吉林省2024-2025学年高二上学期11月期中联考 数学试题（含解析）

吉林省2024−2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．若直线与直线平行，则（

）A． B． C．1 D．3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（

）A． B．C． D．5．空间内有三点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．6．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．如图，在棱长为3的正四面体中，为的中心，为PA的中点，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．68．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是双曲线，其渐近线方程为C．若，则是椭圆，其离心率为D．若，则是双曲线，其离心率为10．已知球的半径为，则（

）A．球的内接正方体的内切球表面积为B．球的内接正方体的内切球体积为C．球的内接正四面体的内切球半径为D．球的内接正四面体的内切球半径为11．如图，正方体的棱长为分别为的中点，为底面内的动点，且，则（

）A．动点的轨迹长度为B．存在点，使异面直线与所成的角为C．点到平面的距离的最小值为D．点到平面的距离的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．在平行六面体中，设，则.（用表示）13．若点在圆的外部，则正实数的取值范围是.14．已知圆，直线，为直线上一动点，为圆上一动点，定点，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线，圆.(1)证明：直线与圆相交.(2)记直线与圆的交点为，求AB的最小值.16．已知椭圆的焦距为12，长半轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.17．如图，在体积为的三棱柱中，平面平面，，.

(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值18．如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点.(1)若，证明：平面；(2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由.19．已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，Px0,y0为椭圆上的动点，过动点Px0,y0作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.(1)证明：椭圆在点处的切线方程为.(2)求动点的轨迹的方程.(3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.

参考答案1．【答案】B【详解】由，可得，则直线斜率为，故倾斜角为.故选：B.2．【答案】C【详解】因为，所以，解得或.当时，重合，不合题意；当时，，符合题意.故选：C.3．【答案】A【详解】向量在向量上的投影向量为．故选：A4．【答案】D【详解】对于A，由，可知共面，故不能作为基底，即A错误；对于B，由，可知共面，故B错误；对于C，由，可知共面，故C错误；对于D，因为不存在，使得，所以不共面，即可以作为基底，故D正确.故选：D.5．【答案】A【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，所以点到直线的距离为.故选：A6．【答案】C【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知，所以.当三点共线时，，所以的最小值为.故选：C.7．【答案】B【详解】连接AO，AE，PE．因为，，所以．故选：B.8．【答案】D【详解】（解法1）设，因为，所以.，所以.因为，所以.因为，所以，即，解得.（解法2）设，因为，所以，所以.因为，所以.因为存在.，所以在上有解.因为，且，所以在上有解，即在上有解.因为，所以，即解得.9．【答案】ACD【详解】若，则的方程可整理成，其表示焦点在轴上的椭圆，所以A正确；若，则的方程可整理成，其表示双曲线，渐近线方程为，所以B不正确；若，则的方程可整理成，其表示椭圆，离心率为，所以C正确；若，则的方程可整理成，其表示双曲线，离心率为，所以D正确.故选：ACD10．【答案】BC【详解】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为，则球的内接正方体的内切球半径，球的半径，所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确；对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图，可知，，，由可得，解得，因为球的内接正四面体的体积，球的内接正四面体的表面积，又因为，所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确．故选：BC.11．【答案】ACD【详解】因为为底面内的动点，且，所以，所以动点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆落在底面内的部分，所以动点的轨迹长度为，故A正确.如图，建立空间直角坐标系，则，设，因为，所以.因为无解，所以不存在满足条件的点，故B错误.设平面的法向量为n=x,y,z，因为，所以令，得.因，所以点到平面的距离，当时，，所以C确.当或时，，所以D正确.故选：ACD.12．【答案】【详解】.故答案为：.13．【答案】【详解】由题意可得，解得，故正实数的取值范围是.故答案为：.14．【答案】【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，设点关于的对称点为，则，解得，即，由对称性可知，，,因为为圆上一点，则，所以.当且仅当、、三点共线，且为线段与圆的交点时，上述两个等号同时成立，故的最小值为.故答案为：.15．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）直线：，令，解得，则直线过定点，圆的圆心，半径，而，因此点在圆的内部，所以直线与圆相交.（2）由（1）知，，当且仅当时，弦长最短，所以AB的最小值为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知则，所以椭圆的方程为.（2）

由题意直线l的斜率存在，如图，设Ax1两式相减得，整理可得.因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.17．【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）证明：取的中点，连接.由为正三角形，得.因为平面平面且交于，所以平面，即为该三棱柱的高.因为三棱柱的体积，且，所以.因为，所以，即.由平面平面且交于，平面，可得平面.因为平面，所以.因为，所以.在菱形中，.又因，平面，平面，所以平面.（2）如图，过作直线平行于交于，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，B1,0,0，，.

设平面的法向量为，因为.所以令，得.设平面的法向量为，因为，所以令，得.因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．【答案】(1)证明见解析(2)存在，且与平面所成角的正弦值为【详解】（1）因为平面，如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，则、、、、、，.因为，设点，则，则，解得，则，设平面的法向量为，因为，，所以，令，得.因为，所以，因为平面，所以，平面.（2）设平面的法向量为，因为，，所以，令，得.设，则，设平面的法向量为，因为，，所以，令，可得，假设平面平面，则.由，解得，所以.设与平面所成的角为，则，所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为.19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)在【详解】（1）证明：联立方程组，消去整理得，又，即