专题12 反比例函数的图象、性质及应用（讲义）（5考点+28题型）

第12讲反比例函数的图象、性质及应用目录TOC\o"1-2"\h\u考点一反比例函数的相关概念 3题型01用反比例函数描述数量关系 3题型02判断反比例函数 4题型03根据反比例函数的定义求字母的值 4考点二反比例函数的图象与性质 5题型01判断反比例函数图象 6题型02反比例函数点的坐标特征 7题型03已知反比例函数图象，判断其解析式 8题型04由反比例函数解析式判断其性质 9题型05由反比例函数图象分布象限，求k值 9题型06判断反比例函数经过象限 10题型07已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 10题型08已知反比例函数增减性，求k值 10题型09由反比例函数的性质比较大小 11题型10求反比例函数解析式 11题型11与反比例函数有关的规律探究问题 12考点三反比例系数k的几何意义 15题型01一点一垂线 18题型02一点两垂线 21题型03两点一垂线 21题型04两点两垂线 23题型05两点和原点 24题型06两曲一平行 26考点四反比例函数与一次函数综合 31题型01一次函数图象与反比例函数图象综合 31题型02一次函数与反比例函数交点问题 32题型03一次函数与反比例函数综合应用 35考点五反比例函数的实际应用 38题型01行程问题 38题型02工程问题 39题型03物理问题 40题型04分段问题 44题型05几何问题 47考点要求新课标要求命题预测反比例函数相关概念理解与掌握反比例函数相关概念.反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为:反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题.综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究.反比例函数的图象与性质能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=kx(k≠0)探索并理解k>0和k能根据已知条件确定反比例函数的表达式.反比例系数k的几何意义理解与掌握反比例系数k的几何意义.反比例函数与一次函数综合反比例函数的实际应用能用反比例函数解决简单实际问题

考点一反比例函数的相关概念1、反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、2、反比例函数解析式的特征:①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；②k≠0；③分母中含有自变量x，且指数为1.易混易错1.反比例函数y=kx（k≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数2.反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．3.反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.题型01用反比例函数描述数量关系【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F1L1=F2L

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（

）A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．无法确定题型02判断反比例函数【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（

）A．y=−3x B．y=−32x C．【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（

）A．y=5x B．y=2x+3 C．y=4x 题型03根据反比例函数的定义求字母的值【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则m的值是【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝kx的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为_________【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2x的图象上，则m=________．【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=k−1x的图象经过点−2,1，则k的值是（A．1 B．−2 C．−1 D．3

考点二反比例函数的图象与性质1、反比例函数的图象与性质图象特征1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．性质表达式y=kx（k为常数，图象k>0k<0经过象限一、三象限（x、y同号）二、四象限（x、y异号）增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;②图象关于直线y=x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;③图象关于直线y=−即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.反比例函数解析式的确定方法待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：1）设反比例函数的解析式为y=k2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；3）解方程求出待定系数k；4）将所求的k值代入所设解析式中.【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．易混易错1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．题型01判断反比例函数图象【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（

）A． B． C． D．

【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y（）A． B．C． D．

【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF=y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（

）A． B． C． D．

【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数x…−2−101132537456…y=…−1−2■4241424121…y=…−−−1m−2−4■424121…

(1)m=__________________．(2)请画出函数y=2(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）②y=2x−2的图象是由③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）题型02反比例函数点的坐标特征【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y=2x图象上的是（A．−1,2 B．2,−1 C．1,3 D．−1,−2【变式2-1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=kx的图象上，则不在这个函数图象上的点是（A．1,6 B．−12,12， C．−2,−3【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A，B两点，若A2，A．2,2 B．−2,−1 C．−2,−2 D．−1,−4【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=−2x的图象的一个交点坐标为1,m，则另一个交点的坐标为【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y=kx相交于A，B两点．若点A2,m，则点B【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y=k+6x的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____．题型03已知反比例函数图象，判断其解析式【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（

A．y=1|x| B．|y|=1x C．【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点Pa,b，若ab>0，则称点P为“同号点”．若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是____题型04由反比例函数解析式判断其性质【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=−5A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点3【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数y=kxk≠0A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小题型05由反比例函数图象分布象限，求k值【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（

）

A．5 B．12 C．−5 D．−12【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则k的值可能是（

A．−2 B．1 C．3 D．5题型06判断反比例函数经过象限【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y=kx（k≠0），当x1A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限【变式6-1】（2023·湖南永州·统考二模）当k>2时，反比例函数y=k−2x的图象位于（A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y=6x的图象的是（A． B． C． D．

题型07已知反比例函数增减性，求参数的取值范围【例7】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）反比例函数y=a+3x的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则A．a≥−3 B．a>−3 C．a≤−3 D．a<−3【变式7-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数y=3m+1x图象上有两点Ax1,y1，BA．m≤−13 B．m>−13 C．【变式7-2】（2023·湖北武汉·统考三模）若点m−1,y1和m+1,y2在y=kxk>0的图象上，若yA．m>1或m<−1 B．−1<m<1C．−1<m<0或0<m<1 D．m≠±1【变式7-3】（2022上·陕西渭南·九年级统考期末）若反比例函数y=3k−2x在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（A．−1 B．0 C．12 题型08已知反比例函数增减性，求k值【例8】（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数y1=kx,y2=−kx(k>0)，当1≤x≤3时，函数y1的最大值为【变式8-1】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数y=kxk≠0的图象在每个象限内y随x的增大而增大，且当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k【变式8-2】已知反比例函数y=kx(k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则题型09由反比例函数的性质比较大小【例9】（2023·广东东莞·校联考一模）若点A−2,y1、B−1,yA．y1<y2<y3 B．y2<【变式9-1】（2023·广东湛江·统考三模）若点Ax1，y1、BA．y1<y2<y3 B．y3<【变式9-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知Ax1,y1A．y1+y2>0 B．y1【变式9-3】（2022·河北邯郸·校考三模）已知反比例函数y=kx的图象在第一、第三象限内，设函数图象上有两点Ax1,y1、Bx2A．y1>y2 B．y1【变式9-4】（2023·湖北武汉·统考二模）已知Ax1,y1，Bx2,yA．若x1x2>0，则y2C．若x1x3<0，则y2题型10求反比例函数解析式【例10】（2023·陕西商洛·统考二模）已知A−1,p与B2,p−3是反比例函数y=kx图象上的两个点，则【变式10-1】（2022·福建泉州·统考模拟预测）若反比例函数y=kx的图象过点−2,a、2,b，且a−b=−6，则k=_______【变式10-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数y=kx的图象上有一点Pa，b，且a、b是方程t【变式10-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数y=kxk≠0的图象经过a,2，a+1,1、(b【变式10-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B题型11与反比例函数有关的规律探究问题【例11】（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA（1）点P2的坐标为（2）作出矩形B18A17A18【变式11-1】（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数y=4x的图象上有A2,m、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD=12AC，点F1是CD的中点，连接AF1、BF1，得到△AF1B【变式11-2】（2021上·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有____个，这些边整点落在函数y=4x的图象上的概率是________【变式11-3】（2020上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，⋅⋅⋅的边OE1，

（1）第1个等边三角形△OD1E1的周长C1=______；第2个等边三角形△E1D（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△En−1D（3）计算：C1【变式11-4】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3，过点A1，A2，A3A．11012 B．12023 C．12024

考点三反比例系数k的几何意义1、一点一垂线【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12【拓展一】【拓展二】【拓展三】(前提：OA=AC)结论：S△AOB=S△CODS△AOE=S四边形CEBDS△AOC=k2、一点两垂线【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k.【拓展一】【拓展二】【拓展三】结论：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS▱ABCD=k3、两点一垂线【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，结论：S△ABC=2S△ABO=k【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．如左图，已知一次函数与反比例函数y=k则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co•|yA|+12co•|yB|=12co(|yA|+如右图，已知一次函数与反比例函数y=k则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co•|xA|+12co•|xB|=12co(|xA|+4、两点两垂线【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|5、两点和原点方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF.【补形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD•（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC•（|xA|-|xB|【拓展】方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|．方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）．6、两曲一平行【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．类型一两条双曲线的k值符号相同结论：S阴影＝|k1|-|k2|S阴影＝12|k1|-12结论：S阴影＝|k1|-|k2|S阴影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE类型二两条双曲线的k值符号相同结论：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S阴影＝|k1|+|k2以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数题型01一点一垂线【例1】如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，AB⊥y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，则k的值为（

A．−4 B．1 C．2 D．4【变式1-1】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，△AOB的面积为4，则k

A．−8 B．8 C．−4 D．4【变式1-2】（2022上·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考期末）若图中反比例函数的表达式均为y=4x，则阴影部分面积为2的是（A．B．C．D．【变式1-3】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在y=1x的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积S1，S2，则S1

A．S1>S2 B．S1【变式1-4】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，P1−1,4、P2−2,2、P3−4,1是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形△P1A1O、△P2A2O、

A．S1=S2=S3 【变式1-5】（2020·吉林四平·统考一模）如图，函数y=2x（x＞0）和y=6x（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．【变式1-6】（2020下·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若ΔOAB的面积为3，则k【变式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，A，B是反比例函数y=9x图象上的两点，分别过点A，B作x轴的垂线．已知A．3 B．7 C．8 D．9题型02一点两垂线【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=kx的图象上，OA=1，OC=6，则正方形

A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在反比例函数y=kx(x>0)的图象上有点P1,P2,P3，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与A．3 B．4 C．5 D．6题型03两点一垂线【例3】（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线y=mx与双曲线y=kx交于A、B两点．过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若S△ABM=2，则A．2 B．m−2 C．m D．4【变式3-1】（2023·广西贵港·统考一模）如图，点Am，1和B−2，n都在反比例函数y=4x的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作A．S1:SC．S1:S【变式3-2】（2022下·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y=kx（k≠0，k为常数）交于点A，B，若A(−1,a),B(b,−3).，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM,，则A．2 B．m−1 C．3 D．6【变式3-3】（2019下·河南南阳·八年级统考期末）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC.若（1）求k的值；（2）直接写出：①点A坐标____________；点B坐标_____________；②当kx≤2x时，（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.题型04两点两垂线【例4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数y=kxk≠0的图象上，若▱ABCDA．10 B．15 C．20 D．25【变式4-1】（2021·河南许昌·统考一模）如图，点A是第一象限内双曲线y＝mx（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝nx（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝nx（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为92，则A．m＝19，n＝﹣109 B．m＝14，nC．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2【变式4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，A，B是函数y=mx（m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABCA．S=m B．S=2m C．m<S<2m D．S>2m题型05两点和原点【例5】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxx>0的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．则k

A．12 B．10 C．8 D．24【变式5-1】（2023·福建宁德·统考一模）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kxx<0的图象交于C，D两点，连接OC，OD．若△AOC和△COD的面积都为3，则kA．−2 B．−3 C．−4 D．−6【变式5-2】（2023·广东东莞·校考一模）如图，点A，C为函数y=kxx<0图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为34时，A．−1 B．−2 C．−3 D．−4【变式5-3】（2021·河北唐山·统考一模）下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（）A． B．C． D．【变式5-4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点D、C，点A、B为线段CD的三等分点，且A、B在反比例函数y=kxx>0,k>0的图象上，若△AOD的面积为12，则kA．2 B．4 C．6 D．8【变式5-5】（2023·浙江温州·统考一模）如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，过点D的反比例函数y=kx的图象经过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-6】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，矩形OABC，双曲线y=kx(x>0)分别交AB、BC于F、E两点，已知OA=4，OC=3，且S△BEF=A．2 B．94 C．3 D．题型06两曲一平行【例6】（2023·河南周口·统考二模）如图，过反比例函数y=2x(x>0)的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数y=kx(x<0)的图象于点B，连接OA，OB，若A．8 B．6 C．−8 D．−6【变式6-1】（2023·青海西宁·统考二模）如图，点A在反比例函数y=6x的图象上，点B在反比例函数y=kx的图象上，点C,D在x轴上．若四边形ABCD是正方形，且面积为9，则

A．11 B．15 C．−11 D．−15【变式6-2】（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=3xx>0的图象上，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，若平行四边形

A．−4 B．−5 C．−6 D．−7【变式6-3】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点P作反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数

A．k1+k2 B．k1−【变式6-4】（2021·贵州铜仁·校考一模）如图，点A是反比例函数y1＝1x（x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2=kx（x＞0）的图象于点B，连接OA、OBA．3 B．4 C．5 D．6【变式6-5】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形A．3 B．-3 C．32 D．【变式6-6】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=−3xx<0和y=6xx>0的图象上，点B，C在

A．1,3 B．2,3 C．2,2 D．3,2【变式6-7】（2023·山西临汾·统考二模）如图，点A在反比例函数y=3x(x<0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，BC=2AC，D是x正半轴上一点，连接

A．3 B．72 C．92 【变式6-8】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，点B在反比例函数y=−5xx<0的图象上，点C在反比例函数y=3xx>0的图象上，BC∥x轴，且

A．3.5 B．4 C．5.5 D．6【变式6-9】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是函数y=6xx>0图象上的一个动点，过点P作PQ⊥y轴交函数y=−2xx<0的图象于点Q，点M、N在x轴上(M在N的左侧，且MN=PQ，连接QM、A．8 B．12 C．24 D．四边形PQMN的面积无法确定【变式6-10】（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，点P是函数y=k1xk1>0,x>0的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=k2xk2>0,x>0的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、A．①② B．①③ C．②③ D．①【变式6-11】（2021·全国·九年级专题练习）如图，点C在反比例函数y=1x的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y=3x的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y=3x的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA【变式6-12】（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，点A(a,2)在反比例函数y=4x的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y=k（1）求直线OA的解析式；（2）求反比例函数y=k（3）点D为反比例函数y=kx上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求

考点四反比例函数与一次函数综合1.涉及自变量取值范围当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB．2.求一次函数与反比例函数的交点坐标1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．易混易错解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题题型01一次函数图象与反比例函数图象综合【例1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）若k1<0<k2，则在同一直角坐标系内，函数y=kA． B． C． D．

【变式1-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知反比例函数y=bx（b为常数），当x>0时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式1-2】（2023·湖南邵阳·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−bA． B． C． D．【变式1-3】（2023·广东广州·统考二模）已知反比例函数y=k−bxk−b≠0的函数值在每一象限内y随x的增大而减小，且k=b，则一次函数A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四题型02一次函数与反比例函数交点问题【例2】（2023·浙江·模拟预测）若函数y=kxk>0与函数y=1x的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，则△ABCA．1 B．2 C．k D．k【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，函数y=3x与y=x+1的图象交于点(m,n)，则代数式m−n2A．3 B．−3 C．13 D．【变式2-2】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图，函数y=−6xx<0和y=kx−1k≠0的图象相交于点Am

A．x<−2 B．x>3 C．−2<x<0 D．x>−2【变式2-3】（2023·青海海西·校考一模）如图，已知A−4,12,B−1,2是一次函数y1=kx+bk≠0与反比例函数y2=mxm≠0,x<0图象的两个交点，

A．x<−4 B．−4<x<−1C．x<−4或x>−1 D．x<−1【变式2-4】（2022上·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A(1,2),B(m,−1)．则关于x的不等式ax+b>kx

A．x<−2或0<x<1 B．x<1C．−2<x<0或x>1 D．−1<x<0或x>2【变式2-5】（2023·广东广州·校考一模）如图，反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为2，3，点

(1)求反比例函数与一次函数表达式；(2)结合图象，直接写出不等式mx【变式2-6】（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）已知：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=8x的图象交于点A(4,n)和

(1)求一次函数的表达式；(2)将直线AB沿y轴负方向平移a个单位，平移后的直线与反比例函数图象y=8x恰好只有一个交点，求【变式2-7】（2023·广东阳江·统考三模）如图，点A是反比例函数y=kx的图象上一点，延长AO交该图象于点B，AC⊥x轴，BC⊥y轴，若

(1)求Rt△ACB(2)求经过AB两点的直线y=k'x，并直接写出k题型03一次函数与反比例函数综合应用【例3】（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，−2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数y=2x，当y<−1时，写出(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝12S△ODA，请求出点P【变式3-1】（2023·广东云浮·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=2，OC=4，连接OB．反比例函数y=k1x(x>0)的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点B、F．一次函数y=k(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．【变式3-2】（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1,0，点D4,4在反比例函数y=kxx>0的图象上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，与x(1)求k、b的值；(2)求△ACE的面积；(3)在x轴上取点P，求出使PC−PE取得最大值时点P的坐标．【变式3-3】（2023·四川成都·成都七中校考三模）直线l1：y=−x＋4与y轴交于点C，反比例函数y=ax

(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使S△ACD=3(3)如图2，将反比例函数y=ax的图象沿直线l1：y=−x+4翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l

考点五反比例函数的实际应用1、用反比例函数解决实际问题的步骤：1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；5）解：用函数解析式去解决实际问题．2、利用反比例函数解决实际问题，要做到：1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．易混易错1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．题型01行程问题【例1】（2020·浙江杭州·统考一模）某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题：（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式；（2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围．【变式1-1】（2020·浙江杭州·统考模拟预测）五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？题型02工程问题【例2】（2022·浙江杭州·统考一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．①求y关于t的函数表达式．②若0<t≤80时，求y的取值范围．(2)若1辆卡车每天可运送土石方102【变式2-1】（2020·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．

（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式．（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？题型03物理问题【例3】（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日（星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．

第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变．第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率．第四步，计算收集数据如下：R/Ω…246810…P/W…18964.53…第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．任务：(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是_____________；（单选）A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；__________(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；

(4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围．__________【变式3-1】（2023·山西太原·统考二模）阅读与思考下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．

第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．第二步，整理数据．R…3691215…P…31.510.750.7…第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．任务：

(1)表格中错误的数据是__________________，P与R的函数表达式为____________；(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．____________【变式3-2】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．(1)求y关于x的函数解析式；(2)若火焰的像高为3cm【变式3-3】（2022·山东青岛·统考一模）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1与踏板上人的质量m之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻R0的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，然后把U知识小链接：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=U(1)求可变电阻R1与人的质量m(2)用含U0的代数式表示m(3)当电压表显示的读数U0为0.75伏时，求人的质量m【变式3-4】（2022上·河北邢台·九年级统考期末）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m桌面所受压强P(100200400500800受力面积S210.50.4a(1)根据数据，求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m(2)现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为题型04分段问题【例4】（2021·四川乐山·统考中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【变式4-1】（2022·江苏徐州·统考二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间x0≤x≤24的函数关系式；(2)解释线段BC的实际意义；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【变式4-2】（2023·山东枣庄·统考一模）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1(1)当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ【变式4-3】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：销售量n（株）n＝-x＋50销售单价m（元/株）当1≤x≤20时，m＝______当21≤x≤30时，m=10+(1)求出表中当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式；(2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？题型05几何问题【例5】（2023·广东清远·统考三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kxx>0的图象与BC边交于点(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？【变式5-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC=30°，BC=4，双曲线y=kx

(1)求k；(2)直线AC与双曲线y=−33x在第四象限交于点D【变式5-2】（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝kx（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD(1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积；(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．【变式5-3】（2022·湖南株洲·统考二模）在矩形AOBC中，OB=8,OA=4．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=kxk>0的图象与边AC

(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

第12讲反比例函数的图象、性质及应用参考答案考点一反比例函数的相关概念题型01用反比例函数描述数量关系【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F1L1=F2L

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】C【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1【详解】由杠杆平衡条件：F1∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．故选：C【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如y=kx（k为常数，【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，①矩形的面积=x⋅y，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如y=k②耕地面积=S⋅n，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如y=k③汽车的行驶速度=st，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如综上可知：①②符合要求，故选A．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（

）A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．无法确定【答案】A【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀解答即可．【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高∴浮子的高度与对应注水时间成正比∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数故选A．【点睛】本题考查了判断函数关系，读懂材料，掌握一次函数、二次函数、反比例函数的特点是解答本题的关键．题型02判断反比例函数【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（

）A．y=−3x B．y=−32x C．【答案】C【分析】根据反比例函数解析式y=k【详解】解：根据反比例函数解析式y=kA.y=−3B.y=−3C.y=3D.3xy=2，得y=2故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（

）A．y=5x B．y=2x+3 C．y=4x 【答案】C【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断．【详解】解：A.y=5x，是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

B.y=2x+3，是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

C.y=4xD.y=x故选：C．【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式．题型03根据反比例函数的定义求字母的值【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则【答案】±2【分析】根据反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出【详解】∵函数y=(m+1)xm2∴m+1≠0，m2∴m=±2，故答案为：±2【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝kx的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为______【答案】3【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值．【详解】解：把点（1，3）代入y＝k得k=3故反比例函数的解析式为y=3把点（m，n）代入y=3x得【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本题的关键．【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2x的图象上，则m=【答案】2【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值．【详解】解：∵点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2∴−2×(m−1)=−2，∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与解析式的关系是解题的关键．【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=k−1x的图象经过点−2,1，则k的值是（A．1 B．−2 C．−1 D．3【答案】C【分析】把点−2,1的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可．【详解】解：∵反比例函数y=k−1x的图象经过点∴1=k−1−2．解得【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键．考点二反比例函数的图象与性质题型01判断反比例函数图象【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（

）A． B． C． D．

【答案】C【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到a、b是成反比例的量，根据函数关系式即可得到结论．【详解】解：由长方形的面积公式得，a=Sb，且故C选项符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y（）

A． B． C． D．

【答案】A【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出∠ABP=∠ACQ=100°，根据∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．【详解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=80°∴∠ABP=∠ACQ=100°又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°∴∠PAB+∠CAQ=80°∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°∴∠AQC=∠PAB∴△APB∽△QAC∴PBAC=AB则函数解析式是y=4故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形外角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键．【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF=y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（

）

A． B． C．D．

【答案】C【分析】首先根据平行四边形的性质得到S△ABD=S【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC，∴△AEF∽△BFC，∴EFCF∴x2∴y=4∴y与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出△AEF∽△BFC．【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数x…−2−101132537456…y=…−1−2■4241424121…y=…−−−1m−2−4■424121…

(1)m=__________________．(2)请画出函数y=2(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）②y=2x−2的图象是由③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）【答案】(1)−(2)见解析(3)①减小；②右；2；③(2,0)【分析】（1）把x=12代入函数（2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．【详解】（1）解：把x=12代入得y=2∴m=−4故答案为−4（2）函数图象如图所示：

（3）解：①当x<2时，y随x的增大而减小；②y=2x−2的图象是由③图象关于点(2,0)中心对称；故答案为：①减小；②右；2；③(2,0)．【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质．题型02反比例函数点的坐标特征【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y=2x图象上的是（A．−1,2 B．2,−1 C．1,3 D．−1,−2【答案】D【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上，反之则不在．【详解】A．当x=−1B．当x=2时，y=2C．当x=1时，y=2C．当x=−1故选：D．【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键．【变式2-1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=kx的图象上，则不在这个函数图象上的点是（A．1,6 B．−12,12， C．−2,−3【答案】B【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．【详解】解：A、k=1×6=6，B、k=−1C、k=−2D、k=3∴不在这个函数图象上的点是−1故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A，B两点，若A2，A．2,2 B．−2,−1 C．−2,−2 D．−1,−4【答案】C【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可．【详解】解：∵直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A∴点A和点B关于原点对称，把A2，m代入到y=∴A2∴B−2故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键．【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）【答案】C【分析】根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足2x【详解】根据题意可知，在B部分的点的坐标满足2x对其变形，得2＜xy＜6.选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；选项C，（3，1），xy=3，符合要求；选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=−2x的图象的一个交点坐标为1,m，则另一个交点的坐标为【答案】−1,2【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．【详解】∵已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=−2x的图象的一个交点坐标为∴m=∴交点坐标为1,−2∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点1,−2关于原点对称，∴该点的坐标为−1,2．故答案为：−1,2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键．【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y=kx相交于A，B两点．若点A2,m，则点B【答案】−2,−4【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：将A2,m带入到y=2x中，得m=4，则∵点A和点B关于原点对称∴点B坐标为−2,−4．故答案为：−2,−4．【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y=k+6x的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____【答案】（-2，-4）【分析】根据交点的横坐标是2，得到k+62=2k，求得【详解】∵交点的横坐标是2，∴k+62解得k=2，故函数的解析式为y=2x，y=8x当x=2时，y=4，∴交点坐标为（2，4），根据图象的中心对称性质，∴另一个交点坐标为（-2，-4），故答案为：（-2，-4）．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图象的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图象的中心对称性质是解题的关键．题型03已知反比例函数图象，判断其解析式【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（

A．y=1|x| B．|y|=1x C．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．【详解】解：根据反比例函数的图象可得：第一象限所对应的关系式为：y=1x，第四象限所对应的关系式为：∴y与x的关系式为：|y|=1【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点Pa,b，若ab>0，则称点P【答案】y=−1【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案．【详解】解：∵对于点Pa,b，若ab>0而某函数图象上不存在“同号点”，∴函数图象不在第一，第三象限，∴其函数表达式可以是y=−1故答案为：y=−1【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是解本题的关键．题型04由反比例函数解析式判断其性质【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=−5A．图象位于第一、三象限B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交D．图象必经过点3【答案】C【分析】根据反比例函数y=k【详解】解：A、∵y=−5x，∴B、∵y=−5x，∴k=−5<0，在每个象限内，y随C、反比例函数y=−5D、当x=32时，则y=−5故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数y=kxk≠0的图象性质，当k>0【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数y=kxk≠0A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可．【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，y=k当k<0时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；联立方程得，y=kxy=kx+b，即k∴△=b∴该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；当k>0时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值y随x的增大而减小，D错误，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型05由反比例函数图象分布象限，求k值【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（

A．5 B．12 C．−5 D．−12【答案】C【分析】根据图象，当x=−3时，y<3，则0>k>−9；当x=2时，y<−2，则k<−4，所以−9<k<−4，即可求解．【详解】解：由图可知：当x=−3时，0<y<3，即0<k−3<3当x=2时，y<−2，即k2<−2，则∴−9<k<−4，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则k的值可能

A．−2 B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】由题意可得：k的取值应该满足2<k<4，进而可得答案.【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：−1×−2<k<2×2所以k的值可能是3；故选：C.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出2<k<4是解题的关键.题型06判断反比例函数经过象限【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y=kx（k≠0），当x1A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限【答案】B【分析】由反比例函数的增减性可判断解析式中的k值，再由k值可确定图象所在的象限．【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，当x即当x<0时，y随x的增大而增大，故k<