专项17-勾股定理-专题训练

勾股定理-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（长春期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则斜边的长为（）A．3 B．5 C．3 D．52．（南关区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．123．（卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．84．（惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16 B．25 C．144 D．1695．（青田县期末）直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A．13 B．119 C．13或119 D．13或126．（罗湖区期末）直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（）A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 C．1a+17．（丹东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2π B．3π C．4π D．8π8．（山西月考）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．5889．（兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（）A．6013 B．13 C．6 10．（山西月考）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（上海期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．12．（松江区期末）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝．13．（长春期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则边AC的长为．14．（南关区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝28，则BD的长为．15．（法库县期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．16．（南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为．17．（雁江区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为．18．（浦东新区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，则DE＝cm．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（南关区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．20．（九龙县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．（1）∠2＝∠B，求AC的长．（2）∠1＝∠2，求AC的长．21．（禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝cm．（2）当PA＝PB时，求t的值．22．（门头沟区期末）如图，△ABC中，AB＝42，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．23．（法库县期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．（1）若∠A＝36°，求∠DCB的度数；（2）若AB＝10，CD＝6，求BC的长．24．（山西月考）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC．（1）求出AC的长和BD的长．（2）点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿C→A→B运动，运动到点B时停止，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBC的面积为36cm2？

勾股定理-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（长春期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则斜边的长为（）A．3 B．5 C．3 D．5【分析】直接利用勾股定理计算得出答案．【解析】∵直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，∴斜边的长为：12故选：B．2．（南关区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度．【解析】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，由勾股定理知：AB=A∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．∴AE＝BE=12故选：C．3．（卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．8【分析】根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来．【解析】如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，∴正方形A的面积为6，故选：A．4．（惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16 B．25 C．144 D．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据勾股定理得出：AB=A∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．5．（青田县期末）直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A．13 B．119 C．13或119 D．13或12【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可得出结论．【解析】当12是直角边时，斜边长=5故它的斜边长为13或12．故选：D．6．（罗湖区期末）直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（）A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 C．1a+1【分析】根据直角三角形的面积的计算方法，以及勾股定理就可解得．【解析】根据直角三角形的面积可以导出：斜边c=ab再结合勾股定理：a2+b2＝c2．进行等量代换，得a2+b2=a两边同除以a2b2，得1a故选：D．7．（丹东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2π B．3π C．4π D．8π【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．【解析】∵S1=12π（AC2）2=18πAC2，S2∴S1+S2=18π（AC2+BC2）=18πAB故选：A．8．（山西月考）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．588【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF2的长．【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C．9．（兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（）A．6013 B．13 C．6 【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．【解析】∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴斜边为52∵S△ABC=12×5×12=12∴h=60故选：A．10．（山西月考）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是S，则第二个正方形的面积是12S，…，进而可找出规律得出第【解析】第一个正方形的面积是S；第二个正方形的面积是12第三个正方形的面积是14…第n个正方形的面积是12∵正方形⑤的面积是2，∴正方形①的面积32．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（上海期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝9．【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理用BD表示出BC，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解析】在Rt△ACD中，CD=AC2在Rt△BCD中，BC=C在Rt△ABC中，BC=A∴27+BD解得，BD＝9，故答案为：9．12．（松江区期末）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝5．【分析】根据两点间的距离公式得到AB即可．【解析】根据题意得AB=(−1−2故答案为：5．13．（长春期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则边AC的长为7．【分析】根据勾股定理求出AC．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得，AC=A故答案为：7．14．（南关区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝28，则BD的长为14．【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质推知点D是线段BD的中点．【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴AD是边BC上的中线，∴点D是线段BD的中点．又∵BC＝28，∴BD=12故答案是：14．15．（法库县期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝4．【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．【解析】∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH=A∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，故答案为：4．16．（南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为8．【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解析】由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，∴S正方形B+4＝18﹣6，∴S正方形B＝8．故答案为：8．17．（雁江区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为19．【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．【解析】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，由勾股定理知，AB=A故S阴影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝52−1故答案是：19．18．（浦东新区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，则DE＝83cm【分析】首先根据勾股定理求得AC＝6cm；然后利用角平分线的性质求得ED＝CD，设ED＝CD＝x；最后在直角△ACD中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．【解析】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，则由勾股定理得到：AC=AB2∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD⊥BC，∴ED＝CD，设ED＝CD＝x（x＞0），在直角△ACD中，AD2＝AE2+ED2，即（6﹣x）2＝（10﹣8）2+x2．解得x=8即DE=83故答案是：83三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（南关区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；（2）利用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，进而解答即可．【解析】（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC，∴AC=A（2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9，∴CD2＝AC2+AD2，∴△ADC是直角三角形，∴四边形ABCD的面积=120．（九龙县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．（1）∠2＝∠B，求AC的长．（2）∠1＝∠2，求AC的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AD＝BD，进而利用勾股定理解答即可；（2）根据角平分线的性质和勾股定理解答即可．【解析】（1）∵∠2＝∠B，∴AD＝BD＝2.5，∵∠C＝90°，CD＝1.5，∴AC=A（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE＝1.5，AC＝AE，在Rt△DEB中，BE=B在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2，可得：AC2＝（AC+2）2﹣（1.5+2.5）2，解得：AC＝3．21．（禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝12cm．（2）当PA＝PB时，求t的值．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）设AP＝t，利用勾股定理列出方程解答即可．【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，∴BC=AB2故答案为：12；（2）设AP＝t，则PC＝16﹣t，在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，即（16﹣t）2+122＝t2，解得：t＝12.5，∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5．22．（门头沟区期末）如图，△ABC中，AB＝42，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．【分析】过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°，DE＝CE，结合∠ABC＝45°可得出∠BAE＝45°，进而可得出AE＝BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出BE的长，即BD+12DC＝4，结合BD﹣DC＝1可求出【解析】过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．∵AD＝AC，AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，DE＝CE．∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BE．在Rt△ABE中，AB＝42，∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（42）2，∴BE＝4，∴BD+12又∵BD﹣DC＝1，∴DC+1+12∴DC＝2