专题14 二次函数的应用（练习）（14题型）

第14讲二次函数的应用目录TOC\o"1-2"\h\u题型过关练 2题型01最大利润/销量问题 2题型02方案选择问题 3题型03拱桥问题 5题型04隧道问题 7题型05空中跳跃轨迹问题 9题型06球类飞行轨迹 11题型07喷泉问题 15题型08图形问题 17题型09图形运动问题 19题型10二次函数综合问题-线段、周长问题 21题型11二次函数综合问题-面积周长问题 24题型12二次函数综合问题-角度问题 26题型13二次函数综合问题-特殊三角形问题 27题型14二次函数综合问题-特殊四边形问题 28真题实战练 31

题型过关练题型01最大利润/销量问题1．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．

（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．题型02方案选择问题4．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：销售x（吨）34567获利y（万元）0.91.11.31.51.7(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1（万元）、y2（万元）与购进水果数量(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足n=20−15．（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m50≤m≤1506．（2020·山西太原·统考模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？7．（2023·江苏南通·统考一模）某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（10<x<24）．调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800(1)求y与x的函数关系式；(2)求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；(3)若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．题型03拱桥问题8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶9．（2023·北京房山·统考一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x23681012竖直高度y45.47.26.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y=a(x−ℎ)(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.288(x−5)2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1__________d210．（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半径是______(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m题型04隧道问题11．（2022·北京通州·统考一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．12．（2023·河南信阳·二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8(1)求抛物线解析式；(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？题型05空中跳跃轨迹问题13．（2022·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为−32,−10．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点14．（2023·山东青岛·统考二模）跳台滑雪简称：“跳雪”，选手不借助任何外力，从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE=42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM=38m，ON=114m，设MN

甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度y水平距离x010203040竖直高度y4248504842(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；(2)运动员得分由距离得分＋动作分＋风速得分组成．距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．风速得分：由逆风或者顺风决定．甲运动员动作分、风速加分如下表：距离分动作分风速加分50−2.5请你计算甲运动员本次比赛得分．15．（2023·河南开封·统考一模）某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点O为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴的D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点、B点，且AB的水平距离为6米，他们到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．(1)请求出该抛物线的解析式；(2)跳绳者小明的身高为1.7米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方；(3)经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.4米时才能安全起跳，小明与其他3位同学一起跳绳，如果这3名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？题型06球类飞行轨迹16．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；(2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？17．（2022·山东青岛·统考一模）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．(1)求这条抛物线的表达式；(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．18．（2022·浙江台州·统考二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…(1)根据表中数据预测足球落地时，s=m；(2)求h关于s的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．19．（2023·河北衡水·统考二模）如图，春节期间，某同学燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径是一段抛物线，喷射出时距地面2米，在与他水平距离是20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．(1)求抛物线的解析式（不必写出x的取值范围），请通过计算说明若是哑弹，会落在几层居民楼的外墙或窗户上（每层楼高按3米计算）；(2)该同学沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？（结果保留根号）(3)若居民楼宽AB=CD=12m，该同学沿x轴向居民楼走n米，可使哑弹落在楼顶CD上（不含点C，D），直接写出n20．（2023·北京海淀·统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．

通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：表1

直发式x02468101620…y3.843.9643.96m3.642.561.44…表2

间发式x024681012141618…y3.36n1.680.8401.402.4033.203…根据以上信息，回答问题：(1)表格中m=________，n=________；(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1题型07喷泉问题21．（2022·北京西城·统考一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为xm，距地面的高度为ym．测量得到如下数值：x/m00.511.522.533.37y/m2.443.153.493.453.042.251.090小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点x,y，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．22．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH=1.5m，DE=3m，EF=0.5m时，解答下列问题：(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求出点B的坐标；(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．题型08图形问题23．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？24．（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．25．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．26．（2023下·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．(1)设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，题型09图形运动问题27．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C(1)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm(2)求四边形PQCA面积的最小值．28．（2021下·吉林·九年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时从C出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的运动时间为t秒．（1）在点P的运动过程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代数式表示）；（2）当点M落在AB边上时，t＝_________s；（3）设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；29．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为(1)当E、Q重合时，求t的值；(2)设四边形BQPE的面积为S，当线段PE在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；(3)当BE∥PQ时，求(4)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．30．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交直线AC于点Q，以PQ为边向左侧作矩形PQMN，使QM=3PQ．设矩形PQMN与△ABC(1)当点Q在边AC上时，求QM的长（用含t的代数式表示）；(2)当点M在边BC上时，求t的值；(3)求S与t之间的函数关系式．(4)连接BQ，沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值．题型10二次函数综合问题-线段、周长问题31．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．32．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2021·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=−12（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；（3）点M3,2是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM题型11二次函数综合问题-面积周长问题34．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．35．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．36．（2022·福建·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，题型12二次函数综合问题-角度问题37．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y=−14x2+12m−1x+m（m是常数，且m>0）的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P(3)当m取（2）中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．38．（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）如图，已知抛物线y=−13x2+bx+c交x轴于A−3,0，B4,0两点，交y轴于点C(1)求抛物线的表达式；(2)连接OP，BP，若S△BOP=2S(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题型13二次函数综合问题-特殊三角形问题39．（2021上·云南红河·九年级校考期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．40．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C，且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．题型14二次函数综合问题-特殊四边形问题41．（2022·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A−1，0，B4(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE＋PG的最大值，以及此时点(3)将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H2,−1，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，43．（2023·重庆江北·校考一模）如图，抛物线y=24x2+bx+c与x轴交于点A−2,0、B，与(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作AF⊥AD交对称轴于点F，在直线AF下方对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，过点P作PE⊥DF交于点E，求PQ+PE最大值及此时点(3)将原抛物线沿着x轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点M是新抛物线上一点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在以B、C、M、N为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形，若存在，求所有符合条件的点N的坐标．44．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．真题实战练1．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m0<m≤6，求栅栏总长l与m（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P2．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d(1)若ℎ=1.5，EF=0.5m①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？4．（2022·湖北荆州·统考中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？5．（2022·湖北武汉·统考中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．运动时间t01234运动速度v109.598.58运动距离y09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm(3)若白球一直以2cm/s6．（2021·山东青岛·统考中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间（1）直接写出y1与x（2）求出y2与x（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．8．（2021·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元a>0给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．9．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．小亮认为，可以从y=kx+b(k>0)，y=mx(m>0)，y=−0.1x2+ax+c(1)小莹认为不能选y=m(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？10．（2022·浙江金华·统考中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．11．（2021·湖北随州·统考中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y=−16x2+bx+c图2（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为372412．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接(1)当EQ⊥AD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13．（2022·浙江宁波·统考二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD(1)写出y关于x的函数关系式：(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤AC≤43BD14．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45∘角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+415．（2022·湖北随州·统考中考真题）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空．该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2第x天12…6…11…15供应量y1150150+m…150+5m…150+10m…150+14m需求量y2220229…245…220…164(1)直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出(2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）(3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．16．（2021·天津·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°,BO=BA，顶点A4,0，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E−72,0，点C在y轴的正半轴上，点D（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，①如图②，当点E'在x轴正半轴上，且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为四边形时，D'E'②当52≤t≤917．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为Bx＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于At,0，B8,0两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+119．（2022·上海·统考中考真题）已知：y=12x2+bx+c(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为Pm,n（m①倘若S△OPB=3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，∠BPQ=120∘时，求20．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A−2,0、B8,0两点，与y轴交于点(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．21．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点

第14讲二次函数的应用答案解析题型过关练题型01最大利润/销量问题1．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=−0.2x+8.4(1≤x≤10且x为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．【分析】（1）根据题意列出y=8.2−0.2(x−1)，得到结果．（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．【详解】（1）解：由题意得y=8.2−0.2(x−1)=−0.2x+8.4∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=−0.2x+8.4(1≤x≤10，且x为整数)．（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则w=[12−0.5(x−1)−y]⋅10x=[12−0.5(x−1)−(−0.2x+8.4)]⋅10x=−3∵a=−3<0∴抛物线开口向下∵对称轴是直线x=∴当1≤x≤416时，w的值随∵x为正整数，∴此时，当x=6时，w当416≤x≤10时，w的值随∵x为正整数，∴此时，当x=7时，w∵140>138∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．(2)社区至少要准备2700元购书款．【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可分当30≤m<40时，当40≤m≤50时及当50<m≤60时，进而问题可分类求解即可．【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：2x+3y=1544x+5y=282，解得：x=38答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：①当30≤m<40时，则有：w=38m+26100−m∵12＞0，∴当m=30时，w有最小值，即为w=360+2600=2960；②当40≤m≤50时，则有：w=38−m+40∵-1＜0，对称轴为直线m=26，∴当40≤m≤50时，w随m的增大而减小，∴当m=50时，w有最小值，即为w=−50③当50<m≤60时，此时科技类图书的单价为78−50=28（元），则有w=28m+26100−m∵2＞0，∴当m=51时，w有最小值，即为w=102+2600=2702；综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．

（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．【答案】（1）y=−3x+216(8≤x≤32)【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则22k+b=15032k+b=120解得：k=−3b=216∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，当32＜x≤40时，y＝120，∴y=−3x+216(8≤x≤32)（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元．【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．题型02方案选择问题4．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：销售x（吨）34567获利y（万元）0.91.11.31.51.7(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1（万元）、y2（万元）与购进水果数量(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足n=20−1【答案】(1)y1=0.4x，(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．【详解】解：（1）由题意得y1在直角坐标系中描出以x,y坐标的对应点，易得y2设y2=kx+b，则解得k=0.2b=0.3∴y（2）当y1=y解得x=1.5；∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：w=0.4m+0.2n+0.3=0.4m+0.220−即w=−0.1m2+0.4m+4.3当m=2时，n=18，w有最大值，答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式．5．（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m50≤m≤150【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；(2)当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．【分析】（1）设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为x+20元，根据“用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍”列分式方程，解之即可求解；（2）设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得w=−2m−30【详解】（1）解：设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为x+20元，根据题意得20000x+20解得x=80，经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，∴x+20=80+20=100，答：一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；（2）解：设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得：w=[2(130−m)−100]m+120−80整理得w=−2m−30∵−2<0，50≤m≤150∴当m=50时，w取得最大值，最大值为13000，此时130−m=130−50=80，答：当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用二次函数的性质求出最大利润．6．（2020·山西太原·统考模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？【答案】(1)该超市定制这款垃圾桶300套(2)售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据题意，列出方程，即可；（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，根据题意，列出方程，解出方程，即可．【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，∵56<60，∴x>200，∴60×200+60×x−200解得：x=300，答：该超市定制了这款垃圾桶300套．（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，∴y=80−56−my=−2m∵−2<0且0<m<24，∴当m=7时，y有最大值，答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式．7．（2023·江苏南通·统考一模）某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（10<x<24）．调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800(1)求y与x的函数关系式；(2)求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；(3)若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．【答案】(1)y=−100x+2400(2)18元(3)当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时选择线下销售利润大；当x=18时候，两种销售方法利润一样【分析】（1）根据表格可知y与x满足一次函数的关系，再利用待定系数法求得一次函数即可；（2）利用销售利润=销售数量×（销售单价−销售成本），结合题意列代数式，即可解答；（3）根据二次函数的性质和（2）中求得的结果，即可解答．【详解】（1）解：∵y与x满足一次函数的关系，∴设y=kx+bk≠0将x=14,y=1000；x=13,y=1100代入得：14k+b=100013k+b=1100解得：k=−100b=2400∴y与x的函数关系式为：y=−100x+2400；（2）解：根据题意得：线上销售利润为W1线下销售利润为W2当W1=解得x1=18或答：当售价为18元时，线上销售利润与线下销售利润相等；（3）解：由（2）知，当10<x<18时，W1∴当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时，W1∴当18<x<24时选择线下销售利润大．综上，当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时选择线下销售利润大；当x=18时候，两种销售方法利润一样．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用（销售问题），能结合题意列出正确的函数关系式是解题的关键．题型03拱桥问题8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶【答案】(1)y=−(2)水面宽是15m【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y=ax（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2(a不等于0)，桥拱最高点O到水面CD则D(5,−ℎ)，B(10,−ℎ−3)∴25a=−ℎ100a=−ℎ−3解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：由题意，得船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，水位上升的高度为：0.25×7=1.75米．设此时水面宽为EF，，由（1）知：B10,−4∴F纵坐标为−4+1.75=−2.25，把y=−2.25代入y=−1−2.25=−1解得：x1=−7.5，∴EF=7.5−−7.5∵15m∴船的速度不变，它能安全通过此桥．答：该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是15【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．9．（2023·北京房山·统考一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x23681012竖直高度y45.47.26.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y=a(x−ℎ)(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.288(x−5)2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1__________d2【答案】(1)y=−0.2(2)>【分析】（1）由表格得当x=2时，y=4，当x=10时，y=4，从而可求顶点坐标，即可求解；（2）由表格可以直接求出d1，由y=−0.288(x−5)2【详解】（1）解：由表格得：∵6−2=10−6，∴顶点坐标为6,7.2，∴y=a(x−6)∴a(2−6)解得：a=−0.2，∴y=−0.2(x−6)（2）解：由表格得当x=12时，y=0，原拱门中：d1=12（新拱门中：当y=0时，−0.288解得：x1=0，∴d2=∵12>10，∴d故答案：>．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．10．（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半径是______(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m【答案】(1)25(2)y=−(3)此时桥A的水面宽度为821m，桥B【分析】（1）设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，则OB⊥AC，AD=CD=20m，再设这条桥主桥拱的半径是rm，则OA=OB=rm，OD=（2）以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，则N5,0（3）根据（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的长，再利用垂径定理即可得此时桥A的水面宽度；根据（2）的结论求出y=2【详解】（1）解：如图，设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，

由垂径定理得：点O,D,B共线，则OB⊥AC，AD=CD=1设这条桥主桥拱的半径是rm，则OA=OB=r∴OD=OB−BD=r−10在Rt△AOD中，AD2解得r=25，故答案为：25．（2）解：如图，以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，

由题意得：N5,0则设桥拱抛物线的解析式为y=ax将点N5,0,P0,4代入得：25a+c=0所以桥拱抛物线的解析式为y=−4（3）解：如图，桥A中，由（1）可知：OF=25m

由题意得：OB⊥FG,DE=2m∴OE=17m在Rt△EOF中，EF=由垂径定理得：FG=2EF=821即此时桥A的水面宽度为821如图，桥B中，y=−4

当y=2时，−4解得x=522所以此时桥B的水面宽度为52答：此时桥A的水面宽度为821m，桥B的水面宽度为【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．题型04隧道问题11．（2022·北京通州·统考一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．【答案】(1)3.99(2)见解析(3)是【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当x=2时，y有最大值；（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系；（3）在y=−0.2475x−22+3.99中，令x=0.8【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知：当x=2时，y有最大值为3.99；故答案为：3.99；（2）解：如图，建立直角坐标系，（3）解：将D(0,3)代入y=ax−24a+3.99=3，解得：a=−0.2475，∴抛物线的表达式为y=−0.2475x−2在y=−0.2475x−22+3.99y=−0.24750.8−23.6336−3=0.6336>0.5∴车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，∴该货车能安全通过；故答案为：是．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．12．（2023·河南信阳·二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8(1)求抛物线解析式；(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？【答案】(1)抛物线解析式为y=−0.2(2)抛物线解析式为y=−0.2(3)不符合要求，理由见解析【分析】（1）根据图形和题意设出抛物线解析式，再把A点坐标代入解析式即可；（2）根据平移的性质求抛物线解析式即可；（3）令（2）中解析式的y=0，解方程即可．【详解】（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C(0,12.8)，故设抛物线解析式为y=ax把A点坐标代入解析式得：64a+12.8=0，