2023-2024学年山东省青岛市即墨区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省青岛市即墨区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若(1+2i)z−=4+3i，则z=A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i2.已知向量a=(1,2)，b=(2,m)，且a⊥b，则A.4 B.1 C.−1 D.−43.某校高一、高二、高三的人数之比为9：7：4，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是15，则该校高二年级的人数为(

)A.1000 B.900 C.800 D.7004.如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是(

)A.数据中可能存在极端大的值 B.这组数据是不对称的

C.数据中众数一定不等于中位数 D.数据的平均数大于中位数5.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(

)A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂β

C.a//α，a//β D.a//α，a⊥β6.将f(x)=cos2x的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(

)A.g(x)的最小正周期为2π B.g(x)的图象关于x=π3对称

C.π4是g(x)的一个零点 D.[7.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是(

)A.16 B.14 C.128.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则f(0)的值为(

)

A.1 B.0 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，复数z=3+2i2−i，则(

)A.z−=7−4i5 B.z的虚部为75

C.10.已知向量a，b满足|a|=1，b=(A.若a=(32,−12)，则a⊥b

B.|a+b|最大值为3

C.11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥P−ABCD，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是12，公共面ABCD是一个边长为1的正方形，则(

)A.该几何体的体积为23

B.直线PD与平面ABCD所成角的正切值为22

C.异面直线AP与CC1的夹角余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，第三四分位数为b，则a+b=______．13.从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是______．14.已知正四面体的棱长为a，球O1与正四面体六条棱相切，球O2与正四面体四个面相切，则两个球的体积比VO1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点(AF=13AD,BG=13BC)，设AB=a，AD=b．

(1)若|a|=4，|b|=3，(2a−3b)(2a+b)=13，求a16.(本小题15分)

某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．

(1)求x并估计开业当天所有滑雪的人年龄在[25,35)有多少人？

(2)由频率分布直方图估计样本平均数x−

和中位数a；(求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替)

(3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．

(1)求证：BE//平面ACF；

(2)求四棱锥E−ABCD的体积．18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知cosC=−1010，a=25，AB边上的中线CD=5．

(1)求b；

(2)求A；

(3)若E，F分别为边AC，BC上的动点，现沿线段EF折叠三角形，使顶点C恰好落在AB19.(本小题17分)

已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，…，n，n∈N∗)，则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”

(1)判断g(x)=2cosx，x∈[0,4π]是否为f(x)=sinx+3cosx，x∈[0,π]的“4重覆盖函数”，并说明理由；

(2)若g(x)=2sin(2x+π6)，x∈[−π参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.D

6.B

7.D

8.A

9.BCD

10.BD

11.ABD

12.13

13.2714.315.解：(1)∵(2a−3b)(2a+b)=13，

∴4|a|2−3|b|2−4ab=13，

即37−48cosθ=13，

则cosθ=12，

∴θ=π3；

(2)①EF=13b−12a，EG16.解：(1)由题意可得：1−(0.025+0.02+0.015+0.005×2)×10=1−0.7=0.3，

则x=0.310=0.03，

所以估计开业当天滑雪的人年龄在[20,30)内有600×0.3=180人．

(2)由题意可得：x−=0.05×10+0.25×20+0.3×30+0.2×40+0.15×50+0.05×60=33，

又因为0.05+0.25=0.3<0.5，0.05+0.25+0.3=0.6>0.5，

可知a∈[25,35)，则0.05+0.25+(a−25)×0.03=0.5，解得：a=31.67．

(3)[35,45)中的人数：20×0.02×10=4，分别记为A1，A2，A3，A4；

[45,55)中的人数：20×0.015×10=3，分别记为B1，B2，B3，

[55,65]中的人数：20×0.005×10=1，记为C1，

则任选两人的情况有{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A1,C1}，

{A2,A3}，{A2,A4}，{17.证明：(1)连结BD和AC交于O，连结OF，…(1分)

∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，

∵F为DE中点，∴OF/​/BE，…(4分)

∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，

∴BE/​/平面ACF.…(5分)

解：(2)作EG⊥AD于G，则

∵AE⊥平面CDE，CD？平面CDE，∴AE⊥CD，

∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，

∵AE∩AD=A，AD，AE？平面DAE，∴CD⊥平面DAE，…(7分)

∴CD⊥EG，

∵AD∩CD=D，∴EG⊥平面ABCD…(8分)

∵AE⊥平面CDE，DE？平面CDE，∴AE⊥DE，

∵AE=DE=2，∴AD=22，EG=2.…(10分)

∴四棱锥E−ABCD的体积18.解：(1)因为点D为AB的中点，所以CD=12(CA+CB)，

所以|CD|2=14(|CA|2+|CB|2+2|CA|⋅|CB|cos∠ACB)，

化简得：b2−22b=0，

解得b=22；

(2)在△ABC中，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC

=8+20+2×22×25×1010=36，

解得c=6(负根舍去)，

因为cosC=−1010，所以C为钝角，

所以sinC=1−cos2C=1−110=31010，

由正弦定理得：csinC=asinA，

即63101019.解：(1)f(x)=sinx+3cosx，

=2sin(x+π3)，

∵x∈[0,π]，∴x+π3∈[π3,4π3]，

故f(x)的值域为[−3,2]，当x=π6时，f(x)=2，

此时，g(x)=2cosx，x∈[0,4π]不是f(x)的“4重覆盖函数”