2024学年河北省部分校高二数学上学期期中联考试卷附答案解析

学年河北省部分校高二数学上学期期中联考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知全集，集合，集合，则等于（

）A． B． C． D．2．直线是双曲线的一条渐近线，则（

）A．1 B．2 C．4 D．163．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．已知，向量，，，且，，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（

）A．3 B． C． D．26．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足．过点总可以向以点为圆心､为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（

）A． B． C． D．7．如图所示，在三棱锥中，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（

）A．当时，曲线为直线B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线D．曲线不可能是圆10．下列说法正确的是（

）A．在长方体中，可以构成空间的一个基底B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则11．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（

）A．B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为C．若，则的取值范围为D．若，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则.13．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为．14．已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程．16．一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．

(1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；(2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值．17．在中，角的对边分别为，已知．(1)求A；(2)若，求三角形内切圆半径的取值范围．18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点．(1)若为棱中点，证明：面；(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．19．已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求直线的方程；(3)过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立．

参考答案1．【答案】D【详解】全集，而，则，又，所以．故选：D．2．【答案】A【详解】直线是双曲线的一条渐近线，由直线的斜率为2，得，所以．故选：A．3．【答案】D【详解】化为，直线的斜率为，倾斜角为.故选:D.4．【答案】A【详解】因为向量，，，由，则，解得，由，则，解得，则．故选：A．5．【答案】B【详解】因函数的周期为2，且为奇函数，故，.故选：B．6．【答案】B【详解】设Px,y，由，则，故，得圆，圆心为，半径为.又点与圆心的距离为，由于过点总可以向以点为圆心的圆作两条切线，故两圆相离，所以，故的取值范围为．故选：B7．【答案】D【详解】在中，，，则，取的中点分别为，则分别为的外心，且，平面平面，平面平面平面，平面，因平面，故,在中，又在中，在中，故为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，故外接球的表面积.故选:D．8．【答案】A【详解】依题意，设，过点的切线，联立得，令，解得，故得，同理可得，记交于点交于点交于点，联立､的方程解得，同理可得，则．另外直线，化简得：;直线,化简得：．

如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，则过点垂直于轴的直线交直线于点，解得，因为，所以，即切线围成的三角形的面积为．故选：A.9．【答案】ABC【详解】A选项：当时，曲线的方程为，即，故曲线为直线，正确．B选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的椭圆，正确．C选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的双曲线，正确．D选项：当时，方程可化为，可知曲线为以原点为圆心，以为半径的圆，D错误．故选：ABC．10．【答案】BCD【详解】对于A，在长方体中，共面，则不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，，而，则四点共面，从而在平面内，B正确；对于C，依题意，，设，即，则，解得，因此向量在基底下的坐标为，C正确；对于D，，，则，，，，D正确.故选：BCD11．【答案】BCD【详解】对于A，设，由椭圆和双曲线定义有，将两式平方得，相加整理得，又在中，由余弦定理有，则，即，则，故A选项错误；对于B，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知，另外三个点的坐标为，，以它们为顶点的四边形为矩形，面积，又点在椭圆上，所以满足，则有，当且仅当时等式成立，故B选项正确；对于C，即，所以，则，又，所以，即，又，所以，，则．令，则，函数在上单调递减，所以，故C选项正确；对于D，由为的角平分线，，易知为的外角平分线，则由角平分线性质定理有即，由外角平分线性质定理有，即，求的最小值即求的最小值；由可得，代入即，整理可得，所以，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确；故选：BCD.12．【答案】2【分析】由抛物线的焦半径公式可得.【详解】因在抛物线上，所以，故，故答案为：213．【答案】【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒可得，即，所以，由得．当且仅当取等号.故答案为：.14．【答案】4【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，∵平面平面，∴点到面的距离为点到直线的距离∴由抛物线的定义可知：，易知，∴，,设是平面的其中一个法向量，则，令，得，平面的法向量为，又，则到平面的距离，所以的最小值为，∵点分别为的中点且，，∴，所以三棱锥的体积的最小值：．故答案为：4.15．【答案】(1)(2)或．【详解】（1）由等边三角形可知双曲线焦距为，∵，即，∴，∴，∴，双曲线的标准方程为：．（2）显然当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交，∴设直线的方程为，联立方程组得，，解得，由韦达定理可知，即，解得或．所以直线的方程为或．16．【答案】(1)轮船没有触礁风险，理由见解析．(2)；【详解】（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：．轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，直线方程为，即．原点到轮船航线所在直线的距离为，所以，轮船没有触礁风险．（2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，直线的方程为：，其一般式方程为：．易知原点到直线的距离为，直线与圆相离，圆上动点到直线的距离的最小值为：．17．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得：，整理可得，则，且，故．（2）由余弦定理，即，整理可得．设三角形内切圆半径为，则，即，由正弦定理可知．．因为，则，可得，所以．18．【答案】(1)证明见解析；(2)存在满足条件的点，；(3)【详解】（1）连接交于，则为三角形中位线，易知，又因为上，面，所以面；（2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，由为棱上一点，设，．设平面的法向量为，由可得令，则，则．取平面的法向量为，则二面角的平面角满足：，化简得：，解得：或（舍去），故存在满足条件的点，此时．（3）因为，可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有：可得，设，则，由题可知：该方程有实根，则，解得，同理可得．设点到平面的距离为，则由等体积法得到：，，解得：．当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大，最大体积为：．19．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意可得解得所以，椭圆的方程为．（2）设，下证：切线的方程为；直线的斜率存在，，设直线的方程为：，与联立整理得：，由已