专题14 二次函数与几何压轴（测试）

专题14二次函数与几何压轴目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01三角形面积问题类型一利用铅垂高计算三角形面积类型二面积比值问题类型三面积存在性问题类型四面积最值问题题型02线段相关问题类型一线段和最值问题类型二线段差最小问题类型三周长最值题型03存在性问题类型一平行四边形存在性问题类型二矩形存在性问题类型三菱形存在性问题类型四正方形存在性问题类型五等腰三角形存在性问题类型六直角三角形存在性问题类型七相似三角形存在性问题类型八等角存在性问题类型九二倍角、半角存在性问题类型十特殊角存在性问题类型十一线段存在性模拟集训

真题演练题型01三角形面积问题类型一利用铅垂高计算三角形面积1．（2023·山东青岛·一模）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l1、l2，l1、l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=1尝试应用：已知：如图2，点A−5,3、B4,0、C0,6，则△ABC学以致用：如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高BD=2．（2024·山西晋城·一模）综合与探究如图，抛物线y=−13x2−43x+4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．(2)连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型二面积比值问题3．（2023·辽宁大连·二模）平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2先向右平移72个单位长度，再向上平移74个单位长度，得到新的抛物线C2，其顶点为A，C1，C2相交于点B，过点A作(1)点A的坐标是________；(2)如图，求△OBD面积与△OCD面积的比值；(3)在y轴上有两点E0，n，G0,n+32，过点E作x轴的平行线交直线AO于点F，以EF，EG为邻边作矩形EFHG，直线FH分别交抛物线C1，C2于点P，Q．若抛物线C在矩形EFHG内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线C24．（2021·天津河西·二模）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2a>0与直线y=x相交于点O和点A，OA（Ⅰ）当a=1时，解答下列问题：①求A点的坐标；②连接OP，AP，求△OPA面积的最大值；③当△OPA的面积最大时，直线OP也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点P'，连接OP'，P'P，当△O（Ⅱ）将（Ⅰ）中a=1的条件去掉后，其它条件不变，则△OP'P5．（2021·江苏盐城·二模）将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝1ax【概念与理解】将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．【猜想与证明】在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．（1）填空：当x=1时，ABCD=______；当x=2时，AB（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．【探究与应用】①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为；②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；【联想与拓展】若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是______．类型三面积存在性问题6．（2023·宁夏吴忠·一模）如图抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·贵州遵义·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y=ax2+bx+c图象经过A，B，C(1)求二次函数的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线上方抛物线上是否存在点Q？使得△QBC的面积有最大值．若存在，求出点Q的坐标及此时△QBC的面积；若不存在，请说明理由．8．（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2−x+ca≠0与x轴交于A−1,0(1)求抛物线C1(2)设抛物线C1关于坐标原点对称的抛物线为C2，点A，B的对应点分别为A'，B'，抛物线C2的顶点为E．则在x轴下方的抛物线C2上是否存在点类型四面积最值问题9．（2024·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0,2，且顶点(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点D(−52,34)，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，直线PF交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由．10．（2023·山东济宁·二模）如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+4经过A，C(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．12．（2023·山东济南·模拟预测）已知对称轴为直线x=32的抛物线经过A−1,0，C0,−4两点，抛物线与(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P为第四象限抛物线上一点，连接OP，BC交于点D，连接BP，求S△PBDS△OBD(3)如图2，若点Q为抛物线上一点，且当tan∠BCQ=14题型02线段相关问题类型一线段和最值问题13．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=14x2+bx+c交x轴于点A−2,0，(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC交x轴于点Q，求MN+3(3)如图，在y轴上取一点G0,7，抛物线沿BG方向平移22个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E,F，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物线于点H，直线F'P与直线14．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC(1)求抛物线的解析式；(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连接PB，求3515．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系钟，已知直线y=12x+2分别与x轴和y轴交于点A，B，抛物线y=ax2+bx+2经过点(1)求出抛物线解析式．(2)已知过点C的直线CE∥AB，交抛物线于点于点E，P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作直线PG∥AB与x轴交于点G，过点P作PF∥y轴，与直线AB交于点D，直线CE交于点(3)在（2）的条件下，将上述抛物线沿射线AB方向平移1585个单位得到一条新抛物线，新抛物线顶点为Q，若点M是直线AB上一点，N是直线CE上一点，有如下情况：点Q关于直线PM的对称点为点N，或者点P关于直线QM的对称点为N，请直接写出符合条件的16．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+3的对称轴是直线x=2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM=CD时，求点M的坐标；(3)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．类型二线段差最小问题17．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A(−42,0)，B(2(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，D是线段AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF∥x轴交y轴于点F．求3DE−32(3)如图2，在平面内将抛物线y=−12x2+bx+c沿x轴向右平移，当平移后的新抛物线经过点C时停止平移，此时得到新抛物线．G在第一象限且为新抛物线的对称轴上一点，直接写出所有使得以A，C，G18．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使AM−CM的值最大，求点M的坐标．类型三周长最值17．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A(−42,0)，B(2(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，D是线段AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF∥x轴交y轴于点F．求3DE−32(3)如图2，在平面内将抛物线y=−12x2+bx+c沿x轴向右平移，当平移后的新抛物线经过点C时停止平移，此时得到新抛物线．G在第一象限且为新抛物线的对称轴上一点，直接写出所有使得以A，C，G18．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使AM−CM的值最大，求点M的坐标．19．（2023·广东肇庆·三模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−2,0和B1,0(1)求抛物线的表达式；(2)作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线AD与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．20．（2023·四川资阳·二模）如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=−43(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF∥y轴交AB于点F，当△DEF的周长最大时，求点D的坐标；(3)G是平面内的一点，在（2）的条件下，将△DEF绕点G顺时针旋转α得到△D'E'F'，当21．（2023·湖北恩施·一模）已知直线y=x−1与x轴交于点A，过x轴上A，C两点的抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点B，与直线y=x−1交于D(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点，当△CDM的周长最小时，求△CDM的面积；(4)点P是抛物线上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，DP，若△ADP的面积等于3，求点题型03存在性问题类型一平行四边形存在性问题22．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+2x+m(m>0)与y轴交于A点，其顶点为D．直线y=−12x−2m分别与x轴、y轴交于B、(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；(2)将△ACE沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；(3)抛物线y=−x2+2x+m(m>0)上是否存在一点P，使得以P、A、C23．（2023·河南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−16对称轴是直线x=1，且过点A−2,0．点(1)求抛物线的表达式．(2)矩形BCDE的边BC在x轴正半轴上，边CD在第四象限．BC=6，CD=4．将矩形BCDE沿x轴负半轴方向平移得到矩形B'C'D'E'，直线B'E'与直线C'D'类型二矩形存在性问题24．（2023·山西晋中·模拟预测）综合与探究如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点为D1,4与x轴交于A和B两点，交(1)求抛物线的函数表达式及点A、B、C的坐标；(2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；(3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．25．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A−3,0,B2,0．与y轴交于点C，∠CAO=45°，直线y=kx(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求CM+MN的最小值；(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型三菱形存在性问题26．（2024·陕西西安·一模）已知：平面坐标系内点Px,y和点A0,1，点P到点A的距离始终等于点P到(1)请你求出点P满足的函数关系式；(2)如果（1）中求出的函数图象记为L，L'是L沿着水平方向平移得到的，若点M在L上，点N是L平移后点M的对应点，点Q是x轴上的点．是否存在这样的点M，使得以M、N、O、Q为顶点的四边形是有一个内角为60°且的菱形？若存在，请你求出Q27．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形28．（2022·陕西·模拟预测）如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=−3(1)求二次函数解析式；(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为C、P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．类型四正方形存在性问题29．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．30．（2023·辽宁抚顺·三模）如图，抛物线y=−14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求tan∠ABC(3)点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2023·山西大同·模拟预测）综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A−2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=23x−4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．类型五等腰三角形存在性问题32．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B(1)求抛物线的解析式；(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2023·广东汕头·二模）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且OB=OC=3, OA=1, OD=2，过A、B、C三点的抛物线上有一点(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式．(2)求点E的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．34．（2023·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B4,0,C0,−8，连接AC，BC．点E是线段OB上一动点（不与O、B两点重合），过点E作x轴的垂线l，与直线(1)求抛物线的表达式，及直线BC的表达式；(2)过点P作PF⊥BC，垂足为F，求Rt△PFD(3)点Q在y轴上，点H在抛物线对称轴上，是否存在点Q、H使得△AQH为等腰直角三角形，且∠QAH=90∘，若存在，求出点Q、类型六直角三角形存在性问题35．（2023·贵州贵阳·二模）如图，二次函数y=x2−3x−4的图象与x轴交于A和B两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC(1)求点A和点B的坐标；(2)求线段PE的最大值及此时点P的坐标；(3)当PE最大时，在二次函数的图象上是否存在点Q，使以点A,P,Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．36．（2023·广西梧州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0，抛物线顶点D的坐标为1,−4，直线BC(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线x=1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S=3S△BCD，请求出(3)点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'37．（2023·青海西宁·二模）如图，抛物线y=x2+2x−3与x轴相交于点A−3,0，与(1)求直线AC的解析式；(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值；(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型七相似三角形存在性问题38．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A−2,0，点B4,0，交y轴于点C0,4．连接AC,BC.D为OB上的动点，过点D作ED⊥x轴，交抛物线于点(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)过点E作EF⊥BC，垂足为F，设点D的坐标为m,0，请用含m的代数式表示线段EG的长，并求出当m为何值时EG有最大值，最大值是多少？(3)点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以O,D,G为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2024·云南昆明·模拟预测）抛物线y=ax2+2ax+ca＞0与x轴交于A−3,0、B两点（A在B(1)求a、c的值；(2)若点P是线段AC上一个动点，连接OP．问，是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．40．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为−2，0(1)求此二次函数的解析式；(2)动点D从点C出发，以每秒5个单位的速度在线段CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接CE和OD，若△OCD与△CDE的面积相等，求t的值．(3)点D在直线CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由．类型八等角存在性问题41．（2024·山西朔州·一模）综合与探究如图1，二次函数y=23x2+bx+c的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C．直线y=−2x−2经过A(1)求抛物线的函数表达式．(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得∠ABD=∠ABC？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将△AOC沿x轴正方向平移得到△A'O'C'（点A，O，C的对应点分别为A'，O'，C'），A'C'，O'C'42．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A(1)求抛物线解析式；(2)连接BE，①S△BCE=②若点P为直线AB上方抛物线上一动点，连接PB,PC，当四边形PBCE面积最大时，求点P的坐标．(3)抛物线上是否存在一点Q，使∠QEA=∠BAE？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．类型九二倍角、半角存在性问题43．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是(−4,0)，点B的坐标是(1,0)，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线(1)求该抛物线的解析式；(2)连接OP，是否存在点P，使得∠OPD=2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．44．（2023·山东东营·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c过A−4,0，B6,0，C0,8三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点(1)试求抛物线的表达式；(2)过点P作PN∥y轴并BC交于点N，作PM∥x轴并交抛物线的对称轴于点M，若PM=23PN(3)当点P运动到使∠PAB=12∠ABC45．（2023·广东阳江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过(1)填空：b=___________，c=___________；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB②过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．类型十特殊角存在性问题46．（2022·黑龙江绥化·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+72x+c与直线y=kx+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3,72)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P(1)求直线和抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．(3)是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在请说明理由．47．（2022·广东江门·一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A4,0，C−1,0两点，于y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC(1)求抛物线的解析式；(2)设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1(3)是否存在点P，使∠PAB+∠CBO=45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．类型十一线段存在性48．（2024·新疆伊犁·一模）如图1，已知抛物线顶点C1,4，且与y轴交于点D(1)求该抛物线的解析式及其与x轴的交点A、B的坐标；(2)将直线AC绕点A顺时针旋转45°后得到直线AE，与抛物线的另一个交点为E，请求出点E的坐标；(3)如图2，点P是该抛物线上位于第一象限的点，线段AP交BD于点M，是否存在点P使得PMAM的值最大，若存在，求出点P49．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数y=x2−2x+1的图象为抛物线S，点A1,a,B1,−aa>0是平面直角坐标系上的两点，一次函数y=kx+b的图象过点A且与S交于P(1)用x1,x(2)求证：∠ABP=∠ABQ；(3)若a=1，是否存在直线PQ，使得∠PBQ=60°？如果存在，求出PQ的解析式，如果不存在，说明理由．50．（2023·广东东莞·二模）如图，二次函数y=12x2+bx−32的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P(1)b=_________；点D的坐标：____________；(2)线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为12？若存在，请求出点P(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．模拟集训（时间：60分钟）1．（2024·广东珠海·一模）如图，抛物线y=54x2−52x−25分别交x轴于点A(1)求点A和点B的坐标；(2)以B为圆心，3为半径作圆．①如图1，连接AC，P是线段AC上的动点，过点P作⊙B的一条切线PM（点M为切点），求线段②如图2，点D为抛物线的顶点，点Q在圆B上，连接CQ，DQ，求2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线经过原点，与x轴交于另一点A，顶点坐标为(2,−1)，过点G(2,0)的直线y=kx+b(k≠0)与抛物线交于点B，C，且点B在点C的左侧．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AB,AC，当△ABG的面积与△ACG的面积之比为1:2时，求直线的函数表达式；(3)若有直线l:y=−2，点B到直线l的距离为BD，点C到直线l的距离为CE，求证：1BD3．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线y=x2−2x+c与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，且OA=OB，与直线y=kx+1(1)求点B的坐标；(2)当k=1时，求△BCD的面积；(3)k取何值时△BCD的面积最小？最小面积是多少？4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线F:y=ax2−2ax−8a(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线x=3交x(1)若OB=OC，直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，已知点E在第四象限的抛物线上，在线段OD和直线x=3上是否存在F，G两点，使得C，E，F，G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图2，将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点P0,12处，得到抛物线G，直线MN与抛物线G只有一个公共点M，与x轴交于点N，定点Q在y轴正半轴上，且满足∠MQN=90°5．（2023·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A−2,0，(1)求抛物线y=ax(2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标；(3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且使∠ANM+∠ACM=180°，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画图）6．（2023·陕西西安·三模）已知抛物线L1过点A（−1，0(1)求该抛物线的表达式．(2)抛物线L1的对称轴与x轴交于点P，将该抛物线沿直线y=m翻折得抛物线L2，在抛物线L2第四象限的图象上是否存在一点D，使的△CPD是以CP

专题14二次函数与几何压轴（解析版）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01三角形面积问题类型一利用铅垂高计算三角形面积类型二面积比值问题类型三面积存在性问题类型四面积最值问题题型02线段相关问题类型一线段和最值问题类型二线段差最小问题类型三周长最值题型03存在性问题类型一平行四边形存在性问题类型二矩形存在性问题类型三菱形存在性问题类型四正方形存在性问题类型五等腰三角形存在性问题类型六直角三角形存在性问题类型七相似三角形存在性问题类型八等角存在性问题类型九二倍角、半角存在性问题类型十特殊角存在性问题类型十一线段存在性模拟集训

真题演练题型01三角形面积问题类型一利用铅垂高计算三角形面积1．（2023·山东青岛·一模）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l1、l2，l1、l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=1尝试应用：已知：如图2，点A−5,3、B4,0、C0,6，则△ABC学以致用：如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高BD=【答案】尝试应用：9，143，21；学以致用：1【分析】尝试应用：先求出直线l1即为直线x=−5，直线l2即为直线x=4，则d=9，即△ABC的水平宽为9，求出直线AB的解析式为y=−13x+43，则D学以致用：先把抛物线解析式化为顶点式求出点B的坐标，再求出A、C的坐标，进而求出直线AC的解析式和水平宽，从而得到点D的坐标，求出BD的长即可求出△ABC的面积．【详解】解：尝试应用：∵点A−5,3、B∴直线l1即为直线x=−5，直线l2即为直线∴d=4−−5=9，即△ABC的水平宽为设直线AB的解析式为y=kx+b，∴−5k+b=34k+b=0∴k=−1∴直线AB的解析式为y=−1在y=−13x+43∴D0∵C0,6∴OC=6，∴ℎ=6−43=∴S△ABC故答案为：9，143学以致用：∵抛物线解析式为y=−x∴顶点B的坐标为1，令x=0，则y=3；令y=0，则−x2+2x+3=0，解得x=−1∴A0∴直线l1即为直线x=0，直线l2即为直线∴d=3−0=3，即△ABC的水平宽为3，设直线AC的解析式为y=k∴3k+b=0b=3∴k=−1b=3∴直线AC的解析式为y=−x+3，在y=−x+3中，当x=1时，y=2，∴D1∴BD=2，∴S△ABC故答案为：1，【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键．2．（2024·山西晋城·一模）综合与探究如图，抛物线y=−13x2−43x+4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．(2)连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A2，0，(2)△PBC的面积最大值为9，此时点P的坐标为−3(3)1，73或【分析】（1）根据二次函数解析式分别求出自变量和函数值为0时自变量或函数值即可求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数表达式即可；（2）过点P作PD∥y轴交BC于D，设Pm，−13m2−43m+4，则Dm，2（3）设F−2，n，Qs，t，再分当【详解】（1）解：在y=−13x2−∴C0在y=−13x2−43∴A2设直线BC的解析式为y=kx+b，∴−6k+b=0b=4∴k=2∴直线BC的解析式为y=2（2）解：如图所示，过点P作PD∥y轴交BC于D，设Pm，−∴PD=−1∵S△PBC∴S△PBC∵−1<0，∴当m=−3时，△PBC的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为−3（3）解：∵A2∴抛物线对称轴为直线x=−6+2设F−2，n当BP为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：−6−32解得s=−7，∴点Q的坐标为−7，当BF为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：−6−22解得s=−5，∴点Q的坐标为−5，当BQ为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：−6+s2解得s=1，∴点Q的坐标为1，综上所述，点Q的坐标为1，73或−5类型二面积比值问题3．（2023·辽宁大连·二模）平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2先向右平移72个单位长度，再向上平移74个单位长度，得到新的抛物线C2，其顶点为A，C1，C2相交于点B，过点A作(1)点A的坐标是________；(2)如图，求△OBD面积与△OCD面积的比值；(3)在y轴上有两点E0，n，G0,n+32，过点E作x轴的平行线交直线AO于点F，以EF，EG为邻边作矩形EFHG，直线FH分别交抛物线C1，C2于点P，Q．若抛物线C在矩形EFHG内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线C2【答案】(1)7(2)S(3)7【分析】（1）根据函数图象平移的性质直接求解即可；（2）先求出直线OA解析式为y=12x，求出点B2,4，过点B作BE∥AC交OA于点E，得出（3）当H点恰好落在抛物线C2上时，满足抛物线C1在矩形EFHG内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，再向上移动EG时，即可满足题意；直至当F点恰好与异于A点的点重合时，满足题意，因此计算两个端点时对应【详解】（1）解：∵抛物线C1:y=x2先向右平移72个单位长度，再向上平移7∴新的抛物线C2:y=x−故答案为：72（2）解：如图，设直线OA解析式为y=kxk≠0∵图象经过点A7∴7解得：k=1∴直线OA解析式为y=1∵C令x2解得：x=2，∴y=4，∴B2,4过点B作BE∥AC交OA于点∴y∴BE=4−1=3，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠DCA,∠BED=∠CAD，∴△DBE∽△DAC，∴BD设△OBC边BC上的高为ℎ，∴S（3）解：①如图所示，当H点恰好落在抛物线C2上时，满足抛物线C1在矩形EFHG内部（不含边界）的部分对应的函数值y随∵E0,n，G∴F点的纵坐标为n，代入直线OA的解析式y=1解得F点的纵坐标为2n，即：F2n,n∵HF=EG=32，∴H2n,n+将H2n,n+32解得：n=54或∵此时点H在点A左侧，点B右侧，∴n=5∴H5此时，直线FH分别交抛物线C1，C2于点P，Q，则Q的坐标即为将x=52代入C1:y=x2，得：∴此时PQ=25

②如图所示，当F点恰好和A点重合时，即：此时F点的坐标为72,74，也即将x=72代入C1:y=x2，得：∴此时PQ=49

③如图所示，当F点为直线OA与抛物线C2联立y=1解得：x=72y=∴此时F点的坐标为4,2，也即Q点的坐标为4,2，将x=4代入C1:y=x即：P的坐标即为P4,16∴此时PQ=16−2=14；

综上，PQ的取值范围为72【点睛】本题考查二次函数综合问题，理解二次函数的基本性质，以及平移法则，掌握矩形相关性质是解题关键．4．（2021·天津河西·二模）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2a>0与直线y=x相交于点O和点A，OA（Ⅰ）当a=1时，解答下列问题：①求A点的坐标；②连接OP，AP，求△OPA面积的最大值；③当△OPA的面积最大时，直线OP也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点P'，连接OP'，P'P，当△O（Ⅱ）将（Ⅰ）中a=1的条件去掉后，其它条件不变，则△OP'P【答案】（Ⅰ）①A1,1；②18；③【分析】（Ⅰ）①当a=1时得抛物线解析式为y=x2，解方程组y=x②设过点P与OA平行的直线为y=x+b，由y=x2y=x+b得b=−14③由②直线OP的解析式y=12x，设与OP平行的直线为y=12x+b1，由（Ⅱ）不变．由y=ax2(a>0)与直线y=x交点为0,0和A1a,1a，设过点P与OA平行的直线为y=x+b，由y=ax2y=x+b得b=−14a，得到y=x−14a，得到P12a,1【详解】解：（Ⅰ）①当a=1时，抛物线解析式为y=x解方程组y=x2y=x∴A1,1②设过点P与OA平行的直线为y=x+b，由y=x2y=x+b得x2−x−b=0∴y=x−1∴P1此时△OPA面积最大值为12③由②直线OP的解析式y=1设与OP平行的直线为y=1由y=x2y=12x+b∴△OPP'面积最大值为∴△OPP'的面积与△OPA的面积的比（Ⅱ）不变．理由：y=ax2(a>0)与直线y=x交点为0,0设过点P与OA平行的直线为y=x+b，由y=ax2y=x+b得ax2∴y=x−1∴P12a,14a由OP:y=1设与OP平行的直线为y=1由y=ax2y=12x+b∴△OPP'面积最大值为∴△OPP'的面积与△OPA的面积的比【点睛】此题考查求直线与抛物线的交点坐标，平行的直线解析式的求法，图形面积的计算，熟练掌握两个函数图象交点的求法是解题的关键．5．（2021·江苏盐城·二模）将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝1ax【概念与理解】将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．【猜想与证明】在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．（1）填空：当x=1时，ABCD=______；当x=2时，AB（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．【探究与应用】①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为；②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；【联想与拓展】若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是______．【答案】【概念与理解】y2=14x，y2=x；【猜想与证明】（1）12，12；（2）成立，证明见解析；【探究与应用】①12；②△COD与△AOB【分析】【概念与理解】：根据题意信息即可得出答案；【猜想与证明】：（1）当x=1时，求出A，B，C，D的坐标进而得出AB,CD即可得出答案；当x=2时，求出A，B，C，D的坐标进而得出AB,CD即可得出答案；（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐标进而得出AB,CD即可得出答案；【探究与应用】：①根据已知条件表示出△AOB与△COD面积即可得出答案；②设M（x，0）（x＞0），根据已知条件可得出S△COD−S△AOB=xx2，分两种情况当△AOB是直角三角形时解得【联想与拓展】：根据题意求出AEDF的坐标然后表示出面积再利用△PAE与△PDF面积的比值1:3，即可得出关系式；【概念与理解】∵y1=4x2∴由题意可得C1：y∵y2=x2∴由题意可得C2：y故答案为：C1：y2=14x，【猜想与证明】（1）当x=1时，∵点A、B在抛物线C1上∴令x=1，则y1∴A(1,12)∴AB=1∵点C、D在抛物线C2上∴令x=1，则y2∴C(1,1)，D(1,−1)∴CD=2∴ABCD=当x=2时，∵点A、B在抛物线C1上∴令x=2，则y1∴A(2,22)∴AB=2∵点C、D在抛物线C2上∴令x=2，则y2∴C(2,2)，∴CD=22∴ABCD=（2）对任意x（x＞0）上述结论仍然成立理由如下：对任意x（x＞0），y∴A(x,x2)∴AB=x对任意x（x＞0），y∴C(x,x)，∴CD=2x∴ABCD=【探究与应用】①连接OA，OB，OC，ODS△AOBS∴S故答案为：1②设M（x，0）（x＞0），∵M（x，0）∴y∴AB=x∵M（x，0），∴y∴CD=2x∵SS∴S当△AOB是直角三角形时，由题意可知OA=OB∴△△AOB为等腰直角三角形∴OM=AM∴x=解得：x=∴S当△COD是直角三角形时，由题意可知OD=OC∴△△COD为等腰直角三角形∴OM=CM∴x=解得：x=1∴S综上所述：△COD与△AOB面积之差为116或【联想与拓展】∵M（k，0）且点A、B在抛物线C3上∴令x=k，则y1∴A(k,∵AE∥x轴，且交C4于点E∴E(∴AE=(k−∵M（k，0）且点C、D在抛物线C4上∴令x=k，则y2∴D(k,∵DF∥x轴，且交C3于点F∴F(∴DF=(∵AE∥x轴，且交C4于点E∴△PEA的高=km∵DF∥x轴，且交C3于点F∴△PDF的高=kn∴S△PEAS∵△PAE与△PDF面积的比值1:3∴S△PEA∴m∴n3故答案为：n【点睛】本题考出了抛物线性质的综合运用以及旋转等知识，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．类型三面积存在性问题6．（2023·宁夏吴忠·一模）如图抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)存在，3,0或−1,0【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据三角形面积关系确定点的存在性，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．（1）待定系数法求解析式即可；（2）设抛物线上的点P坐标为m,m【详解】（1）把点A−1,0，点B2,−3分别代入解析式得1−b+c=04+2b+c=−3解得b=−2c=−3故抛物线的解析式为y=x（2）存在，理由如下：∵y=x∴C0,−3∵B2,−3∴BC∥x轴，∴D到直线y=−3的距离为−3−∴S∴S△PBC设Pm,∵S△PBC∴m2∴m2−2m=3或解得m=3,m=−1或无解，故m=3,m=−1，故P3,0或P7．（2023·贵州遵义·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y=ax2+bx+c图象经过A，B，C(1)求二次函数的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线上方抛物线上是否存在点Q？使得△QBC的面积有最大值．若存在，求出点Q的坐标及此时△QBC的面积；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−x(2)存在，点P的坐标为32(3)存在，点Q的坐标为2,6，此时△QBC的面积为8【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用将军饮马模型解答即可；（3）过点Q作QD∥y轴，交直线BC于点D，设点Q(m,−m2+3m+4)，则Dm,−m+4，利用△QBC的面积=S【详解】（1）解：1令x=0，则y=4，∴C0,4令y=0，则x=4，∴B4,0∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过A，B，C∴a−b+c=0解得：a=−1b=3∴二次函数的解析式为y=−x（2）解：在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短，点P的坐标为32∵y=−x∴抛物线y=−x2+3x+4设抛物线的对称轴与直线BC交于点P，连接PA，∵直线x=32为∴PA=PB，∴PA+PC=PB+PC=BC，∴此时点P使得PA+PC的长度最短，令x=32，则∴在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短，点P的坐标为32（3）解：在直线上方抛物线上存在点Q，使得△QBC的面积有最大值．点Q的坐标为2,6，此时△QBC的面积为8，理由：过点Q作OD∥y轴，交直线BC于点D，如图，设点Q(m,−m2+3m+4)∴QD=−m∵B4,0∴OB=4，∴△QBC的面积=S=1=1=−2m=−2(m−2)∵−2<0，∴当m=2时，△QBC的面积有最大值8，此时点Q的坐标为2,6，∴在直线上方抛物线上存在点Q，使得△QBC的面积有最大值．点Q的坐标为2,6，此时△QBC的面积为8．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，函数的极值，理由点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．8．（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2−x+ca≠0与x轴交于A−1,0(1)求抛物线C1(2)设抛物线C1关于坐标原点对称的抛物线为C2，点A，B的对应点分别为A'，B'，抛物线C2的顶点为E．则在x轴下方的抛物线C2上是否存在点【答案】(1)y=(2)F3,−6或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设抛物线为Q'm，n是抛物线C2上一点，点Q是抛物线C1上与点Q'm，n对应的点，则Q−m，−n，由点Q−m，−n在抛物线C1推出n=−12m2−m+32，则【详解】（1）解：∵抛物线C1:y=ax2−x+ca≠0∴a+1+c=0解得：a=1∴抛物线C1的解析式为：y=（2）解：设抛物线为Q'm，n是抛物线C2上一点，点Q∵抛物线C2和抛物线C∴Q−m∴−n=12m∴C2的解析式为：y=−∴E−1,2∵B3,0∴B'∴BB∴S△∵A−1,0，B∴AB=4设F的纵坐标为−t，∵S△ABF∴1解得：n=6∴F的纵坐标为−6当−1解得x=3或x=−5，∴F3,−6或F【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，中心对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．类型四面积最值问题9．（2024·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0,2，且顶点(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点D(−52,34)，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，直线PF交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由．【答案】(1)y=−(2)△MCD面积的最大值为12564，点M的横坐标为−(3)能，E【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△MCD面积=S（3）证明△QNF≌△CHQ(AAS)，得到CG=2−t=QN，QH=1=FN，则点F(t−3,t+1)，求出直线【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−ℎ)当x=0时，y=a(0+1)解得：a=−1，则抛物线的表达式为：y=−(x+1)（2）如图1，过点M作MH∥y轴交CD于点H，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=1设点M(m,−m2−2m+2)则△MCD面积=S∵−5当m=−54时，△MCD面积的最大值为（3）能求出点E的坐标，理由：设点Q(−1,t)，如图2，当点Q在点C的下方时，过点Q作x轴的平行线交y轴于点H，交过点F与y轴的平行线于点N，∵∠FQN+∠QFN=90°，∠FQN+∠CQH=90°，∴∠FNQ=∠QCH，∵∠N=∠CHQ=90°，CQ=QF，∴△QNF≌△CHQ(AAS∴CH=2−t=QN，QH=1=FN，∴点F(t−3,t+1)，设直线FP的表达式为：y=px+q，则3=−p+qt+1=pt−3+q故直线PF的表达式为：y=x+4，联立得：x+4=−x解得：x=−2（不合题意的值已舍去），即点E(−2,2)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：包括二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；用三角形全等的知识解决线段相等的问题；解一元二次方程；理解坐标与图形性质等，综合运用这些知识解决问题是关键．10．（2023·山东济宁·二模）如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+4经过A，C(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)S最大为12.5，(−1.5(3)存在，P(−1，138【分析】（1）首先求出点A−3，0（2）先求出点B0，1，再作DE⊥x轴于E，连接BC，依题意设点D的坐标为m，n，则n=−34m2−83m+4，则OE=−m，DE=n，AE=m+3，分别求出S四边形OCDE=−12mn−2m，（3）设点P−1，t，直线x=−1与x轴交于点F，过点P作PT⊥y轴，AC与PQ交于点K，先由勾股定理求出PA2=t2+4，PC2=1+(4−t)2，再根据PA=PC可求出t，进而可得点【详解】（1）解：对于y=43x+4，当x=0时，y=4，当y=0∴点A的坐标为−3，0，点C的坐标为∵对称轴是直线：x=−1，∴有：9a−3b+c=0c=4−b∴抛物线的表达式为：y=−4（2）解：对于y=−43x2−83x+4，当∴点B的坐标为0，又∵点A−3，0∴OA=3，OB=1，OC=4作DE⊥x轴于E，∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m∴点D的坐标为m，n，则∴OE=−m，DE=n，∴AE=OA−OE=3−(−m)=m+3，∵DE⊥x轴，则四边形OCDE为直角梯形，∴S又S△ADE=1∴S=S即S=−1又n=−4S=3当m=−1.5时，S为最大，此时n=−∴点D的坐标为(−1.5，5)．（3）解：存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：∵点P在抛物线的对称轴x=−1上，∴可设点P的坐标为：(−1，t)，∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA=PC=QA=QC，AC与PQ互相垂直平分，设直线x=−1与x轴交于点F，过点P作PT⊥y轴，AC与PQ交于点K，∵点A−3，0∴OA=3，CO=4，OF=PT=1，OT=PF=t，∴AF=OA−OF=3−1=2，CT=OC−OT=4−t，在Rt△APF中，由勾股定理得：P在Rt△CPT中，由勾股定理得：P∴t2+4=1+(4−t∴点P的坐标为(−1，13设点K的坐标为(x∵点K为AC的中点，∴xK=设点Q的坐标为(x∵点K为PQ的中点，∴−1.5=12×(解得：xQ=−2，∴点Q的坐标为(−2，【点睛】此题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，对称轴，菱形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，以及求二次函数最值、对称轴的方法，理解菱形的四条边都相等，对角线互相平分．11．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．【答案】(1)a=−1b=2，(2)(ⅰ)P(2,3)(3)4<n<【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式y=−x2+2x+3（2）（i）设P(m,−m2+2m+3)(−1<m<3)，则G(m,−m+3)，PG=−m2+3m，得出（ii）过A作AH⊥x轴，交BC于点H，则PF∥HA，得出（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为y=x2−2x−3−1≤x≤3，观察函数图象，可得当y=−x+3−n经过点A时，当y=−x+3−n与y=x【详解】（1）解：依题可得：a−b+3=09a+3b+3=0解得：a=−1∴y=−x令x=0，得y=3，即C(0设直线BC的解析式为y=kx+t，将B(3,0)，C(0,3)0=3k+t3=0+t

解得：∴直线BC的解析式为y=−x+3（2）设P(m,−m2+2m+3)(−1<m<3)，则（i）∵OB=OC=3，∠COB=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴∠OCB=45°∵PF∥∴∠PGE=∠OCB=45°∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP=45°∴△AFP是等腰直角三角形，∴AF=PF∴m+1=−m2+2m+3，解得m=2，m=−1∴点P的坐标为P(2,（ii）如图，过A作AH⊥x轴，交BC于点H，则PF∥∴△PGE∽△AHE∴PEAE∴S1∴当m=32时，S（3）解：依题意，y=−新的图形的顶点坐标为1则新的抛物线解析式为y=设平移后的直线解析式为y=−x+3−n当y=−x+3−n经过点A时，有3个交点，即0=1+3−n解得：n=4，当y=−x+3−n与y=x则y=−x+3−n消去y得，x即x∴Δ解得：n=结合函数图象可得：4<n<【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．（2023·山东济南·模拟预测）已知对称轴为直线x=32的抛物线经过A−1,0，C0,−4两点，抛物线与(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P为第四象限抛物线上一点，连接OP，BC交于点D，连接BP，求S△PBDS△OBD(3)如图2，若点Q为抛物线上一点，且当tan∠BCQ=14【答案】(1)y=(2)当m=2时，S△PBD(3)143,【分析】本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义；（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）过点P作PG⊥x轴于点G，交BC于点F，证明△OCD∽△PFD，得出S△PBDS△OBD=PFOC，求得直线BC的解析式为y=x−4，设（3）过点Q作QG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点Q作QH⊥BC于点H，由已知可得OAOC=14，又tan∠BCQ=HQHC=14，进而证明【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax∵A−1,0，C抛物线x=−b∴a−b+c=0解得a=1b=−3∴抛物线的解析式为y=x（2）过点P作PG⊥x轴于点G，交BC于点F，∴OC//∴△OCD∽△PFD，∴PF∴PF∵抛物线y=x2−3x−4经过A−1,0，与∴B4,0设直线BC的解析式为y=kx+b∴4k+解得k=1b∴直线BC的解析式为y=x−4，设Pm,m2∴PF=m−4−m∴S∴当m=2时，S△PBD（3）过点Q作QG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点Q作QH⊥BC于点H，∴∠QHC=∠AOC=90°，∵A−1,0，C∴OA∵tan∴△CQH∽△CAO，∴QH设Qn,n2∴QF=PF=n−4−n∵OC=OB=4，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∴∠HFQ=∠BFG=45°，∵QH⊥BC，∴QH=2∴2解得n=143或∴点Q的坐标为143,34题型02线段相关问题类型一线段和最值问题13．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=14x2+bx+c交x轴于点A−2,0，(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC交x轴于点Q，求MN+3(3)如图，在y轴上取一点G0,7，抛物线沿BG方向平移22个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E,F，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物线于点H，直线F'P与直线【答案】(1)y=(2)49(3)−2或−13+【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点B作BE∥MN交MQ于点E，证明四边形MNBE为平行四边形，得出BE=MN，根据MQ∥BC，得出tan∠BQE=tan∠OBC=12，证明BQ=2BE=2MN，求出直线BC的解析式为：y=12x−7（3）连接F'P并延长交x轴于点K，交BG于点L，求出新的抛物线解析式为y=14x2−14x−3，求出【详解】（1）解：把A−2,0，B7,0代入1−2b+c=049解得：b=−5∴抛物线的函数表达式为y=1（2）解：过点B作BE∥MN交MQ于点E，如图所示：∵MQ∥BC，∴四边形MNBE为平行四边形，∴BE=MN，∵MN∥y轴，∴BE∥y轴，∴∠EBQ=∠COB=90°，∴△EBQ为直角三角形，把x=0代入y=14x∴C0,−∴OC=7∵OB=7，∴tan∠OBC=∵MQ∥BC，∴tan∠BQE=∴BQ=2BE=2MN，设直线BC的解析式为：y=kx−7把B7,0代入得：0=7k−解得：k=1∴直线BC的解析式为：y=1设Mm,14∴MN=1∴MN+=4MN=4×=−=−m−∵−1<0，∴当m=72时，MN+3（3）解：∵B7,0，G∴OB=OG，∵∠BOG=90°，∴∠OBG=∠OGB=1∴抛物线沿BG方向平移22个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为：2∵抛物线y=1∴抛物线沿BG方向平移22y===1把x=0代入y=14x把y=0代入y=14x解得：x1=−3，∴D0,−3，F∴OD=3，OF=4，∴tan∠OFD=当P'F⊥x轴时，连接F'P并延长交x轴于点K，交∴∠LKB=180°−45°−45°=90°，∴F'∴∠LKB=90°，∵∠OBG=45°，∴∠KLB=45°，∴此时直线F'P与直线BG所成夹角为根据折叠可知，∠OF∴tan∠O∴设OK=3aa>0，则F∴F'设直线OF'的解析式为：把F'3a,−4a代入y=k解得：k'∴直线OF'的解析式为：令−4解得：x1=−13+∴点H的横坐标为−13+601当F'P⊥y轴时，连接F'P并延长交y轴于点K，交∵∠GKL=90°，∠BGO=45°，∴∠F∴此时直线F'P与直线BG所成夹角为根据折叠可知，∠OF∴tan∠O∴设OK=3aa<0，则F∴F'设直线OF'的解析式为：把F'4a,3a代入y=k解得：k″∴此时直线OF'的解析式为：令34解得：x1=−2，∴此时点H的横坐标为−2；综上分析可知，点H的横坐标为−2或−13+601【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，二次函数解析式，求一次函数解析式，折叠问题，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论，准确计算．14．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC(1)求抛物线的解析式；(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连接PB，求35【答案】(1)抛物线的解析式为y=−(2)①△BCF的面积的最大值为32；②35【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−5)，可得对称轴为直线x=2，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直线BC解析式，设P(2,t)，可得点E(5−34t，t)，点F(5−②根据图形的对称性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH【详解】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−5)，∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴D(2,0)，又∵tan∠CBD=∴CD=BD⋅tan即C(2,4)，代入抛物线的解析式，得4=a(2+1)(2−5)，解得a=−4∴二次函数的解析式为y=−4（2）①设P(2,t)，其中0<t<4，设直线BC的解析式为y=kx+b，∴0=5k+b,4=2k+b.解得k=−即直线BC的解析式为y=−4令y=t，得：x=5−3∴点E(5−34t把x=5−34t代入y=−即F(5−3∴EF=(2t−1∴△BCF的面积=1∴当t=2时，△BCF的面积最大，且最大值为32②如图，据图形的对称性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，∴sin∠ACD=过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，PG=PC⋅∴35过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，∴线段BH的长就是35∵SΔ又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值为【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．15．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系钟，已知直线y=12x+2分别与x轴和y轴交于点A，B，抛物线y=ax2+bx+2经过点(1)求出抛物线解析式．(2)已知过点C的直线CE∥AB，交抛物线于点于点E，P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作直线PG∥AB