第06讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第06讲平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。本讲内容难度较大，需要综合学习。知识讲解模长的范围及最值与向量的模有关的问题,一般都会用到，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。夹角的范围及最值类别几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。考点一、模长的范围及最值问题1．（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．考点：平面向量数量积的运算．2．（湖南·高考真题）已知是单位向量，.若向量满足（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.3．（四川·高考真题）已知正三角形的边长为，平面内的动点满足，，则的最大值是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B．考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.1．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.【详解】为单位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，则，当且仅当与方向相反时“”成立，如取时，可使“”成立.所以.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题关键点是由已知条件得，这样就能得到.2．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量满足，，则的最小值是.【答案】【分析】根据余弦定理求解长度，进而可判断点的轨迹为以为直径的圆，进而根据三点共线求解最值.【详解】

令，，，中点为，中点为，为中点，由，得，即，即，所以，即有，即、,故，由，即，即有，故点的轨迹为以为直径的圆，由，，故，则，故当、、三点共线，且点在点、之间时，最小，此时，故.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，从而将问题化为点到圆上的点的距离的最小值问题，由此得解.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为.【答案】【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.【详解】因向量与共线，令，则，而向量，为单位向量，且，于是得

，当且仅当时取“=”，所以的最小值为.故答案为：4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为．【答案】2【分析】先利用和证明，再解不等式得到，从而有，再验证，，时，即得到的最小值是2.【详解】由于，且，故有，所以，记，则有，从而或，即或.总之有，故，即.存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于的最小值问题，我们先证明，再给出一个使得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，，，，，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：不妨设，满足，，，又，即，由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，，所以该椭圆方程为，而，即，即，这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，又，等号成立当且仅当三点共线，故只需求的最大值即可，因为点在椭圆上面运动，所以不妨设，所以，所以当且三点共线时，有最大值.故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.6．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知，，．若，则的最小值为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】D【分析】根据给定条件，画出图形，确定点C的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答.【详解】令，依题意，，而，则，因，则有点C在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图，因，则表示直线上的点Q与直线上的点P间距离，、分别是点C到点Q，P的距离，因此，表示三点Q，P，C两两距离的和，作点C关于直线OA对称点N，关于直线OB对称点M，连MN交OA，OB分别于点F，E，连FC，EC，ON，OM，则有，令，则，，于是得，而，由余弦定理得，因此，，对于直线上任意点Q、直线上任意点P，连接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，则，，当且仅当点Q与F重合且点P与点E重合时取“=”，从而得，所以的最小值为.故选：D【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.考点二、夹角的范围及最值问题1．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为.【答案】/【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.【详解】，令，则，所以，当，即时，取得最小值，且最小值为．故答案为：2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量满足关系，又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为.【答案】【分析】用与表示出向量，利用平面向量数量积结合夹角公式求出即可计算作答.【详解】当时，由得：，因与的模均为1且互相垂直，即有，则，，则有，而，于是得，又，则，所以与的夹角取值范围为.故答案为：【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题，利用已知的不共线的两个向量为基底，将问题中的向量用该基底表示出，再通过向量的运算来解决.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到，，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值.【详解】，即，；，即，；设向量与所成夹角为，（当且仅当时取等号）；又，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.1．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是．【答案】【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值.【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角，所以，故．因为，且，所以．设，则，故．又．设与的夹角为，所以．因为（当且仅当，即时取等号），所以，即，故．又，所以．故与的夹角的最大值是．故答案为：.【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为.【答案】【详解】由得，又，则由，可知，即向量满足，且夹角为取，，，分别是线段，的中点，则,，由可知，点在直线上.又与的夹角为要使得最大，则取圆过点、且与直线相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又，则有，，解之得故答案为：【点睛】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知是空间单位向量，，若空间向量满足：，则，对于任意，向量与向量所成角的最小值为．【答案】【分析】由题意得：，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；设向量与向量所成角为，根据求夹角公式，令,计算可得，令，（），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得的最大值，即可得答案.【详解】由题意得：=.因为设向量与向量所成角为，所以，当时，夹角才可能最小，令（），则，令，（），则，所以当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，所以，即.所以向量与向量所成角的最小值为.故答案为：；.【点睛】解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断的单调性，求得最值，当最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知、为单位向量，则向量与夹角的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，即可得到，，再根据夹角公式得到，最后利用换元及基本不等式计算可得.【详解】设，则，，则，令，因为，所以，，当且仅当时取等号，又，所以，所以向量与夹角的最大值为．故选：A．2．（2023·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.【详解】如图所示：设，，则，设，，，，当，即时等号成立，故，当最小时，最大，故与夹角的正弦值的最大值为.故选：B3．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用向量数量积运算律及题设可得，注意等号成立条件，结合已知不等条件求范围，即可得最小值.【详解】由有，即，前一个等号成立条件为，整理得.由于，所以，于是夹角为的最小值为.故选：C4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，即点四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【详解】设，由，，，则，所以，又，所以，即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径，在中，由余弦定理可得，即，又由正弦定理可得，即的最大值为，故选：A5．（2024·全国·模拟预测）已知，为非零向量，且，，若的最小值为，则的值为（

）．A． B． C．4 D．【答案】D【分析】由数量积的定义和模长公式对平方可得，当时，取得最小值，可求出，即可求出的值,【详解】因为，，由题意得，所以当时，取得最小值，由得，所以．故选：D．6．（2021·全国·模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.【详解】如图:令，，则，故.因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.设，连接，因为，所以点在直线上.因为，所以，即，所以.结合图形可知，当时，即取得最大值，且.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.7．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二

设，，，易得，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，然后又，，三点共线且在，中间时，取得最小值求解.【详解】解法一

由题可得，，所以要求的最小值，需求的最小值.因为，与的夹角为，所以的最小值为，所以，即的最小值为，解法二

如图，设，，，则，.由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值.由正弦定理得：，所以，故的最小值为.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是根据与的夹角为，由的最小值为而得解.8．（2021·全国·模拟预测）设，，且，若向量满足，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】设，，，，根据条件，借助平面图形得到点的轨迹，即可得到结果．【详解】如图，设，，，，连接，，则由可知四边形为矩形，则.由，可得，连接，则，所以点在以点为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为.故选：B.【点睛】对于向量模的最值或者范围的问题，我们往往采取数形结合的方式进行解决.首先我们要根据题目的条件将几个向量的起点平移到同一点，作出图形，最后根据所求向量的条件得出终点的轨迹.二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量满足，对任意的的最小值为，则与的夹角为．【答案】【分析】利用模的计算得到恒成立，判断出取等号的条件，即可求出与的夹角.【详解】因为向量满足，所以向量满足.设与的夹角为所以因为任意的的最小值为，所以恒成立，配方后可得：恒成立，所以当时，取得最小值3，此时，解得：.又因为，所以.因为，所以.故答案为：.10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量满足且，当向量与向量的夹角最大时，向量的模为．【答案】【分析】由可平方求得，利用向量夹角公式可化简得到，采用换元法，令，结合基本不等式可求得，根据取等条件可确定.【详解】，，，即；设向量与向量的夹角为，，令，则，（当且仅当，即时取等号）；当最大时，最小，此时，解得：.故答案为：.11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为.【答案】/60o【分析】把两边平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】，是单位向量，由得：，依题意，不等式对任意实数恒成立，则，解得，而，则，又，函数在上单调递减，因此，所以向量，的夹角的取值范围为.则向量的夹角的最小值为.故答案为：.12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为．【答案】2【分析】由，则，方法一：利用正弦定理可得，当时，可求得结果；方法二：作出△ABC的外接圆，当AC为圆的直径，即时，可求.【详解】法1：设，，则，如图所示．因为，所以在△ABC中，，，由正弦定理，得即，得，当时，．法2：设，，则，作出△ABC的外接圆，如图所示．因为，所以，因为，当AC为圆的直径，即时，．故答案为：213．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是【答案】【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图，，，则，，已知，即，所以，取BD的中点O，则有，而，根据三角形的三边关系可知则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，记向量的夹角为，则，同理，由，可得，则，当，即时取等号，所以，即的最小值是，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长.14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值【答案】【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.【详解】解：，设与的夹角为，，，又，则，不妨设，再设，则，即，所以的最大值为.故答案为：.15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量，，满足，，，则的最大值是.【答案】/【分析】设，，由得到点是的重心，结合得到是直角三角形，建立适当的直角坐标系，转化为基本不等式求最值.【详解】

设，，，点是的重心，，．∴是直角三角形，又∵，即，以A为原点，AB所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，则且，，，故，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量，满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则，夹角的余弦值的最小值为．【答案】【分析】利用基本不等式求出，再根据向量投影求出，求出夹角的余弦值的最小值.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号．设，的夹角为，则由题意得，易知，且，则，所以，所以，夹角的余弦值的最小值为．故答案为：17．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是.【答案】【分析】以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.【详解】如图1，令，，，则，取AB中点M.由，可得，，所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，由正弦定理可知，即，当时，圆G半径取得最大值.当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，取得最大值，此时，所以.如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），当时，圆G半径取得最小值.，即M、G两点重合.取得最小值为2.则时，.故向量的模取值范围是故答案为：18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为；若的面积为，则的最小值为．【答案】【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算法则，可得，设，因为的面积为，可得，即，又由，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：；.19．（2020·浙江温州·三模）已知向量，满足，，若存在不同的实数，使得，且则的取值范围是【答案】【分析】设，变形（数量积的运算）得是方程的两根，利用韦达定理求得，则可表示为的函数，由的范围可得结论，在题中注意的范围的确定．【详解】，，设（），由得，整理得，同理，所以是方程的两根，由得，时方程无解，故且，，，，所以，，所以，由且得的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设后通过数量积的运算把是方程的两根，这样可用韦达定理求得，从而求得目标关于的函数，属于难题．20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量满足，,,则的取值范围是；已知向量是单位向量，若，且，则的取值范围是.【答案】【解析】（1）根据向量不等式可得，从而得到关于的不等式，即可得答案；（2）根据已知设出向量和向量，向量的坐标，代入等式化简，再利用距离的几何意义可看成一个动点到两个定点的距离之和，而所求的可看成是一个定点到线段的距离，由此可求得最值．【详解】解：（1）由，，解得，又由，代入已知值可得，化简可得：，解得.（2）因为是单位向量，且，设，设，则，因为，即，化简得，，所以表示线段上的点到点的距离，所