立,但

不相互独立.证明由题意知,

即

两两独立.故

不相互独立.应用与实践案例1(系统的可靠性)一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性,而元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性.可靠性数学理论起源于20世纪30年代,最早研究的领域包括机器维修、设备更新和材料疲劳寿命等问题.第二次世界大战期间,由于研制使用复杂的军事装备和评定改善系统可靠性的需要,可靠性理论得到重视和发展,它的应用已经从军事部门扩展到国民经济的许多领域.如图9-8所示,这是一个串并联电路示意图,A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数字是各自的可靠性,求该电路的可靠性.

图9-8由于各元件的能否正常工作相互独立,综上有于是事件W

发生等价于事件A、B、(C+D+E)、(F+G)

、和事件

H同时发生.设电路的可靠性为W

,并用A、B、C、D、E、F、G、H

表示对应元件的可靠性.其中

(C+D+E)

表示C、D、E这三个元件至少有一个正常工作,(F+G)表示F、G这两个元件至少有一个正常工作.案例2(保险赔付问题)设有n

个人向保险公司购买人身意外险,保期为一年.假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01,求:(1)该保险公司赔付的概率；(2)多大的n

使得以上赔付的概率不低于

.解

(1)设

表示第

个投保人出现意外,

A表示保险公司赔付,则

相互独立,(2)若要，即要

,则有且

因此但若重复试验次数充分大时,小概率事件至少发生一次的可能性是不容忽视的.这表明,虽然0.01是概率也就是说,当投保人数不少于685时,则保险公司有大于一半的概率需要赔付.很小的事件,第九章概率论基础第三节随机变量及其分布情景与问题引例3将一根长度为

的杆分成两段,记X

为较长一段的杆的长度.则

表示“截取的较长一段的杆的长度在

到

之间”.引例2某人计划到外地某城市旅游,他可以选择坐飞机,乘火车或者自驾前往.花费分别是1000元,300元和1200元.而该名旅行者选择三种交通工具的概率依次为:

.定义函数X为旅行的费用,则“

”等价于事件“坐火车”,

这一事件的概率记为

.这里“

”等价于事件“硬币正面向上”,且

.引例1掷均匀的硬币一次,结果为正面向上或反面向上.定义函数

为

我们注意到,一些随机试验的结果直接与数值有关,例如引例2和引例3.在所讨论的随机试验中,人们通过引入与实验结果有关系的变量,以达到对随机试验更好的了解,虽然与数值没有直接关系,但通过引入函数

X

,其结果也能与数值联系起来.整体上对随机试验进行准确刻画,这样的变量便称为随机变量.并从本节重点研究随机变量相关概率及其分布.而引例1中抛硬币的试验的结果9.3.1随机变量的概念定义9.11

定义在样本空间上的单值实函数

,对于任意实数

x,集合

都是随机事件,则称

X

为随机变量.随机变量常用大写字母

或希腊字母

等表示.随机变量的引入,使随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.比如：引例3中,事件{杆正好从中点截开}可用

来表示.ΩX(ω)Rω2ω1随机变量概念的产生,是概率论发展史上一次重大的飞跃.对随机现象统计规律的研究,就由对事件及其概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,随机变量按其取值情况分为离散型和非离散型.若随机变量的取值是有限个或可列个,这样的随机变量称为离散型随机变量,如引例1、引例2.在非离散随机变量中,最常见的是连续型随机变量.随机变量的分类使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的探讨.连续型随机变量是指按一定的概率规律在某一个或若干个有限或无限区间上取值的随机变量,如引例3.9.3.2离散型随机变量(1)

（k

=1,2,3,…）；定义9.12

设随机变量X的可能取值为

其相应的概率(k=1,2,3,…)称为离散型随机变量X的概率分布,或分布律、分布列,简称为分布.随机变量X的概率分布常用表格形式表示：其中概率

（k=1,2,3,…）有如下性质：(2)

“X=1”表示射击一次就中靶,则

“X=2”表示第一次射击未中靶,且第二次射击中靶,

例1某射击运动员每次射击中靶与否互不影响,每次射击中靶概率p,X表示射击直到击中目标为止的射击次数.求出

X的分布律．解

X为离散型随机变量,可能的取值为正整数,相应的概率如下

“X=k”表示前k-1次射击未中靶,且第

k次射击中靶,由此的到X

的分布律为:k=1,2,3,…解(1)根据离散型随机变量的性质,有关系式:求:(1)常数

a

；(2)概率

及

.例2设离散型随机变量的分布列是:(2)代入常数

a

,得

X的分布律为：a+a+2a=1,则a

=.两点分布的分布律为:抛掷一枚硬币出现正面或反面,产品抽样检验结果合格或不合格,子弹命中目标是与否,这些试验中随机变量的共同特点是只有两个取值,其分布列为：其中此时称

服从参数为

的两点分布或0-1分布．常见的离散型随机变量有两点分布和二项分布1.两点分布例3一批种子的不发芽率为0.05,从中抽取一粒,随机变量X

表示发芽的种子数,则X为服从参数为0.05的两点分布.新生儿性别男或女等等,将一枚硬币连续抛掷三次,

表示三次试验中,正面出现的次数.如何求

的分布律?(1)试验在相同条件下重复进行

次,如“将一枚硬币连续抛掷三次”的试验是的贝努利概型：在

重独立试验中,如果每次试验只有

和两个结果,且在每次试验中保持不变,2.二项分布这类问题涉及到独立重复试验．重独立试验是指:(2)各次试验的结果是相互独立的.相应的数学模型称为贝努利概型.则称此类试验为

重贝努利试验,“抛骰子三次”的试验仍可视为贝努利概型：试验重复了三次,每次抛得每次抛掷只有正面和反面两个结果.

的结果之间相互独立,设

={抛得点数6}和

={未抛得点数6},此时每次抛掷只有

和

两个结果.“三粒骰子抛掷一次”能否视为贝努力概型？记为

在

重贝努利试验中,如果一次试验事件

发生的概率是

,是二项展开式的第

项而得名.特别地,当

时,二项分布就是两点分布．二项分布是“

重贝努利试验中事件发生的次数”这一随机变量的分布列.表示事件

在

次试验中发生的次数,则的概率为此时,我们则称

服从参数为,的二项分布,这时10个螺丝中次品的个数

.例4某工厂生产的螺丝的次品率为5%,每个螺丝是否为次品是相互独立的.工厂将10个螺丝包成一包出售,并保证若发现一包内多于一个次品即可退货,求某包螺丝次品个数的分布律和售出螺丝的退货率．解对10个一包的螺丝进行检验,可以看成是独立地进行了10次试验,设

A={该包螺丝被退回},则由于每个螺丝为次品的概率是0.05,解9个工人相互独立的工作,可以看成是9重的贝努利概型.故需用电的工人数

.由于

,事实上,对于任意的

n,p

,二项分布都具有以下的性质:P(X=k)总是随着k的增大而增大,可以证明,

P(X=k)在[(n+1)p]处取得最大值,此时的[(n+1)p]称为二项分布的最可能值.例5在一个车间里有9个工人相互独立地工作,且他们间歇地用电,若每个工人在1小时内平均有12分钟用电,问在1小时内最可能有多少工人需要用电？则1小时内最可能需要用电的工人为2人或者3人.由于每个工人一小时内用电的概率为

,每个工人只有用电和不用电两种状态,直到达到最大值,然后再随着

k的增大而减小.如果[(n+1)p]为整数,那么二项分布同时在[(n+1)p]-1处概率取得最大值.设X

表示答对的题目数,则

.例6考试碰运气是否靠谱.大学英语四六级是大学生英语能力水平的一种考试,学生在规定时间内需完成包括听力,阅读,完形填空,翻译,作文等.其中有大部分的选择题.现在假设某次英语考试,除作文15分外,其余85分均为单项选择题,每题1分,每题有4个选项.考试满分为100分,及格分数60分.这种考试方式使部分同学抱有侥幸心理,如果运气不错,说不定靠猜测可以通过考试.真是这样吗?解下面我们来算算靠运气通过考试的可能性.必须答对51道以上.考虑作文的15分,按及格分60%的比例计算,85道选择题85道选择题可以看成85重的贝努利试验,则及格的概率为所以努力学习才是通过考试的正确途径!此概率非常的小,相当于1000亿个碰运气的考生中,大概有0.874的人能够通过考试,这显然是几乎不可能发生的事情.双色球中头奖的概率大概为1700万分之一,头奖的概率还要低．也就是说凭运气通过该英语考试的概率比彩票中则称X

为连续型随机变量,称

为随机变量

的概率密度函数,简称密度函数或概率密度．9.3.3连续型随机变量定义9.13对于随机变量

X,若存在一个非负可积函数

,使得对任意实数a

,b,性质1

性质2

(a<b)有由密度函数的定义可知,

具有下列两个性质：概率密度

的作用类似于离散型随机变量的分布列,都是刻画随机变量取值的规律.

图9-9图9-10概率密度的几何解释下面从几何的角度来解释密度函数的意义:密度曲线位于x

轴上方,在直角坐标系中画出密度函数

的图像,称其为密度曲线,X

在任一区间[a,b]内取值的概率等于以[a,b]为底,曲线为顶的曲边梯形的面积(如图9-9),而

与x

轴之间的面积为1(如图9-10)．由定义可知,对任意实数

a,有

P(X=

a

)=0

,从而有（2）在密度函数

的连续点处,分布函数

的导数存在,并且有:（1）对于任意的实数

,有:定义9.14

设是一个随机变量,x

是任意实数,函数性质2

,且性质3

为右连续函数.为了对离散型及连续型随机变量进行统一的分析和研究,接下来进一步引入随机变量分布函数的概念.称为X

的分布函数.密度函数

具有以下的基本性质:性质1

单调不减.解由概率密度函数的性质2,例6

若随机变量

X具有概率密度,求

的值,并计算X

的分布函数.则

是不可能事件,若

,若

,得.

于是则则综上有若,例6中,随机变量

X

的概率密度函数是，记为我们称这样的随机变量X均匀分布的密度函数图形如图9-11所示.

图9-11均匀分布在区间[a,b]上服从均匀分布，注意：若随机变量

X在区间[a,b]上服从均匀分布,则

A落在区间

[a,b]内任意子区间

[c,d]上的概率只与[c,d]

的长度有关,而与

[c,d]的位置无关.例8还有什么简易求解方法？故有例7

设电阻值R

是一个随机变量,均匀分布在,求

R的概率密度,并计算R

落在900~1100Ω之间的概率.

解由题意,R的概率密度函数为则称随机变量

X服从正态分布,9.3.4正态分布记作,

其中参数满足.

如果随机变量X

的概率密度函数是正态分布是概率论中最重要的分布.在自然现象和社会现象中,很多随机变量都服从或者近似服从正态分布.可以认为服从正态分布.例如,测量误差、弹着点、人的身高或体重、智商、某教学班的考试成绩等等都19世纪前叶德国数学家高斯促进了正态分布的推广和应用,所以正态分布也被称为高斯分布.正态曲线以

为对称轴,当

时，取最大值

.固定

改变

值时,图9-12正态曲线正态分布的密度函数图形如图9-12所示,称为正态曲线.正态分布曲线的形态取决于密度函数中的两个参数：曲线沿x

轴平移,而不改变其形状,即

决定正态曲线的位置；固定

改变

的值时,图形的形状发生变化而位置不变，越大,图形会变得越平坦,而

越小,图形会变得越陡峭.故

决定正态曲线的陡缓程度．●●特别地,当

时,称X

服从标准正态分布,记作

,

分布函数分别用

和

表示:标准正态分布的密度函数

如图9-13所示.

图9-13为偶函数,即

,最大值是

,以

为拐点,以x

轴为渐近线.其概率密度函数为和标准正态分布为了便于计算正态分布的概率,人们编制了分布函数

的函数值表以供查阅.标准正态分布表中只给出了当

时

的值.由于标准正态曲线的对称性,有随机变量X

在区间[a,b]上的概率为:即因此,当x<0时,可利用上式查表计算.标准正态分布标准正态分布数值表例9设

,求：解(1)(2)(3)(4)一般的正态分布概率计算可以证明,若，则，这样,所有的正态分布都可以此时其中线性代换称为随机变量

X的标准化.通过标准化后查标准正态分布表来计算概率.例如：设求根据公式解(1)例10设

,求：(1)

(2)(3)(2)(3)例10的结果表明：正态分布随机变量的取值落在区间

之外的可能性是非常小,3σ原则这就是著名的正态分布“3σ原则”.正态分布的取值落在区间

之内几乎是必然的,这在一次试验中这几乎不会发生.例11公共汽车的车门高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计.设成年男子身高(单位:厘米)服从正态分布

,求车门的最低高度.查表得

,解设车门的高度为

a.根据成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%知:即解得按照设计要求，公共汽车车门的高度至少为189厘米.应用与实践案例1(说明书的真实性)某厂家宣称其生产的成人增高鞋垫有效率在97%以上.小刘得知此消息后立即购买了一副这样的鞋垫．但使用一段时间之后,发现自己的身高没有丝毫变化,很是疑惑.于是他随机询问了其他同样购买这款产品的4人,结果有3人明确表示身高也没有变化.小刘怀疑遇到黑心厂家,又怕厂家说自己只是运气不好,恰恰就是那3%之列.小刘只能自认倒霉吗？对于小刘及他随机询问的人中,有4人明确表示产品没有效果．由于购买者众多,随机选取的这5人相对人数较少,可以看成是有放回的抽样,误差不会太大．我们将涉及的5人看成5重贝努利试验,则A={5人中有4人没有疗效}这一事件的概率为所以事件

A是小概率事件,且小概率事件在一次试验中几乎不会发生,但现在事件

A竟然发生了,我们有理由怀疑最初的正品率高达97%的宣传,从而认为小刘身高没有变化不是运气欠佳,而是厂家误导消费者所致．案例2(软件开机耗时页面)电脑开机后,各杀毒软件都会监测开机耗时.右图是大家非常熟悉的开机界面,告诉用户开机所用的时间,并提示你的开机所用时间击败了全国百分之多少的电脑.图9-14软件工程师是怎么实现这个功能的呢？你可能会觉得它是这样设计的：第一步：收集所有用户的开机时间的数据,排好序放在一个数据库中；第二步：根据你的开机时间,找出你的排名,除以总用户数,就是你击败电脑占比.听起来这样的设计排名算法非常合理,但存在以下几个漏洞：那这个功能究竟是如何设计的呢？实际中，软件工程师们会收集尽量多的用户的开机时间,然后查看开机时间可能服从的分布.一旦确定数据是正态分布之后,事情就变得非常简单了.利用统计方法可以确定正态分布模型的参数，在此基础上，再根据正态分布的性质计算相应的占比即可.

假设已经确定开机时间X

(单位：秒)服从正态分布，且

.有位用户开机时间为38秒,他的击败电脑占比值是多少呢？1.电脑开机的时候并没有连接网络,那就无法请求到其他所有用户的开机数据；2.就算所有用户的数据,已经下载到你本地,根据不完全统计,该杀毒软件的用户数,估计在10亿以上,超过10亿行的数据进行比较统计,放在开机这个地方运行,恐怕不合乎逻辑,而且做过软件开发的人都知道,这种同步数据的方式,非常令人头疼.这表明该用户的开机所用时间，击败了全国87.5%的电脑.第九章概率论基础第四节随机变量的数字特征引例1工人甲生产一种机器零件,生产过程中可能会产生废品.表9-5为总结经验得到的工人甲的生产记录表,记录了甲生产的废品数

及出现

个次品对应的概率

.试问长期来看,工人甲每周的次品数平均是多少呢?情景与问题废品数

0

1

2

3

0.67

0.260.05

0.02现在需要从中选拔一名运动员去参加比赛,哪位运动员的训练水平更高呢?引例2射击运动员甲和乙,所得的环数

和

是随机变量,并具有以下的分布律:

7

8

9

0.1

0.8

0.1

6789

100.10.20.40.20.1之前学习的密度函数和分布函数,能够非常完整的描述随机变量的统计特征.然而,在很多实际问题中,确定随机变量的分布并不容易,往往也不是必要的,我们只要知道它的某些特征即可.例如,评价两个班级某门课程成绩的好坏,我们关心的是哪个班的平均成绩谁更高一些,而对成绩具体服从什么样的分布并不在意.引例1中工人甲每周的平均次品数,比具体某次生产记录更能反映工人的技术水平.引例2运动员的选拔中,教练更看重的指标是成绩的稳定程度,而不是某一次射击成绩的好坏.这种本质上由随机变量的分布所确定,能刻画随机变量某些特征的确定的数值称为随机变量数字特征.本节便着手研究随机变量最重要的两个数字特征：期望与方差.

定义9.15设离散型随机变量X的分布列为

(k=1,2,3,…),则和数称为随机变量X的数学期望,简称期望或均值,记作,即9.4.1数学期望如在引例1中,工人甲每周平均生产的废品数即

的平均值为一般地,如果函数

的数学期望存在,则当X

的取值为有限时,计算和式

即可,此时数学期望一定存在.而当X的取值为无限时,数学期望定义中的级数

要求绝对收敛.否则,数学期望不存在.数学期望是随机变量的加权平均值，它不在是随机变量而是一个常数.例1设X服从参数为p的两点分布,求.

例2投资总会伴随着风险.某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元；失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期利润为5%,问是否应该做此投资呢?解从收益的期望角度看,投资的平均收益高于银行利息,解设此人的投资收益为X

,则

(万元).而存入银行的利息为(万元).应当选择投资,当然此时要冒一定的风险.例3甲和乙两人商量的赌博规则是:抛掷两粒均匀的骰子,如果同时出现两个六点,甲付给乙30元,否则,乙付给甲1元.你认为这样的规则合理吗?在一次投掷中,设甲的收益为X

,乙的收益为Y.

解如果一种规则公平合理,那净利润的期望应该为零.甲盈利的期望为:乙盈利的期望为:结果表明,如果赌博36局,平均甲会赢5元,乙输5元,显然结果对甲更有利,规则并不合理.

X

1-30

Y

-130

X和Y的分布律分别为:定义9.16如果连续型随机变量X的概率密度函数为

,而积分

绝对收敛,如果

是随机变量X的函数,且积分

绝对收敛,则称为连续型随机变量X的期望（或均值）．且为则

的数学期望存在,例4随机变量X在

上服从均匀分布,求

和.

本例中的X称为服从参数是

的指数分布.当X

表示电子原件寿命时,

就是电子元件的平均寿命.显然，当

越小时平均寿命越长.解

例5随机变量X的概率密度函数为,求随机变量X的数学期望.解因为X的密度函数为

则指数分布的应用很广,比如电子原件的使用寿命、电话通话时间、排队的等待时间等都服从指数分布.推广性质1设C

为任意常数,则性质2设X是随机变量,C为常数,则性质3设

是任意两个随机变量,则数学期望的性质对于多个随机变量的独立性可以根据它们的实际意义来判断:当每个随机变量在取值时的概率互不影响时,称它们相互独立.性质4设随机变量X与Y相互独立,则推广设

相互独立,则例6设

,利用期望的性质求由例1知,.

解设X

表示n次独立重复试验中事件

A发生的次数,即则

服从参数为P

的两点分布,因为则由期望的性质知:9.4.2方差即

的大小.定义

,称为X

的均方差或标准差．如果X

是离散型随机变量,其分布列为

,如果X

是连续型随机变量