经济数学1.1.1函数的概念

经济数学1.1函数

第一部分微积分初等数学——常量高等数学——变量研究对象——函数研究工具——极限我们把某一变化过程中可取不同值的量称为变量等表示常量.通常用字母在某一变化过程中保持不变的量称为常量（或常数）等表示变量．通常用字母

1.1.1函数的概念

例1

金属圆柱的周长和半径的关系为在这里研究的就是变量

和

的关系——函数当圆柱受热膨胀时，也随之变化，周长发生变化，半径在其变化范围内有确定值时，也就确定．周长1、变量与常量例2某一时期银行的人民币整取定期储蓄与年利率

如下表.存期三个月六个月一年二年三年五年年利率（%）1.712.072.252.703.243.60两例的实际意义、表达方式虽不相同，但具有共同之处：都表达了两个变量在变化过程中的对应关系，这就是函数．这张表格给出了年利率与存期的关系。变量2.函数的概念及其表示方法函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作M，即函数的概念(对应关系)(值域)(定义域)确定函数的两个要素（定义域和对应关系）是判断两个函数是否相同的依据.定义域—对应关系—使表达式及实际问题都有意义的自变量集合通过自变量的取值来确定因变量取值的规律任意any

函数的概念求函数的定义域时,要考虑以下情况:

(5)若函数同时含有以上几种情况,则要取其交集.(1)分式的(2)开偶次方时，(3)指数函数和对数函数中,时,要满足或(4)含反三角函数的分母不能为零；被开方部分非负；底大于零不等于1；

且对数函数的真数大于零；函数的概念综上所述,该函数的定义域为

由开偶次方时，被开方部分非负,得由分母不能为零,得例3

解求函数的定义域要使函数有意义，须满足例4

解综上所述所求函数的定义域为

求函数的定义域例5解因此两个函数不相同.函数的定义域。。函数的概念3、邻域由于所以表示与点距离小于的一切点的全体.即其中就表示的有时会用到点邻域中把中心去掉，

此时称为点的去心邻域,记作邻域—数集邻域

的几何表示：

•

去心邻域邻域—数集解析法、图象法、列表法函数的表示方法通常有：有些函数在定义域的不同范围内,不是用一个式子来表示,而是用两个或两个以上的式子合起来表示,这样的函数称为分段函数.函数的概念4、函数的表示法例6某出租车公司规定收费标准如下：路程不足3km，车费5元，超过3km的部分每千米加收1.5元，出租车车费与千米数的函数关系如图1-3所示.

分段函数（2）符号函数

x>0x=0x<0（1）

绝对值函数定义域值域定义域值域分段函数（3）取整函数yxo123-1-212-1-2分段函数例7

在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标.20405060100绝对富裕比较富裕小康水平温饱贫困。。。。O分段函数分段函数是微积分中常见的一种函数.需要注意的是，分段函数是由几个关系式合起来表示一个函数，而不是几个函数.对于自变量在定义域内的某个值，函数只能有唯一的值与之对应.说明分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.

分段函数设函数且有区间当时,称在I

上是称在I

上是单调增加的

;单调减少的

.(1)单调性增函数的图像x与y同增同减，减函数的图像x与y增减相反5、函数的特性函数的特性(2)

奇偶性若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:

若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有函数

f(x)的定义域D关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称函数的特性(3)有界性有界函数的图像，一定夹在平行于x轴的两条直线之间。使称为有界函数.如果这样的正数M不存在，则称在I

上无界.

使称在I

上有界.函数的特性存在exist(4)周期性且若则称为周期函数

,称

T

为周期(一般指最小正周期

).周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.常量函数周期函数的图像，每隔周期的整数倍重复出现。函数的特性解：因为所以（1）为偶函数;（1）函数的特性例8解：因为所以（2）为奇函数;（2）解：因为

所以（3）为非奇非偶函数.（3）函数的特性习惯上,的反函数记成6.反函数反函数不是所有函数都有反函数，但是单调函数必有反函数！与其反函数2)函数的图形关于直线对称.例如对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:

反函数的特性反函数的特性步骤：1.用y表示x2.互