专项18-菱形的性质与判定-大题专练-专题培优

菱形的性质与判定-大题专练-专题培优一．解答题（共27小题）1．（海淀区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．2．（南宁一模）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO．（2）求证：四边形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．3．（龙泉驿区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．4．（许昌期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）填空：①当∠ADC＝°时，四边形ACEB为菱形；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝．5．（门头沟区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的长．6．（吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF＝∠DAE．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．7．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A'C'D'的位置，若平移开始后点D'未到达B时，A'C'交CD于点E，D'C'交CB于点F，连接EF，CC'．（1）证明：在平移的过程中，△A'DE总是等腰三角形；（2）甲判断：在平移的过程中．总有四边形CEFC'是菱形．乙判断：在平移的过程中，当且仅当A'是AD的中点时，四边形CEFC'是菱形．你认为谁的判断正确，请说明理由．8．（朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝2，点E是AB中点，求EF的长．9．（越秀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形．（2）若AC＝16，BD＝12，求△ADE的周长．10．（漳州期中）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．11．（武昌区期中）如图，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC边上一动点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）若BC＝10，判断四边形AEDF的形状并证明；（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF是正方形，求BD的长；（3）若∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，则BD＝．12．（鄂城区校级月考）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．13．（沙坪坝区校级期末）如图1，AC是菱形ABCD的对角线，E是BC上的点，连接AE且AE＝AC．（1）若∠D＝30°，BE＝4，求AC的长；（2）如图2，过C作CH⊥AB于H，F为CD上一点，连接AF，若∠DAF＝∠BAE，DF＝AH，求证：3AH＝AB．14．（桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD15．（新华区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE＝AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．16．（株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．17．（睢县期中）如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AE于点F，连接BE．（1）如图1，求证：∠AFD＝∠EBC；（2）如图2，若DE＝EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数．18．（鄞州区模拟）如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求▱ABCD的面积．19．（文成县二模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，且CE＝CF．（1）求证：△ABE≌△ADF．（2）若∠BAE＝∠EAF＝40°，求∠AEB的度数．20．（高新区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF；（2）四点A、C、F、E能否组成平行四边形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．21．（天心区校级期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度数．22．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P为射线AC上一点，E为射线BC上一点，且PD＝PE．（1）如图1，①求证：∠DPE＝60°．②求证：AP＝CE，③求证：CP+CE＝CD；（2）在图2中，（1）中的三个结论是否仍都成立？请说明理由．23．（新都区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．24．（秦淮区期末）已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．25．（江都区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．26．（海淀区校级月考）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝3，求AG的长．27．（赣州期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

菱形的性质与判定-大题专练-专题培优（解析版）一．解答题（共27小题）1．（海淀区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．【分析】（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF＝OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE＝CF，即可得出结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得出OE=3AO=3，则EF＝2OE＝2【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，∠AEF=∠CFE∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO=12∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE=3AO=∴EF＝2OE＝23，∴四边形AFCE的面积=12AC×EF=12×2．（南宁一模）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO．（2）求证：四边形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由ASA即可得出结论；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD＝AB，即可得出结论；（3）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性质得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD═42【解析】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中，∠DAO=∠BCOAO=CO∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB，∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=B∴S菱形ABCD3．（龙泉驿区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；（2）由直角三角形的性质可得AD＝CD＝DB，即可证四边形CDBF是菱形；（3）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；【解析】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA），∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，∴四边形CDBF是菱形，（3）如图，作EM⊥DB于点M，在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝22，∴BM＝22在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DM=3ME＝26∴BD＝26+2∴△BDE面积=12×BD×ME=12×224．（许昌期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）填空：①当∠ADC＝60°时，四边形ACEB为菱形；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝42．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质解答即可．【解析】（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，∵∠ADC＝60°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE＝BE，∴四边形ACEB为菱形，故答案为：60；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，DE＝42，故答案为：42．5．（门头沟区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，根据平行四边形的判定得出四边形EBCF是平行四边形，根据矩形的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出AB，根据菱形的性质得出即可．【解析】（1）四边形EBCF是矩形，证明：∵四边形ABCD菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，又∵DF＝AE，∴DF+DE＝AE+DE，即：EF＝AD，∴EF＝BC，∴四边形EBCF是平行四边形，又∵BE⊥AD，∴∠BEF＝90°．∴四边形EBCF是矩形；（2）∵四边形ABCD菱形，∴AD＝CD．∵四边形EBCF是矩形，∴∠F＝90°，∵AF＝9，CF＝3，∴设CD＝x，则DF＝9﹣x，∴x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5，∴CD＝5．6．（吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF＝∠DAE．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．【分析】（1）首先利用菱形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠D，进而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC和△ACD都是等边三角形，进而得出∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，求出△AEF为等边三角形．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAF，在△ABE和△ADF中，∠B=∠DAB=AD∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF；（2）解：连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB＝AC＝AD，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∠CAF＝∠DAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．7．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A'C'D'的位置，若平移开始后点D'未到达B时，A'C'交CD于点E，D'C'交CB于点F，连接EF，CC'．（1）证明：在平移的过程中，△A'DE总是等腰三角形；（2）甲判断：在平移的过程中．总有四边形CEFC'是菱形．乙判断：在平移的过程中，当且仅当A'是AD的中点时，四边形CEFC'是菱形．你认为谁的判断正确，请说明理由．【分析】（1）先证明CD＝DA＝DB，得到∠DAC＝∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E＝∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状；（2）同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，得出EC＝C'F，证出四边形CEFC'是平行四边形，又由C'C＝EC，即可得出四边形CEFC'是菱形．【解析】（1）证明：∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形；（2）解：甲的判断正确；理由如下：同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，∴EC＝C'F，∵CD∥C'D'，∴四边形CEFC'是平行四边形，又∵C'C＝EC，∴四边形CEFC'是菱形．8．（朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝2，点E是AB中点，求EF的长．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可得AB∥CD，OA＝OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．在△OAE和△OCF中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF；（2）∵E是AB中点，∴BE＝AE＝CF．∵BE∥CF，∴四边形BEFC是平行四边形，∵AB＝2，∴EF＝BC＝AB＝2．9．（越秀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形．（2）若AC＝16，BD＝12，求△ADE的周长．【分析】（1）先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的定义证明即可；（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出AD＝CD=AO2+DO2=10，再由平行四边形的性质得出AE＝CD【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°．∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝8，DO＝6，AD＝CD=A∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝10，DE＝AC＝16，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝10+10+16＝36．10．（漳州期中）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，然后利用直角三角形的性质可求解．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，又∵AE＝DE，∴DE＝CE．（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH=3∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH=3AH∴AH=32，AB＝2AH即菱形的边长为3．11．（武昌区期中）如图，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC边上一动点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）若BC＝10，判断四边形AEDF的形状并证明；（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF是正方形，求BD的长；（3）若∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，则BD＝6137【分析】（1）首先判定平行四边形，然后证明一个内角为90°，从而判定矩形；（2）首先根据面积法求得DE的长，然后利用勾股定理求得BD的长即可；（3）根据面积求得BD：CD＝3：4，然后求得BD的长．【解析】解：（1）AEDF是矩形，理由如下∵AB2+AC2＝62+82＝BC2＝102，由勾股定理得∠BAC＝90°∵DE∥AF、DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形；（2）由（1）得，当DE＝DF时，四边形AEDF是正方形．设DE＝DF＝x，建立面积方程S△ABC=12AC•BD=12DE（即：12×6×8=解得：x=24∴DE＝AE=247，BE＝AB﹣AE在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD=B（3）依题意得，当AD是∠BAC角平分线时，四边形AEDF是菱形．点B作AC的垂线段交于点G，又∵∠BAG＝60°，∴AG＝3，CG＝5，BG=33由勾股定理得：BC=213∵AD平分∠BAC，∴S▲ABD：S▲ACD＝AB：AC＝BD：CD，即BD：CD＝3：4．∴BD=6故答案为：61312．（鄂城区校级月考）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【解析】证明：（1）连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF＝AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，∵GB＝AE＝2，∴AB＝AD＝4，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴AH＝23，BH＝2．∴GH＝4，∴AG=AH213．（沙坪坝区校级期末）如图1，AC是菱形ABCD的对角线，E是BC上的点，连接AE且AE＝AC．（1）若∠D＝30°，BE＝4，求AC的长；（2）如图2，过C作CH⊥AB于H，F为CD上一点，连接AF，若∠DAF＝∠BAE，DF＝AH，求证：3AH＝AB．【分析】（1）由菱形的性质得出∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD＝75°，过点E作EF⊥AB于F，则∠BEF＝60°，由AE＝AC，得出∠ACE＝∠AEC＝75°，则∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝45°，推出△AEF是等腰直角三角形，得出AE=2EF，由含30°直角三角形的性质得出EF（2）在线段AB上取点G，使BG＝BE，由ASA证得△BAE≌△DAF，得出BE＝DF，AE＝AF，推出BG＝DF，由SAS证得△CBG≌△BAE，得出CG＝AE＝AC，由等腰三角形的性质得出AH＝HG，证出AH＝HG＝BG，即可得出结论．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝30°，∴∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD过点E作EF⊥AB于F，如图1所示：则∠BEF＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=2EF在Rt△BEF中，EF=12BE∴AC＝AE＝22；（2）证明：在线段AB上取点G，使BG＝BE，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC，在△BAE和△DAF中，∠B=∠DAB=AD∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∴BG＝DF，在△CBG和△BAE中，BG=BE∠B=∠B∴△CBG≌△BAE（SAS），∴CG＝AE＝AC，∵CH⊥AB，∴AH＝HG，∵AH＝DF，BG＝DF，∴AH＝HG＝BG，∴3AH＝AB．14．（桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△ADF即可；（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠A=∠A∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝33BE＝1，AB＝2AE∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×3=215．（新华区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE＝AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°和等边△BEF，可以证明△FAB≌△ECB，进而可得CE＝AF；（2）延长FA交BE于点G，结合（1）根据三角形的外角定义可得∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即可求出∠CBE的度数．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵△BEF是等边三角形，∴FB＝EB，∠FBE＝60°，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴∠FBA＝∠EBC，∴△FAB≌△ECB（SAS），∴CE＝AF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，延长FA交BE于点G，根据三角形的外角定义可知：∠GAD＝∠AFP+∠APF，∠BAG＝∠AFB+∠ABF，∴∠GAD+∠BAG＝∠AFP+∠APF+∠AFB+∠ABF，∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，∴∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即120°＝60°+46°+∠CBE，∴∠CBE＝14°．答：∠CBE的度数为14°．16．（株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO＝CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE＝∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO＝30°，然后求出∠AEF＝90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCFAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵∠BAD＝60°，∴∠DAO=12∠BAD∵∠EOD＝30°，∴∠AOE＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠DAO﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，∴OD=12AD∴AO=AD∴AE＝CF=3∵菱形的边长为2，∠BAD＝60°，∴高EF＝2×3在Rt△CEF中，CE=EF17．（睢县期中）如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AE于点F，连接BE．（1）如图1，求证：∠AFD＝∠EBC；（2）如图2，若DE＝EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数．【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB的度数．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DC＝CB，在△DCE和△BCE中DC=CB∠DCE=∠BCE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC＝∠EBC，由DC∥AB得，∠EDC＝∠AFD，∴∠AFD＝∠EBC；（2）解：∵DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，设∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝x°，则∠CBF＝2x°，由BE⊥AF得：2x+x＝90°，解得：x＝30°，∴∠DAB＝60°．18．（鄞州区模拟）如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，再由BE＝DF可得AF与EC平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形；（2）根据四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，可以证明△ABE是等边三角形，过点A作AG⊥BE于点G，根据特殊角三角函数即可求出AG的长，进而求出▱ABCD的面积．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴EC＝AF，又∵EC∥AF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC，∠AEC＝∠AFC＝120°，∴∠AEB＝60°，∵BE＝CE＝4，∴AE＝BE＝4，∴△ABE是等边三角形，过点A作AG⊥BE于点G，∴AG＝AB•sin∠B＝23，∵BC＝BE+EC＝8，∴▱ABCD的面积＝BC•AG＝8×23=16319．（文成县二模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，且CE＝CF．（1）求证：△ABE≌△ADF．（2）若∠BAE＝∠EAF＝40°，求∠AEB的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF；（2）由（1）可得：∠BAE＝∠DAF＝40°，由菱形的性质可求∠B＝60°，进而可求出∠AEB的度数．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∵CE＝CF，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（SAS）（2）∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝40°，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠EAF＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝80°．20．（高新区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF；（2）四点A、C、F、E能否组成平行四边形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．【分析】（1）由题意得到BG＝DG，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBG，∠DEG＝∠BFG，∵G为BD的中点，∴BG＝DG，∵在△GDE和△GBF中，∠EDG=∠FBG∠DEG=∠BFG∴△DGE≌△BGF（AAS）；（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝5﹣2t（cm），∵AD∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AFCE是平行四边形，即t＝5﹣2t，解得：t=5②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣5（cm），∵AD∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝2t﹣5，解得：t＝5；综上可得：当t=53或5s时，以A、C、E、21．（天心区校级期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度数．【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，再求出CE＝BF，然后利用“边角边”证明即可；（2）由（1）知△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，根据全等三角形对应角相等可得∠E＝∠F，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE＝∠ABC即可．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AF，∴BE+BC＝AF+AB，即CE＝BF，在△ACE和△CBF中，CE=BF∠ACB=∠ABC∴△ACE≌△CBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∵∠BAE＝∠FAG，∴∠E+∠BAE＝∠F+∠FAG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．22．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P为射线AC上一点，E为射线BC上一点，且PD＝PE．（1）如图1，①求证：∠DPE＝60°．②求证：AP＝CE，③求证：CP+CE＝CD；（2）在图2中，（1）中的三个结论是否仍都成立？请说明理由．【分析】（1）①只需说明∠CEP＝∠CDP即可；②连接DE，证明△ADP与△CDE全等即可；③延长CE至F，使EF＝CP，连接DF，依次去证明△ADP≌△CDE，△DPC≌△DEF即可．（2）①②证明方法与（1）大致相同，③延长CD至F，使DF＝CP，连接EF，然后依次去证明△ADP≌△CDE，△EPC≌△EDF即可．【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC与△ADC均为等边三角形，∴∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC＝60°，AC＝CD＝DA＝AB＝BC，②如图1，连接BP，则BP＝DP，∠CBP＝∠CDP，∵PD＝PE，∴PB＝PE，∴∠CBP＝∠CEP，∴∠CEP＝∠CDP，∴∠DPE＝∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°．连接DE，则△PDE是等边三角形，∴DE＝DP，∠PDE＝60°＝∠ADC，∴∠ADP＝∠CDE，在△ADP和△CDE中：AD=CD∠ADP=∠CDE∴△ADP≌△CDE（SAS），∴AP＝CE．③延长CE至F，使EF＝CP，连接DF．∵∠PDE＝60°，∠PCE＝120°，∴∠PDE+∠PCE＝180°，∴∠DPC+∠DEC＝180°，∵∠DEC+∠DEF＝180°，∴∠DPC＝∠DEF，在△DPC和△DEF中：DP=DE∠DPC=∠DEF∴△DPC≌△DEF（SAS），∴DC＝DF，∵∠DCE＝60°，∴△DCF是等边三角形，∴DC＝CF＝CE+EF＝CE+CP．（2）结论①②仍然成立，结论③变为CE＝CP+CD．①如图2，连接PB，则PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，∵PD＝PE，∴PB＝PE，∴∠PBC＝∠PCE＝∠PDC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°．②连接DE，则△PDE是等边三角形，∴DP＝DE＝PE，∠PDE＝60°，∵∠ADC＝60°，∴∠ADP＝∠CDE，在△ADP和△CDE中：AD=CD∠ADP=∠CDE∴△ADP≌△CDE（SAS），∴AP＝CE．③延长CD至F，使DF＝CP，连接EF．∵∠DEP＝60°，∠DCP＝∠DCE+∠PCE＝∠ACB+∠DCE＝120°，∴∠DEP+∠DCP＝180°，∴∠CDE+∠CPE＝180°，∵∠CDE+∠EDF＝180°，∴∠EDF＝∠EPC，在△EPC和△EDF中：EP=ED∠EPC=∠EDF∴△EPC≌△EDF（SAS），∴EF＝EC，∵∠ECF＝60°，∴△ECF为等边三角形，∴CE＝CF＝CD+DF＝CD+CP．23．（新都区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解析】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG=12∠∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵BE=CD∠BEM=∠DCM∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝265，∴DM=22BD方法二：过M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH=12∴MH=12∴DH＝11，∴DM=124．（秦淮区期末）已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．【分析】（1）连接AC，由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点，证出GF为△AOD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥OA，GF=12OA，同理：EH∥OC，EH=12OC，得出EH＝GF，（2）连接GH，证出四边形ABHG是平行四边形，再证明GH⊥EF，即可得出四边形GEHF是菱形；（3）①由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，得出GH＝AB，证出GH＝EF，即可得出四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，则AM∥GN，证出GN是△ADM的中位线，得出GN=12AM，证出∠BAM＝30°，由直角三角形的性质得出BM=12AB＝1，AM=3BM=3，得出GN=32，求出△【解析】（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF=12同理：EH∥OC，EH=12∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB=12BD＝∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN=12∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM=12AB＝1，AM=3∴GN=3∵BD＝2AB＝4，∴EF=