《两角和与差的正弦》参考教案1

1/4两角和与差的正弦教学目标：掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.教学重点：两角和与差的正弦公式及推导过程.教学难点：灵活应用所学公式进行求值证明.教学过程：Ⅰ.课题导入首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos（eq\f(π,2)－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论?Ⅱ.讲授新课一、推导公式由sinθ＝cos（eq\f(π,2)－θ）得：sin（α＋β）＝cos［eq\f(π,2)－（α＋β）］＝cos［（eq\f(π,2)－α）－β］＝cos（eq\f(π,2)－α）cosβ＋sin（eq\f(π,2)－α）sinβ又∵cos（eq\f(π,2)－α）＝sinα，sin（eq\f(π,2)－α）＝cosα∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ这一式子对于任意的α，β值均成立.将此式称为两角和的正弦公式：S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（α＋β）时，将其中的β用－β代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将S（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结论?sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ这一式子对于任意的α，β的值均成立.这一式子被称为两角差的正弦公式：S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他们的应用.二、例题讲解［例1］利用和(差)角公式求75°，15°的正弦、余弦、正切值.分析：首先应将所求角75°，15°分解为某些特殊角的和或差.解：sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)·eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)cos75°＝cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)tan75°＝eq\f(sin750,cos750)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),\r(6)－\r(2))＝2＋eq\r(3)sin15°＝sin（45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)或sin15°＝sin（60°－45°）＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)或sin15°＝sin（90°－75°）＝cos75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)或cos15°＝cos（60°－45°）＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)或cos15°＝cos（90°－75°）＝sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)tan15°＝eq\f(sin150,cos150)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(6)＋\r(2))＝2－eq\r(3)［例2］已知sinα＝eq\f(2,3)，α∈（eq\f(π,2)，π），cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈（π，eq\f(3π,2)），求sin（α－β），cos（α＋β），tan（α＋β）.分析：观察此题已知条件和公式C（α＋β），S（α－β），要想求sin（α－β），cos（α＋β），应先求出cosα，sinβ.解：由sinα＝eq\f(2,3)且α∈（eq\f(π,2)，π)得：cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－（eq\f(2,3)）2)＝－eq\f(\r(5),3)；又由cosβ＝－eq\f(3,4)且β∈（π，eq\f(3π,2)）得：sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－（－eq\f(3,4)）2)＝－eq\f(\r(7),4).∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(2,3)×（－eq\f(3,4)）－（－eq\f(\r(5),3)）（－eq\f(\r(7),4)）＝eq\f(－6－\r(35),12)cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝（－eq\f(\r(5),3)）（－eq\f(3,4)）－eq\f(2,3)×（－eq\f(\r(7),4)）＝eq\f(3\r(5)＋2\r(7),12)由公式S（α＋β）可得sin（α＋β）＝eq\f(－6＋\r(35),12)∴tan（α＋β）＝eq\f(sin（α＋β）,cos（α＋β）)＝eq\f(－6＋\r(35),3\r(5)＋2\r(7))＝eq\f(－32\r(5)＋27\r(2),17)Ⅲ.课堂练习1.求证：eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(sin（α＋β）＋sin（α－β）,sin（α＋β）－sin（α－β）)证明：右＝eq\f(（sinαcosβ＋cosαsinβ）＋（sinαcosβ－cosαsinβ）,（sinαcosβ＋cosαsinβ）－（sinαcosβ－cosαsinβ）)＝eq\f(2sinαcosβ,2cosαsinβ)＝eq\f(tanα,tanβ)＝左.∴原式得证.2.在△ABC中，sinA＝eq\f(3,5)(0°＜A＜45°)，cosB＝eq\f(5,13)(45°＜B＜90°)，求sinC与cosC的值.解：∵在△ABC中，∴A＋B＋C＝180°即C＝180°－（A＋B）又∵sinA＝eq\f(3,5)且0°＜A＜45°∴cosA＝eq\f(4,5)∵cosB＝eq\f(5,13)且45°＜B＜90°∴sinB＝eq\f(12,13)∴sinC＝sin［180°－（A＋B）］＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65)cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝sinAsinB－cosAcosB＝eq\f(16,65)对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解.Ⅳ.课时小结在前面推导出的C（α＋β）与cos（