“数学分析”第一次课的教学探讨

“数学分析”第一次课的教学探讨“数学分析”课程作为高等学校数学与应用数学、信息与计算科学及统计学等专业最重要的基础课程之一，是多年来教师教学非常辛苦，但学生学习效果却较差的一门课程.教师如何教，学生怎么学，始终是摆在师生面前的一个难题.想要解决这一难题，需要从数学分析的第一堂课做起.柏拉图说“良好的开端是成功的一半”.一出好戏，要有好的序幕；一部乐章，要演奏好序曲.本文，我们介绍关于如何上好“数学分析”第一次课的教学探讨，为“数学分析”这门课程的教与学打下坚实的基础，奠定良好的开端.一、帮助大学生树立信心数学是一门较难的学科，同时也是学生学习效果较差的学科，究其原因，是因为数学是抽象的，很多知识在生活中没有实例，尤其是到了大学，维度由高中的二维、三维拓展到了n维，更是超出了很多人的认知范围，也正是这个原因，东北师大的史宁中教授说过，数学是存在于现实和人的空间想象中的学科，那么想要学好数学，首先就需要建立起信心.从中学到大学，是人生的重大转折.大学生活的重要特点表现在：生活上要自理，管理上要自治，思想上要自我教育，学习上要求高度自觉.尤其是学习的内容、方法和要求上，比起中学的学习发生了很大的变化.要想真正学到知识和本领，除了继续发扬勤奋刻苦的学习精神外，还要适应大学的教学规律，掌握大学的学习特点，选择适合自己的学习方法.大学的学习既要求我们掌握比较深厚的基础理论和专业知识，还要求重视各种能力的培养.除了扎扎实实掌握书本知识之外，还要培养研究和解决问题的能力.要特别注意自学能力的培养，学会独立地支配学习时间，自觉主动地学习，还要注意思维能力、创造能力、组织能力、表达能力的培养，为将来适应社会工作打下良好的基础.“数学分析”是大学数学的基础课程，是整个高等数学的开端，只有学好了数学分析才有课程在高等数学中逐步前行.而数学分析所用的有限和无限的数学思想，是高中数学很少接触到的，虽然高中数学当前也学习了微积分，但是高中数学中的微积分是以初等数学思想为基础的，与高等数学思想截然不同，因此学生在学习“数学分析”时会越感吃力.很多学生认为自己付出了很多辛苦，但是在数学分析上却无法获得较高的成就，这正是因为没有摆正思想.如果付出没有成就，那么学生就会逐步丧失信心，最终止步不前.因此，建立学生的自信心尤为重要.二、“数学分析”课程的地位、作用及知识脉络“数学分析”是数学与应用数学等专业的专业基础核心课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是大学数学理论的重要源泉，很多后续数学课程如概率论与数理统计、常微分方程、复变函数、实变函数及泛函分析等课程都是数学分析的延伸与深化.与此同时，数学分析又是许多非数学课程学习和研究的重要工具，在经济学、金融学、物理学及生物学中都有着广泛的应用.在培养具有良好的理性思维素养和创新精神的数学及其应用人才方面起着特别重要的作用.可以说，任何学科的进步都离不开数学，而数学的任何进步，都是以数学分析为基础的.只有学好了数学分析，才能够在以后的科研中越走越远.通过本课程的教学可使学生系统地掌握数学分析的基础理论和基础知识，能熟练地进行基本运算，具备较强的分析论证能力，为深入理解和分析处理中学数学教材，为分析解决实际问题，为深造学好后续课程打下坚实的基础.本门课程的特点是：内容多，跨度大（三学期），概念抽象，系统性与逻辑性强，思想方法典型，应用广泛.其研究对象与方法是用无穷小分析的方法研究实值函数.本课程教师应该在第一次课上介绍本门课程的知识脉络及一些常用字母和符号的读法及含义，如ε，δ，？坌？埚，α，β，γ等.让学生了解第一学期数学分析的学习内容、重点及难点，做到心里有数.三、中学数学与数学分析的异同1.数学分析的严谨性中国的数学是一种经验的数学，例如《九章算术》其实是一个现实问题集，只是所有的问题都是用数学解决的，而欧洲的数学从《几何原本》开始就是一种逻辑的数学，其发展是建立在逻辑推理之上的.中学的数学，虽然也涉及到了逻辑推理、几何证明等内容，但究其本质，并不是一种纯粹的数学，更多的是一种数学经验的总结，并没有显示出高等数学的本质.数学分析与中学数学明显的一个差异就在于数学分析的严谨性、系统性与逻辑性.数学分析强调数学的严密的基础理论体系，具有概念抽象等特点.而中学数学则主要注重计算与解题.针对这个特点，学习数学分析就应该注重建立自己的数学理论知识框架.在数学分析中，使用的是一种纯粹的数学语言ε，δ语言，这种语言和以往的数学不同，是一种以符号推理为基础的数学语言，整个语言体系环环相扣，逻辑性极强.学习和掌握好这门语言是学好数学分析的关键，同时也只有认识到这门语言和以往数学的不同，才算是迈开了高等数学的第一步.2.教学方法的区别中学数学教学特点是讲得细讲得慢练得多，侧重计算，讲究的是题海战术.大学数学讲得快，重复少，例题少，注重概念的讲解及定理的证明.由于数学分析与中学数学比起来数学符号多、抽象内容多且不好理解，学生一开始学起来很吃力，稍有放松可能就要掉队.因此，学生一定要做好学习数学分析的心理准备，不能用中学数学的学习经验来对付数学分析.数学分析学好的关键不在于做了多少题，重要的在于首先要理解好课本，和中学教学相比，习题并不是高等数学的重点，定理定义的推导过程，以及推导过程中蕴藏的数学思想才是数学分析课程中的重点，学生如果能够理解数学分析中定理定义的推导过程，那么他们自然也就学会了高等数学思想，如果单纯的做题，而忽视了数学大厦的建立过程，那么自然会进入“学而不思则罔”的境地.在中学教学当中，发现法、探究式教学、小组讨论法等都是常用的教学方法，但是在大学，课堂内容多，课堂容量大，教学难度大，教学时间紧，小组讨论法等方法使用性小，而对于一些较难的定理公式等，学生也很难去发现，因此有意义的接受式教学法比中学使用的更多，而这是不利于学生主动性发挥的，所以，在第一节课知识点较少，难度较低时，应该尽量使用探究式教学等能够让学生参与到教学环节中的教学方法，提高学生的主动性.3.数学分析内容的丰富性在中学数学中，教师利用三年时间讲解了集合、实数、自然数、整数、有理数、无理数、虚数、函数、基本初等函数、分段函数、极限、导数、概率等知识点.但是，在数学分析教学中，这些内容只是几节课的内容.数学分析的巨大的知识含量、极大的知识跨度、抽象的思维和相对较少的教学时数是学生学习的最大障碍.在教学中常常遇到一种情况，学生第一节课学习的内容与中学相似，所以会认为数学分析较为简单，产生了轻视的心理，而到无穷小这一定义一出现，就忽然发现自己不会了.曾经有学生说过，“数学分析这门课，第一天讲了20页，我全会，第二天讲了2页，我什么也不会”反应的就是这种情况.因此，在第一节课的教学中，我们一定要告诉学生，不能因为中学有相关内容而分心，更不能用中学的思想来看待这些问题，否则以后的课程就会举步维艰.四、“数学分析”课程的学习方法在“数学分析”课程的学习中，除了注意预习、听课、复习、总结、课后练习等环节外，更为重要的是：1.有兴趣地学习两千多年前的孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣.”要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学分析的重要性.数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必需的工具.而数学分析是大学数学理论的基石，可以说，学不好数学分析，也就不可能学好数学.如何培养学生学习数学分析的兴趣，一直是数学分析教育研究的重要课题之一.所有的研究都表明，想要引起学生的学习兴趣，第一节课非常重要，只有第一节课讲的好，才能吸引住学生的目光，引起学生的学习兴趣，反之则不然.所以，第一节课一定要用高等数学思想引领中学出现过的这些知识点，让学生认识到高等数学思想的美感，让学生体会到用高等数学思想引领初等数学的成就感，让学生发现高等数学思想在解决初等数学问题时的重要性，只有学生领悟了这些，学生才能够认识到数学分析这门课的实质，才能够引起他们学习兴趣，进而获得数学学习的成功体验.兴趣是最好的老师，任何学科都需要培养学生的学习兴趣，数学是一个枯燥的学科，这更对兴趣的培养提出了较高的要求.如果第一节课学生就产生了厌学的心理，那么他在高等数学上的道路就很难走通了.2.主动地钻研学生在深入钻研的过程中，可以领略到数学分析的奥妙，体会到获取成功的喜悦.长久下去，自然会激发出学好数学分析的高度自觉性和积极性.用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习.高等数学学习在于坚持和钻研，他的乐趣在此，他的成功也在这里.同时高等数学教学难度大，教学内容多，教学深度、广度都远远超过中学数学，学生如果没有一种钻研的精神，是不可能学习好数学分析的.同时如果没有在数学分析的学习中养成一种刻苦钻研的态度，那么在今后的学习过程中也是无法获得成功的.培养学生的钻研态度，需要从第一节课做起.因此，在第一节课的教学过程中，要让学生参与到教学内容之中，参与到定理、公式的推导过程中，参与到解题过程中.只有在第一节课开始养成刻苦钻研的习惯，学生才能够在今后的日子里越走越远，越学越深.曾经有学生问过我“为什么咱们的黑板这么大，是四面的”，当他们看到数学分析中推导证明时就明白了，因为四面黑板有时也不够一个定理的推导，需要更多的版面.如果学生没有刻苦钻研的精神，当他们看到这么多的定理推导时，就已经开始放弃数学了，而如果他们能够刻苦钻研，能够跟上老师的教学思路，那么再多的证明步骤也是简单的，也是可以接受的.3.发挥学习的主动性大学和中学的最大不同之处就是在于，中学学习中，教师起引领作用，虽然有作业，但是基本上很少需要学生自主学习，学生每天都有学习内容，学生不需要太多想自己需要学习什么.但是大学则不同，教师上课后学生很难找到教师，学习什么内容需要学生自己决定.如果学生不会主动学习，不知道学习方法，那么很难取得成就.因此，学生必须建立主动性，只有主动学习，才能够在数学分析的道路上越走越远.五、具体教学内容的讲解数学分析第一次课的知识点有实数及其性质、绝对值与不等式等.由于学生是第一次接触数学分析，本节课的讲解速度不宜快.其中，实数的概念学生在中学已经学过，教师应重点讲解实数集的性质，特别是实数的稠密性.实数的稠密性和高等数学中有限和无限的思想密不可分，同时也是整个高等数学的基础，在中学数学里，学生对有理数认识较多，对无理数认识较低，对数的稠密性几乎没有应用，因此且不可认为学生对数的理解已经达到了高等数学所需要的高度，应该放慢速度，让学生参与到教学当中，发挥其主动性，理解和认识实数的基本性质，具体内容也可以参照《初等数学研究》中相关的内容，这对数学分析后面课程的学习是有帮助的.“例2设a，b∈R.证明：若对任何正数ε有a<b+ε，则a≤b.”的讲解是本次课教学的另一个重点.由于学生是第一次接触ε，教师应利用大量时间解释说明ε的含义及其应用.对于绝对值与不等式部分，教材在实数a的绝对值定义后说明了“数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离”，并给出了实数的绝对值的一些性质.教师应特别强调绝对值|a-b|描述的就是实数a与b间的距离，并对三角形不等式：||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，？坌a，b∈R进行详细证