2024-2025学年高中数学第二章平面解析几何初步章末复习提升课学案新人教B版必修2

PAGEPAGE1章末复习提升课1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．(2)k＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα，α≠90°，,不存在，α＝90°.))(3)斜率的求法：①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标．2．两条直线的位置关系设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0．(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0．(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)．3．距离公式(1)两点间的距离公式已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)．(2)点到直线的距离公式①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；②两平行直线l1：Ax＋By＋C＝0与l2：Ax＋By＋D＝0的距离d＝eq\f(|C－D|,\r(A2＋B2))．4．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．5．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r→相离；d＝r→相切；d<r→相交．6．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r((1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB])．注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．1．明确直线的倾斜角与斜率的关系(1)倾斜角是角度，是倾斜度的干脆体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更便利．(2)倾斜角可正可零不行为负，而斜率k不仅可正，可零，而且可以为负．2．探讨斜率的状况：在利用直线的斜率处理平行与垂直的关系时，特殊要留意直线的斜率不存在的状况．3．直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离的区分：(1)直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零，而距离是一个非负数．(2)当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．4．点到直线的距离公式的应用在应用点到直线的距离公式时，肯定要把直线化为一般式，明确系数A，B，C．5．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满意的条件：(1)A＝C≠0，(2)B＝0，(3)D2＋E2－4AF>0．6．画空间直角坐标系的三大留意事项(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，x轴的单位长度等于y轴单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，推断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它们的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的肯定值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它们的几何图形的形象直观性来分析问题．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．2【解析】由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3)，故选A．【答案】A已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________．【解析】设圆心到直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2eq\r(12－d2)＝2eq\r(3)，得d＝3，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3m－\r(3))),\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，则直线l：x－eq\r(3)y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝eq\f(|AB|,cos30°)＝4．【答案】4最值问题解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，可用于解决生活中的一些实际问题，本章主要探讨直线与圆中的最值及动点轨迹等．已知实数x，y满意方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．(1)设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)，故eq\f(y,x)的最大值是eq\r(3)，最小值是－eq\r(3)．(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时b取得最大值和最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)，故y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6)．(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的学问知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又知圆心到原点的距离为2，故x2＋y2的最大值为(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，最小值为(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3)．圆的切线方程问题求圆的切线的问题常常出现，主要有以下三类．(1)求过圆上一点的圆的切线方程已知圆x2＋y2＝r2，M(x0，y0)是圆上一点，则过点M的圆的切线方程为xx0＋yy0＝r2．一般地，若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则过切点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(2)求过圆外一点的圆的切线过程求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前提是斜率必需存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，假如只有一解，那么肯定有一条切线斜率不存在，这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来．(3)已知斜率求圆的切线斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法：①先设切线方程为y＝kx＋m，然后化成一般式kx－y＋m＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m；②设切线方程为y＝kx＋m，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求出m．过点P(－2，0)向圆x2＋y2＝1引切线，求切线的方程．【解】设所求切线的斜率为k，则切线方程为y＝k(x＋2)．由题意联立方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2)，,x2＋y2＝1，))即(k2＋1)x2＋4k2x＋4k2－1＝0．由题意知上述一元二次方程有两相等实根，所以Δ＝16k4－4(k2＋1)(4k2－1)＝－12k2＋4＝0，即k＝±eq\f(\r(3),3)，所以所求切线的方程为y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋2)．1．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离是4，则k的值是()A．1 B．－2C．1或4 D．－2或8解析：选D．由点到直线的距离公式，知4＝eq\f(|6－4k＋6|,\r(32＋42))＝eq\f(|12－4k|,5)，解得k＝－2或k＝8．2．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2)C．6 D．2eq\r(10)解析：选C．由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2，1)，半径为2．因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C．3．过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________．解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线x－y－1＝0的距离d＝eq\f(|a－b－1|,\r(2))＝r， ①又圆C过A(4，1)，B(2，1)，所以(4－a)2＋(1－b)2＝r2， ②(2－a)2＋(1－b)2＝r2．③由①②③，得a＝3，b＝0，r＝eq\r(2)，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2．答案：(x－3)2＋y2＝24．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：由题意可干脆求出切线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和eq\f(5,2)，所以所求面积为eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4)．答案：eq\f(25,4)5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3)．(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若点P到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r．由题意，知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3．故点P的轨迹方程为y2－x2＝1．(2)设P(x0，y0)．由已知，得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1． ①由第一问知yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1， ②联立①②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1,yeq