新高考数学一轮复习讲练测第3章第01讲 导数的概念与运算（练习）（解析版）

第01讲导数的概念与运算（模拟精练+真题演练）1．（2023·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0为实数，函数SKIPIF1<0是偶函数，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）的焦点为F，SKIPIF1<0为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为SKIPIF1<0，则直线FM的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又∵M在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：B.3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．±2 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.因为切线与坐标轴能围成三角形，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由SKIPIF1<0的图象可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上各点处切线的斜率在区间SKIPIF1<0内，对于A，在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；对于C，在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由SKIPIF1<0的图象可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0上各点处切线的斜率在区间SKIPIF1<0内，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，而函数SKIPIF1<0的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的可导函数，且SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为（

）A．2 B．-1 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0.故曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0.故选：C6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线SKIPIF1<0相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设过原点的切线与曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处相切，所以切线的斜率SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时过原点与曲线SKIPIF1<0相切的直线有2条.故选：C7．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有三条公切线，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设公切线为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的切点，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的切点，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，依题意两条直线重合，可得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由题意此方程有三个不等实根，设SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有三个不同的交点，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有极小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有极大值为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0趋近于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0趋近于0；当SKIPIF1<0趋近于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0趋近于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的图象简单表示为下图:所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有三个交点.故选：A.8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0的最小值为0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意知SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0的最小值为0，可转化为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切.设切点坐标为SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选:A.9．（多选题）（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，若SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】A选项，根据SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0在R上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A正确；B选项，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，SKIPIF1<0表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着SKIPIF1<0的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正确；C选项，SKIPIF1<0，结合函数图象可知SKIPIF1<0，C错误，D正确.

故选：ABD10．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公切线，则下列结论正确的是（

）A．曲线SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0轴的上方B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0必存在斜率为SKIPIF1<0的公切线【答案】ABD【解析】选项A，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，可知曲线SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0轴的上方，故A正确；选项B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的切线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以切点坐标为SKIPIF1<0，将其代入切线方程SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即B正确；选项C，当SKIPIF1<0时，公切线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C错误；选项D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0存在斜率为SKIPIF1<0的公切线，则存在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由选项B可知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合题意，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0必存在斜率为SKIPIF1<0的公切线，即D正确．故选：ABD．11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则与直线SKIPIF1<0垂直的直线为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设切点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，对于A：直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，符合题意，故A正确；对于B：直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，不符合题意，故B错误；对于C：直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，不符合题意，故C错误；对于D：直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，符合题意，故D正确；故选：AD12．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线SKIPIF1<0两条互相垂直的切线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不重合SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与y轴交于点A、B，则（

）A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点的纵坐标之积为定值 B．直线SKIPIF1<0的斜率为定值C．线段AB的长度为定值 D．SKIPIF1<0面积的取值范围为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，由题意可得，SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，由题意可得，SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，显然不成立；当SKIPIF1<0时，由题意可得，SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，显然不成立；对于A，SKIPIF1<0，故A错误；对于B，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，故B正确；对于C，易知直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C正确；对于D，联立SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD.13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若这两个函数的图象在公共点SKIPIF1<0处有相同的切线，则SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在公共点SKIPIF1<0处有相同的切线，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<014．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】对函数SKIPIF1<0求导可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所求切线的斜率为SKIPIF1<0，故所求切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线与在SKIPIF1<0处的切线相互垂直，则SKIPIF1<0的最小值是___________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，依题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.综上所述：SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.16．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数SKIPIF1<0的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其中为“e函数”的是________．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0【答案】①③④【解析】记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0，∴存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是e函数；②SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是e函数；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0值域为R，∴存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是e函数；④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0，∴存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是e函数．故答案为：①③④1．（2019·全国·统考高考真题）已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，则A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得SKIPIF1<0，将点的坐标代入直线方程，求得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故选D．2．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上．SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选C．3．（2022·全国·统考高考真题）曲线SKIPIF1<0过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况，当SKIPIF1<0时设切点为SKIPIF1<0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出SKIPIF1<0，即可求出切线方程，当SKIPIF1<0时同理可得；因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过坐标原点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过坐标原点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过坐标原点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0是偶函数，图象为：所以当SKIPIF1<0时的切线，只需找到SKIPIF1<0关于y轴的对称直线SKIPIF1<0即可.[方法三]：因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过坐标原点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过坐标原点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0