2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义七年级专题01 质数那些事

第第页2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义七年级竞赛专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为()A．质数 B．可为质数，也可为合数 C．合数 D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题)解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题)解题思想：⑴将1到2004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题)5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4 B．8 C．12 D．0在2005，2007，2009这三个数中，质数有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(“希望杯”邀请赛试题)7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )A．1个 B．3个 C．5个 D．6个(“希望杯”邀请赛试题)8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题)4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题)5．若，均为质数，且满足＋=2089，则49－=_________．A．0 B．2007 C．2008 D．2010(“五羊杯”竞赛试题)6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是( )A．，都是质数 B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题)7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01质数那些事例134例2C例33符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4（1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。例6设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数．因为=7931，=1793，=9137，=7913，=7193，=1937，=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整数：=L，=L，…=L，其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．A级1．19982．－13．634．20005．D6．A7．B8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质数又是偶数，则p=2．9．设十个连续合数为k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，…，11的倍数即可．10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数．11．设这块地面积为S，则S==（n＋124）．∴=124∵x＞y（x，y）=1∴（，）=1（，）=1得｜124∵124=×31，=（x＋y）（x－y）∴，或∴，或（舍）此时n==900．∴S==900×=230400cm=23．04m。B级1．19或252．提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q．3．133234．20015．B提示：唯有a=2，b=2089－=2089－2048=41是质数，符合题意．6．A提示：当a=3时，符合题意；当a≠3时，被3处余1，设=3n＋1，则7＋8=21n＋15，8＋7=24n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故a=3．7．－a，－b，－c，－d都是偶数，即M=－（a＋b＋c＋d）是偶数．因为=，所以=2（）是偶数，从而有a＋b＋c＋d=－M=2（）－M，它一定是偶数，但a＋b＋c＋d＞2，于是a＋b＋c＋d是个合数．8．取六个数ai＝i×(1×2×3×4×5×6)＋1(i＝1，2，…，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即3×1×2×3×4×5×6的一个因子，但从a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质．9．由pq＋11＞11且pq＋11是质数知，pq＋11必为正奇数，从而p＝2或q＝2．(1)若p＝2，此时7p＋q及2q＋11均为质数．设q＝3k＋1，则q＋14＝3(k＋5)不是质数；设q＝3k＋2，则2q＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此q应为3k型的质数，当然只能是q＝3．(2)若q＝2，此时7p＋q与2p＋11均为质数，设p＝3k＋1，则7p＋2＝3(7k＋3)不是质数；设p＝3k＋2，则2p＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此，p应为3k型的质数，p＝3．综合(1)，(2)知p＝3，q＝2或p＝2，q＝3，所以pq十qp＝17．10．(1)能办到提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求．(2)不能办到提示：若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有20个偶数，21个奇数，总共是41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，专题02 数的整除性阅读与思考设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作|，又称为的约数，而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数的个位数是偶数，则2|；②若整数的个位数是0或5，则5|；③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|．2．整除的基本性质设，，都是整数，有：①若|，|，则|；②若|，|，则|(±)；③若|，|，则[，]|；④若|，|，且与互质，则|；⑤若|，且与互质，则|．特别地，若质数|，则必有|或|．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确 B．只有②正确 C．①，②都正确 D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例3】已知整数能被198整除，求，的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值．【例4】已知，，都是整数，当代数式7＋2＋3的值能被13整除时，那么代数式5＋7－22的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5＋7－22构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，中都至少有一个为的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”．根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足|－|=1，我们把青蛙从开始，经－1次跳动的位置依次记作：，，，…，．⑴写出一个，使其，且＋＋＋＋>0；⑵若=13，=2012，求的值；⑶对于整数(≥2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整数(≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证＋＋＋＋>0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若=13，=2012，从经过1999步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．⑶设同时满足两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故从原点出发，经过(－1)步到达，假定这(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，则＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( )A．12个 B．18个 C．20个 D．30个(“希望杯”邀请赛试题)7．五位数是9的倍数，其中是4的倍数，那么的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，，，能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则的最小值为_________，的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题)2．已知，都是正整数，若1≤≤≤30，且能被21整除，则满足条件的数对(，)共有___________个．(天津市竞赛试题)3．一个六位数能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1059，1417，2312分别被自然数除时，所得的余数都是，则－的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数，然后，魔术师再要求他记下五个数：，，，，，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出的大小，魔术师就能说出原数是什么．如果N=3194，请你确定．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)专题02数的整除性例1267提示：333－66＝267．例2C提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．例4设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，则有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．例5考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余数为0或1．A级1．12．31433．397984．A5．C6．B7．五位数EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)＝10×EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcd)＋e.又∵EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd)为4的倍数．故最值为1000，又因为EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)最小值为10008.8．324561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B级1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)2．573．719895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．4．B5．B6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．7．由题意得EQ\o\ac(\S\UP7(—),acb)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bac)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bca)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cab)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cba)＝3194，两边加上EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．得222(a＋b＋c)＝3194＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．则EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)＋86是222的倍数．且a＋b＋c＞14．设EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋86＝222n考虑到EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＝358．8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，则最小数为EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)．故N＝EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)－EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)，则6×EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝EQ\o\ac(\S\UP7(———),defabc)，即6×(1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),def))＝1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，所以994×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)－5999×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，即142×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＝857×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，∵(142，857)＝1，∴142|EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)，857|EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)，而EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)为三位数，∴EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)＝142，EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＝857，故EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝142857．10．设这个数为EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd)，则1000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1999，即1001a＋101b＋11c＋2d＝1999，得a＝1，进而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，则11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故这个四位数是1976．11．当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n＝5时，设a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数,矛盾.若中含9,则不含1,于是不含故含4;不含故含3;不含故含2;但是是10的倍数,矛盾.综上所述,n的最小值为5专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝＋…＋＋，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A中第n项的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】化简.（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），….能力训练A级1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10＋＝102×（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2n＝3n＝4s＝4s＝8s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）

-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）A.B.C.a＋b－cD.3(a＋b－c)(希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（）（东方航空杯竞赛试题）A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数1234…n所得的总数47…（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；

（2）试求出用b表示a的关系式；

（3）若1名质检员1天能检验b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？（广东省广州市中考试题）B级1.你能很快算出19952吗？

为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.

（1）通过计算，探索规律.

152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；

252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；

352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25；

452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25；

...

752＝5625可写成______；

852＝7225可写成______；

（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______；

（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，计算：（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；(2)22＋42＋…＋502＝__________________.3.已知n是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则＋＋…＋＋＝_______________.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题