福建省泉州市四校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（含解析）

2024—2025学年上学期期中考联考高二年段数学学科试卷满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．不存在【详解】直线与轴垂直，的倾斜角为.故选：B.2．如图．空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A．B．C．D．【详解】如图，.故选：B.3．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【详解】变形为，要表示椭圆需要满足，解得.故选：C.4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：因为点在圆的外部，所以，解得.故选：C．5．若直线与曲线至少有一个公共点，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B解析：直线l：恒过定点，由，得到，所以曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，），如下图所示：当直线l经过点时，l与曲线C有一个不同的交点，此时，当l与半圆相切时，由，得，由图可知，当时，l与曲线C至少有一个公共点，故选：B6．下列说法正确的是（

）A．若，则是钝角;B．直线l的方向向量，平面的法向量，则;C．直线l经过点，，则到l的距离为D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底解析：对于A，若，则是钝角或平角，故A错误；对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量，则，故与不共线，即不成立，故B错误；对于C，因为，，，则，，，故到的距离为，故C错误；对于D，利用反证法的思想，假设三个向量共面，则，所以，若，则，则共线，与是空间的一组基底矛盾；若，则，则共面，与是空间的一组基底矛盾；所以假设不成立，即不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确；7．已知直线过点，且与圆交于A,B两点，当面积最大时，l的方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【详解】依题意，圆的圆心，半径，显然，即点在圆内，设AB的中点为D，连接CD设,则面积当且仅当即时等号成立此时，圆心C到直线的距离故过点P的直线斜率一定存在，设其方程为则，解得或，此时直线方程为或故选：D8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【详解】如图，设左焦点为，连接，，，由题，，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形.设，又因为，则，则，，，在中，，即，解得或（舍去），故，由，所以，即，所以离心率.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（

）A．上的点到直线的最小距离为B．若点在上，则的最小值是－1C．若点在上，则的最小值是－2D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是解析：设，，且，，化简得：，，圆心，所以上的点到直线的最小距离为，故A正确.令，即当与圆相切时取最值，，此时或，的最小值是－1，故B正确.令即，当与圆相切时取最值，，此时或，的最小值是，故C错误.因为圆，所以圆心为，半径为与有且只有两条公切线，所以，即，解得，故D正确.故选：ABD.10．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（

）A.的周长为 B．的最大值为36C．满足的点P有两个 D．直线与圆相交【详解】由，得，则，因为是椭圆上一点，所以，所以，故A正确；对B：由，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为36，故B正确；对C：因为椭圆与圆有四个交点，故C错误；对D：圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，由是上一点（除去与轴的交点），故有且，则，即，则，即，故直线与圆相交，故D正确.故选：ABD11．如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（

）A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为B．过点的平面截该正方体所得的截面面积为C．当时，点M的轨迹长度为D．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为【解】对于A中，如图所示，将正方形沿着展在平面，在直角中，可得，将沿着展开到与平面重合，在直角中，可得，所以A正确；对于B中，如图所示，连接，因为为的中点，可得，因为，所以，所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形，其中，且，可得高为，可得等腰梯形的面积为，所以B正确；对于C中，取的中点，连接，因为为的中点，所以，因为平面，可得平面，又因为平面，所以，在直角中，由，可得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，如图所示，在直角中，由，可得，所以，可得，即当时，点M的轨迹长度为，所以C错误；对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，设，其中，则，因为与垂直，可得，即，令，可得；当，可得，即直线与正方形的边的交点为，可得，所以D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的大小为.【详解】由椭圆可知，故，结合，可得，而，,,故答案为：/.13．函数的最小值为．解析：=表示、的距离，表示、的距离，又关于x轴的对称点所以，所以.14．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为（用含b的式子表示），若b=1，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则△AOB面积的最大值为【解答过程】由离心率e=ca=6所以蒙日圆方程x2+y2=4b2；，由于原点O到蒙日圆上任意一点的距离为2b，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a=若b=1，则椭圆C的方程为x23+y不妨设Mx0,设Ax1,y1此时可得直线MA的方程为x1x+3y1将Mx0,y0所以直线AB的方程即为x0联立x0x+3y0由韦达定理可得x1所以AB=原点O到直线AB的距离为d=因此△AOB的面积=3当且仅当121+2y因此△AOB面积的最大值为3四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．15．（本题13分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面(1)证明：平面ADE；(2)求平面ADE与平面CEF夹角的余弦值；【详解】（1）取的中点，连接，因为，且，则且，可知四边形是平行四边形，.…………2分则，且，又因为是菱形，则，且，可得且，可知四边形是平行四边形，.…………3分则，且平面平面，所以平面.………….………….………….………….……….…………5分（2）连接交于，取中点因为平面，则平面，且，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，.…………7分则，.………….…………8分设平面CEF的一个法向量为，则令，则，可得设平面ADE的一个法向量为,同理可得……………….………….…………11分设平面ADE与平面CEF的夹角为，则平面ADE与平面CEF夹角余弦值为.…………….………….………13分16．（本题15分）如图，已知圆，点.

(1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程；(2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）由，化为标准方程：.所以圆的圆心坐标为，…………….………1分又圆的圆心在直线上，设圆的圆心坐标为，又经过点，且与圆相外切，所以切点为，则有…………….………3分即，解得，…………….………4分所以圆的圆心坐标为，半径，…………….………5分故圆的方程为.…………….……6分

（2）因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以.………7分所以点到直线的距离为2.…………….………8分当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为2，直线即为轴，所以此时直线的方程为.….………10分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.…………….………11分所以，解得.…………….………13分所以此时直线的方程为…….………14分，综上，所求直线的方程为或.…………15分

17．（本题15分）已知点，动点Q在圆上运动，线段的垂直平分线交于P点.(1)求点P的轨迹方程；(2)设直线与点P的轨迹交于A､B两点，求面积的最大值.【详解】由题意，圆的圆心为，点，线段的垂直平分线交于点P，所以，.………….………….……2分又由，所以点满足，…………4分由椭圆的定义知，点轨迹是以为焦点的椭圆，其中，………….…………5分可得，所以，所以点的轨迹方程为.………….…….………….…………6分（2）设，则由可得，此时….…….………….…………9分而，….…….………….…………10分到的距离为,….…….………….…………11分故的面积，….…….………….…………13分令，设，则由对勾函数性质知在上为增函数，….…….………….…………14分故,即的最大值为3.….…….………….…………15分18．（本题17分）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，已知，．（1）当时，求三棱柱的体积；（2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）24（2）（1）解：如图，取的中点为O，因为为菱形，且，所以为正三角形，又有为正三角形且边长为4，则，，….…….…………2分且，，所以，所以，….…….…………3分因为又，平面，平面，所以平面，….…….…………5分所以三棱柱的体积．….…….………6分（2）在中，，，由余弦定理可得，所以，….…….…………7分由（1），，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，….…….…………9分所以在平面内作，则平面，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示：….…….……10分则，，，，，，，，….…….……11分设是平面的一个法向量，则，即，取得，….…….……12分设，则，….…….……13分设直线与平面所成角为，则，….…….……14分令，则在单调递增，所以，….…….……16分故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．….…….……17分19.（本题17分）常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）．（1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积；（2）若，求的取值范围；（3）动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值.【答案】（1）2（2）（3）解析：（1）设Hx,y，则，………….…………当时，则；当时，则；当时，则；当时，则.如图，点的轨迹是一个边长为的正方形，………….…………2分点的轨迹所围成的图形面积为.………….…………3分

（2）因，.………….…………4分令则，即与有交点，也即半圆与直线有交点，.………….…………5分下面，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况.由圆心到直线的距离解得，，由题知此时，即；.………….………….………….………